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1. 请利用我们学习的“分式方程及其解法”解决下列问题：
（1）已知关于$x$的方程$\dfrac{2mx - 1}{x + 2}=1$的解为负数，求$m$的取值范围；
（2）若关于$x$的分式方程$\dfrac{3 - 2x}{x - 3}+\dfrac{2 - nx}{3 - x}=-1$无解，求$n$的值。
（1）已知关于$x$的方程$\dfrac{2mx - 1}{x + 2}=1$的解为负数，求$m$的取值范围；
（2）若关于$x$的分式方程$\dfrac{3 - 2x}{x - 3}+\dfrac{2 - nx}{3 - x}=-1$无解，求$n$的值。
答案
解（1）解关于x的分式方程，得$x=\dfrac{3}{2m-1}$。
因为方程有解，且解为负数，
所以$\begin{cases}2m-1＜0,\\\dfrac{3}{2m-1}≠-2,\end{cases}$
所以$m＜\dfrac{1}{2}$且$m≠-\dfrac{1}{4}$。
（2）分式方程去分母，得$3-2x+nx-2=3-x$。整理，得$(n-1)x=2$。
当$n-1=0$时，方程无解，此时$n=1$；
当$n-1≠0$时，解得$x=\dfrac{2}{n-1}$，要使分式方程无解，则有$\dfrac{2}{n-1}=3$，即$n=\dfrac{5}{3}$。
综上，$n=1$或$n=\dfrac{5}{3}$。
因为方程有解，且解为负数，
所以$\begin{cases}2m-1＜0,\\\dfrac{3}{2m-1}≠-2,\end{cases}$
所以$m＜\dfrac{1}{2}$且$m≠-\dfrac{1}{4}$。
（2）分式方程去分母，得$3-2x+nx-2=3-x$。整理，得$(n-1)x=2$。
当$n-1=0$时，方程无解，此时$n=1$；
当$n-1≠0$时，解得$x=\dfrac{2}{n-1}$，要使分式方程无解，则有$\dfrac{2}{n-1}=3$，即$n=\dfrac{5}{3}$。
综上，$n=1$或$n=\dfrac{5}{3}$。
解析
【分析】
（1）解决本题先按分式方程的解法，将原方程去分母转化为整式方程，用含m的代数式表示出x，再结合“解为负数”列出不等式，同时注意分式方程分母不为0，即x不能等于-2，排除增根情况，即可求出m的取值范围。
（2）分式方程无解分两种情况：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即x=3，使原方程分母为0），分两种情况讨论计算即可得到n的值。
【解析】
（1）给方程$\dfrac{2mx - 1}{x + 2}=1$两边同时乘$(x+2)$，去分母得：
$2mx - 1 = x + 2$
移项、合并同类项得：
$(2m - 1)x = 3$
当$2m-1≠0$时，解得$x=\dfrac{3}{2m-1}$
∵方程的解为负数，且分母$x+2≠0$即$x≠-2$
∴$\begin{cases}2m-1＜0 \\ \dfrac{3}{2m-1}≠-2 \end{cases}$
解$2m-1＜0$得$m＜\dfrac{1}{2}$
解$\dfrac{3}{2m-1}≠-2$得：$3≠-2(2m-1)$，即$m≠-\dfrac{1}{4}$
∴m的取值范围是$m＜\dfrac{1}{2}$且$m≠-\dfrac{1}{4}$
（2）给方程$\dfrac{3 - 2x}{x - 3}+\dfrac{2 - nx}{3 - x}=-1$两边同时乘$(x-3)$，去分母得：
$3 - 2x - (2 - nx) = -(x - 3)$
去括号、整理得：
$3 - 2x - 2 + nx = -x + 3$
移项、合并同类项得：
$(n - 1)x = 2$
分两种情况讨论：
①当整式方程无解时，$n - 1 = 0$，即$n=1$，此时$0· x=2$，方程无解，符合题意；
②当整式方程有解，但解是原分式方程的增根时，增根为$x=3$，代入$(n - 1)x = 2$得：
$3(n - 1) = 2$，解得$n=\dfrac{5}{3}$
综上，$n=1$或$n=\dfrac{5}{3}$
【答案】
（1）$m＜\dfrac{1}{2}$且$m≠-\dfrac{1}{4}$；
（2）$n=1$或$n=\dfrac{5}{3}$
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 分式方程解的应用
3. 分式方程无解的判定
【点评】
本题重点考查分式方程的相关知识，解题的易错点是容易忽略分式方程分母不为0的条件，以及无解问题中漏考虑整式方程本身无解的情况，解决这类问题需要养成分类讨论的思维，注意解题的严谨性。
【难度系数】
0.6
（1）解决本题先按分式方程的解法，将原方程去分母转化为整式方程，用含m的代数式表示出x，再结合“解为负数”列出不等式，同时注意分式方程分母不为0，即x不能等于-2，排除增根情况，即可求出m的取值范围。
（2）分式方程无解分两种情况：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即x=3，使原方程分母为0），分两种情况讨论计算即可得到n的值。
【解析】
（1）给方程$\dfrac{2mx - 1}{x + 2}=1$两边同时乘$(x+2)$，去分母得：
$2mx - 1 = x + 2$
移项、合并同类项得：
$(2m - 1)x = 3$
当$2m-1≠0$时，解得$x=\dfrac{3}{2m-1}$
∵方程的解为负数，且分母$x+2≠0$即$x≠-2$
∴$\begin{cases}2m-1＜0 \\ \dfrac{3}{2m-1}≠-2 \end{cases}$
解$2m-1＜0$得$m＜\dfrac{1}{2}$
解$\dfrac{3}{2m-1}≠-2$得：$3≠-2(2m-1)$，即$m≠-\dfrac{1}{4}$
∴m的取值范围是$m＜\dfrac{1}{2}$且$m≠-\dfrac{1}{4}$
（2）给方程$\dfrac{3 - 2x}{x - 3}+\dfrac{2 - nx}{3 - x}=-1$两边同时乘$(x-3)$，去分母得：
$3 - 2x - (2 - nx) = -(x - 3)$
去括号、整理得：
$3 - 2x - 2 + nx = -x + 3$
移项、合并同类项得：
$(n - 1)x = 2$
分两种情况讨论：
①当整式方程无解时，$n - 1 = 0$，即$n=1$，此时$0· x=2$，方程无解，符合题意；
②当整式方程有解，但解是原分式方程的增根时，增根为$x=3$，代入$(n - 1)x = 2$得：
$3(n - 1) = 2$，解得$n=\dfrac{5}{3}$
综上，$n=1$或$n=\dfrac{5}{3}$
【答案】
（1）$m＜\dfrac{1}{2}$且$m≠-\dfrac{1}{4}$；
（2）$n=1$或$n=\dfrac{5}{3}$
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 分式方程解的应用
3. 分式方程无解的判定
【点评】
本题重点考查分式方程的相关知识，解题的易错点是容易忽略分式方程分母不为0的条件，以及无解问题中漏考虑整式方程本身无解的情况，解决这类问题需要养成分类讨论的思维，注意解题的严谨性。
【难度系数】
0.6
解方程：$\frac{3}{x-1}=\frac{4}{x+1}.$
解 $\frac{3}{x-1}=\frac{4}{x+1},$
交叉相乘得 $3(x+1)=4(x-1).$
去括号，得 $3x+3=4x-4.$
解得 $x=7.$
检验：当 $x=7$ 时，$(x-1)(x+1)≠0,$
所以原分式方程的解是 $x=7.$
解 $\frac{3}{x-1}=\frac{4}{x+1},$
交叉相乘得 $3(x+1)=4(x-1).$
去括号，得 $3x+3=4x-4.$
解得 $x=7.$
检验：当 $x=7$ 时，$(x-1)(x+1)≠0,$
所以原分式方程的解是 $x=7.$
答案
解：方程两边同乘最简公分母$(x-1)(x+1)$，得
$3(x+1)=4(x-1)$
去括号，得
$3x+3=4x-4$
移项，得
$3x-4x=-4-3$
合并同类项，得
$-x=-7$
系数化为1，得
$x=7$
检验：当$x=7$时，$(x-1)(x+1)≠0$，
所以原分式方程的解是$x=7$。
$3(x+1)=4(x-1)$
去括号，得
$3x+3=4x-4$
移项，得
$3x-4x=-4-3$
合并同类项，得
$-x=-7$
系数化为1，得
$x=7$
检验：当$x=7$时，$(x-1)(x+1)≠0$，
所以原分式方程的解是$x=7$。
解析
【分析】
这是一道分式方程求解的题目，解题思路是先将分式方程转化为我们熟悉的整式方程再求解：①首先确定方程中两个分母的最简公分母为$(x-1)(x+1)$，方程两边同乘最简公分母即可去掉分母，得到整式方程；②按照整式方程的求解步骤，依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出整式方程的解；③由于去分母的过程可能产生增根，必须检验所求的解是否使原方程的分母为0，若分母不为0，才是原分式方程的解。
【解析】
解：方程两边同乘最简公分母$(x-1)(x+1)$，得
$3(x+1)=4(x-1)$
去括号，得
$3x+3=4x-4$
移项，得
$3x-4x=-4-3$
合并同类项，得
$-x=-7$
系数化为1，得
$x=7$
检验：当$x=7$时，$(x-1)(x+1)≠0$，
所以原分式方程的解是$x=7$。
【答案】
$x=7$
【知识点】
分式方程的解法；整式方程求解；分式方程验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，核心考察“转化”的数学思想，即将分式方程转化为整式方程求解，求解过程中要注意移项要变号，尤其不要遗漏分式方程必须验根的步骤，避免出现增根未舍去的错误。
【难度系数】
0.85
这是一道分式方程求解的题目，解题思路是先将分式方程转化为我们熟悉的整式方程再求解：①首先确定方程中两个分母的最简公分母为$(x-1)(x+1)$，方程两边同乘最简公分母即可去掉分母，得到整式方程；②按照整式方程的求解步骤，依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出整式方程的解；③由于去分母的过程可能产生增根，必须检验所求的解是否使原方程的分母为0，若分母不为0，才是原分式方程的解。
【解析】
解：方程两边同乘最简公分母$(x-1)(x+1)$，得
$3(x+1)=4(x-1)$
去括号，得
$3x+3=4x-4$
移项，得
$3x-4x=-4-3$
合并同类项，得
$-x=-7$
系数化为1，得
$x=7$
检验：当$x=7$时，$(x-1)(x+1)≠0$，
所以原分式方程的解是$x=7$。
【答案】
$x=7$
【知识点】
分式方程的解法；整式方程求解；分式方程验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，核心考察“转化”的数学思想，即将分式方程转化为整式方程求解，求解过程中要注意移项要变号，尤其不要遗漏分式方程必须验根的步骤，避免出现增根未舍去的错误。
【难度系数】
0.85
2. 解方程：(1) $\frac{3}{5x+1}=\frac{1}{2x}$；
(2) $\frac{2}{x+2}=\frac{3}{x-2}$。
(2) $\frac{2}{x+2}=\frac{3}{x-2}$。
答案
解（1）去分母，得$6x=5x+1$。解得$x=1$。
经检验，$x=1$是原分式方程的解。
故原分式方程的解为$x=1$。
（2）去分母，得$2(x-2)=3(x+2)$。
去括号，得$2x-4=3x+6$。解得$x=-10$。
经检验，$x=-10$是原分式方程的解。
所以原分式方程的解为$x=-10$。
经检验，$x=1$是原分式方程的解。
故原分式方程的解为$x=1$。
（2）去分母，得$2(x-2)=3(x+2)$。
去括号，得$2x-4=3x+6$。解得$x=-10$。
经检验，$x=-10$是原分式方程的解。
所以原分式方程的解为$x=-10$。
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验得到的解是否为增根（即是否使原方程分母为0）。对于第(1)题，观察分母为$5x+1$和$2x$，最简公分母为$2x(5x+1)$，方程两边同乘最简公分母即可消去分母转化为一元一次方程；对于第(2)题，分母为$x+2$和$x-2$，最简公分母为$(x+2)(x-2)$，同乘最简公分母转化为整式方程后求解，最后代入原方程检验即可。
【解析】
(1) 去分母，方程两边同时乘$2x(5x+1)$，得$6x=5x+1$，
解得$x=1$。
检验：当$x=1$时，$2x(5x+1)=2×1×(5×1+1)=12≠0$，因此$x=1$是原分式方程的解。
故原分式方程的解为$x=1$。
(2) 去分母，方程两边同时乘$(x+2)(x-2)$，得$2(x-2)=3(x+2)$，
去括号，得$2x-4=3x+6$，
解得$x=-10$。
检验：当$x=-10$时，$(x+2)(x-2)=(-10+2)×(-10-2)=96≠0$，因此$x=-10$是原分式方程的解。
故原分式方程的解为$x=-10$。
【答案】
(1) $x=1$；(2) $x=-10$
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题，主要考查解分式方程的常规步骤，解题时要注意去分母不要漏乘不含分母的项，同时必须保留验根步骤，避免增根被误当作原方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法即可轻松完成本题。
【难度系数】
0.8
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验得到的解是否为增根（即是否使原方程分母为0）。对于第(1)题，观察分母为$5x+1$和$2x$，最简公分母为$2x(5x+1)$，方程两边同乘最简公分母即可消去分母转化为一元一次方程；对于第(2)题，分母为$x+2$和$x-2$，最简公分母为$(x+2)(x-2)$，同乘最简公分母转化为整式方程后求解，最后代入原方程检验即可。
【解析】
(1) 去分母，方程两边同时乘$2x(5x+1)$，得$6x=5x+1$，
解得$x=1$。
检验：当$x=1$时，$2x(5x+1)=2×1×(5×1+1)=12≠0$，因此$x=1$是原分式方程的解。
故原分式方程的解为$x=1$。
(2) 去分母，方程两边同时乘$(x+2)(x-2)$，得$2(x-2)=3(x+2)$，
去括号，得$2x-4=3x+6$，
解得$x=-10$。
检验：当$x=-10$时，$(x+2)(x-2)=(-10+2)×(-10-2)=96≠0$，因此$x=-10$是原分式方程的解。
故原分式方程的解为$x=-10$。
【答案】
(1) $x=1$；(2) $x=-10$
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题，主要考查解分式方程的常规步骤，解题时要注意去分母不要漏乘不含分母的项，同时必须保留验根步骤，避免增根被误当作原方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法即可轻松完成本题。
【难度系数】
0.8
观察下面的解题过程.
先化简，再求值：$x + 2 - \frac{x(x + 4)}{x + 2}$，
其中 $x = \boldsymbol{[图]}$.
解：原式 $= \frac{(x + 2)(x + 2)}{x + 2} - \frac{x(x + 4)}{x + 2}$①
$=(x^2 + 4x + 4)-(x^2 + 4x)$ ②
$=4$. ③
（1）解题过程中开始出现错误的是步骤（填序号）；
（2）请写出正确的化简过程；
（3）若代入求值后的结果是4，求被遮住的x的值.
解（1）②
（2）原式 $= \frac{(x + 2)^2}{x + 2} - \frac{x(x + 4)}{x + 2} = \frac{x^2 + 4x + 4 - x^2 - 4x}{x + 2} = \frac{4}{x + 2}$.
（3）令$\frac{4}{x + 2}=4$，解得 $x=-1$.
检验：当 $x=-1$ 时，$x + 2≠0$，所以原分式方程的解是 $x=-1$.
所以被遮住的x的值是$-1$.
先化简，再求值：$x + 2 - \frac{x(x + 4)}{x + 2}$，
其中 $x = \boldsymbol{[图]}$.
解：原式 $= \frac{(x + 2)(x + 2)}{x + 2} - \frac{x(x + 4)}{x + 2}$①
$=(x^2 + 4x + 4)-(x^2 + 4x)$ ②
$=4$. ③
（1）解题过程中开始出现错误的是步骤（填序号）；
（2）请写出正确的化简过程；
（3）若代入求值后的结果是4，求被遮住的x的值.
解（1）②
（2）原式 $= \frac{(x + 2)^2}{x + 2} - \frac{x(x + 4)}{x + 2} = \frac{x^2 + 4x + 4 - x^2 - 4x}{x + 2} = \frac{4}{x + 2}$.
（3）令$\frac{4}{x + 2}=4$，解得 $x=-1$.
检验：当 $x=-1$ 时，$x + 2≠0$，所以原分式方程的解是 $x=-1$.
所以被遮住的x的值是$-1$.
答案
解析
【分析】
（1）判断错误步骤：分式加减运算中，同分母分式相减的法则是分母不变，分子相减，原解题步骤②运算时直接去掉了分母，违反了分式加减的运算规则，因此错误出在步骤②。
（2）正确化简思路：先将整式$x+2$通分为分母为$x+2$的分式，再按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减，最后对分子合并同类项化简即可。
（3）求$x$的值的思路：令化简后的分式等于4，得到分式方程，解分式方程后要检验所得的根是否使原分式的分母不为0，确保原代数式有意义。
【解析】
（1）步骤①是将整式通分为同分母分式，运算正确；步骤②进行同分母分式减法时，错误去掉了分母，不符合运算法则，因此开始出现错误的是步骤②。
（2）正确化简过程如下：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(x+2)^2}{x+2} - \frac{x(x+4)}{x+2}\\&=\frac{(x^2 + 4x + 4) - (x^2 + 4x)}{x+2}\\&=\frac{x^2 + 4x + 4 - x^2 - 4x}{x+2}\\&=\frac{4}{x+2}\end{aligned}$
（3）根据题意，令化简后的式子的值为4，可得方程：
$\frac{4}{x+2}=4$
两边同乘$x+2$得：$4=4(x+2)$
去括号得：$4=4x + 8$
移项合并同类项得：$4x = -4$
系数化为1得：$x=-1$
检验：当$x=-1$时，$x+2=-1+2=1≠0$，因此$x=-1$是原分式方程的解，且使原代数式有意义。
【答案】
（1）$\boldsymbol{②}$；
（2）化简结果为$\boldsymbol{\frac{4}{x+2}}$；
（3）被遮住的$x$的值为$\boldsymbol{-1}$。
【知识点】
分式的加减运算、分式方程的解法、分式有意义的条件
【点评】
本题侧重考查分式运算的基础规则和易错点，运算时要注意分式加减不能随意省略分母，解分式方程必须检验根的有效性，避免出现增根导致错误。
【难度系数】
0.7
（1）判断错误步骤：分式加减运算中，同分母分式相减的法则是分母不变，分子相减，原解题步骤②运算时直接去掉了分母，违反了分式加减的运算规则，因此错误出在步骤②。
（2）正确化简思路：先将整式$x+2$通分为分母为$x+2$的分式，再按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减，最后对分子合并同类项化简即可。
（3）求$x$的值的思路：令化简后的分式等于4，得到分式方程，解分式方程后要检验所得的根是否使原分式的分母不为0，确保原代数式有意义。
【解析】
（1）步骤①是将整式通分为同分母分式，运算正确；步骤②进行同分母分式减法时，错误去掉了分母，不符合运算法则，因此开始出现错误的是步骤②。
（2）正确化简过程如下：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(x+2)^2}{x+2} - \frac{x(x+4)}{x+2}\\&=\frac{(x^2 + 4x + 4) - (x^2 + 4x)}{x+2}\\&=\frac{x^2 + 4x + 4 - x^2 - 4x}{x+2}\\&=\frac{4}{x+2}\end{aligned}$
（3）根据题意，令化简后的式子的值为4，可得方程：
$\frac{4}{x+2}=4$
两边同乘$x+2$得：$4=4(x+2)$
去括号得：$4=4x + 8$
移项合并同类项得：$4x = -4$
系数化为1得：$x=-1$
检验：当$x=-1$时，$x+2=-1+2=1≠0$，因此$x=-1$是原分式方程的解，且使原代数式有意义。
【答案】
（1）$\boldsymbol{②}$；
（2）化简结果为$\boldsymbol{\frac{4}{x+2}}$；
（3）被遮住的$x$的值为$\boldsymbol{-1}$。
【知识点】
分式的加减运算、分式方程的解法、分式有意义的条件
【点评】
本题侧重考查分式运算的基础规则和易错点，运算时要注意分式加减不能随意省略分母，解分式方程必须检验根的有效性，避免出现增根导致错误。
【难度系数】
0.7
