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3. 已知关于$x$的分式方程$\frac{k}{x-2} - \frac{3}{x-2}=1$无解，则$k$的值为（
A.2
B.$-2$
C.$-3$
D.3
D
）A.2
B.$-2$
C.$-3$
D.3
答案
3. D
解析
【分析】
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解的两种情况：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。首先观察本题的分式方程，分母为$x-2$，因此若存在增根，增根一定是$x=2$；再去分母得到整式方程，本题得到的整式方程是一元一次方程，必然有解，因此只需满足整式方程的解为增根$x=2$，代入即可求出$k$的值。
【解析】
步骤1：确定原分式方程的增根
若分式方程有增根，则分母为0，即$x-2=0$，解得$x=2$。
步骤2：将分式方程化为整式方程
方程两边同时乘以最简公分母$(x-2)$（$x≠2$），去分母得：
$k - 3 = x - 2$
整理得：$x = k - 1$
步骤3：结合方程无解的条件求$k$
因为原分式方程无解，说明整式方程的解是原方程的增根，即$x=2$，代入$x = k - 1$得：
$2 = k - 1$
解得$k=3$
【答案】
D
【知识点】
1. 分式方程的增根
2. 分式方程无解的条件
【点评】
本题考查分式方程无解的相关应用，解题的关键是掌握分式方程增根的含义，明确无解时对应的整式方程的解的特征，整体解题思路清晰，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解的两种情况：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。首先观察本题的分式方程，分母为$x-2$，因此若存在增根，增根一定是$x=2$；再去分母得到整式方程，本题得到的整式方程是一元一次方程，必然有解，因此只需满足整式方程的解为增根$x=2$，代入即可求出$k$的值。
【解析】
步骤1：确定原分式方程的增根
若分式方程有增根，则分母为0，即$x-2=0$，解得$x=2$。
步骤2：将分式方程化为整式方程
方程两边同时乘以最简公分母$(x-2)$（$x≠2$），去分母得：
$k - 3 = x - 2$
整理得：$x = k - 1$
步骤3：结合方程无解的条件求$k$
因为原分式方程无解，说明整式方程的解是原方程的增根，即$x=2$，代入$x = k - 1$得：
$2 = k - 1$
解得$k=3$
【答案】
D
【知识点】
1. 分式方程的增根
2. 分式方程无解的条件
【点评】
本题考查分式方程无解的相关应用，解题的关键是掌握分式方程增根的含义，明确无解时对应的整式方程的解的特征，整体解题思路清晰，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
4. 如果关于x的分式方程$\frac{3x+m}{x-1}=5$的解是非负数，那么m的取值范围为（
A.$m≥ -5$
B.$m＞ -5$
C.$m≥ -5$且$m≠ -3$
D.$m＞ -5$且$m≠ -3$
C
）A.$m≥ -5$
B.$m＞ -5$
C.$m≥ -5$且$m≠ -3$
D.$m＞ -5$且$m≠ -3$
答案
4. C
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按三步思考：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解；第二步，根据“解是非负数”这一条件列出不等式，求出m的初步范围；第三步，切记分式方程分母不能为0，即解不能使x-1=0，由此排除不符合要求的m值，最终得到m的完整取值范围。
【解析】
首先对分式方程去分母，两边同时乘以最简公分母$x-1$（注意$x≠1$），得：
$3x + m = 5(x - 1)$
展开并整理整式方程：
$3x + m = 5x - 5$
移项合并同类项：
$-2x = -5 - m$
系数化为1，得方程的解：
$x = \frac{m + 5}{2}$
因为方程的解是非负数，所以$x ≥ 0$，即：
$\frac{m + 5}{2} ≥ 0$
解得：$m ≥ -5$
又因为分式分母不能为0，即$x ≠ 1$，所以：
$\frac{m + 5}{2} ≠ 1$
解得：$m ≠ -3$
综上，m的取值范围是$m ≥ -5$且$m ≠ -3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的求解、一元一次不等式的应用、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程参数取值范围的常见题型，易错点是容易忽略分式分母不为0的隐含限制，导致漏算$m≠ -3$的条件。解题时要牢记先将分式方程转化为整式方程求根，再结合解的要求和分母不为0的条件综合判断参数范围。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以按三步思考：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解；第二步，根据“解是非负数”这一条件列出不等式，求出m的初步范围；第三步，切记分式方程分母不能为0，即解不能使x-1=0，由此排除不符合要求的m值，最终得到m的完整取值范围。
【解析】
首先对分式方程去分母，两边同时乘以最简公分母$x-1$（注意$x≠1$），得：
$3x + m = 5(x - 1)$
展开并整理整式方程：
$3x + m = 5x - 5$
移项合并同类项：
$-2x = -5 - m$
系数化为1，得方程的解：
$x = \frac{m + 5}{2}$
因为方程的解是非负数，所以$x ≥ 0$，即：
$\frac{m + 5}{2} ≥ 0$
解得：$m ≥ -5$
又因为分式分母不能为0，即$x ≠ 1$，所以：
$\frac{m + 5}{2} ≠ 1$
解得：$m ≠ -3$
综上，m的取值范围是$m ≥ -5$且$m ≠ -3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的求解、一元一次不等式的应用、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程参数取值范围的常见题型，易错点是容易忽略分式分母不为0的隐含限制，导致漏算$m≠ -3$的条件。解题时要牢记先将分式方程转化为整式方程求根，再结合解的要求和分母不为0的条件综合判断参数范围。
【难度系数】
0.6
5. 解方程：
(1)
；
(2) $\frac{x}{x -1} + \frac{1}{x}=1$。
(1)
；(2) $\frac{x}{x -1} + \frac{1}{x}=1$。
答案
解（1）方程两边乘（2x−5），
得$x−5=2x−5$。
解得$x=0$。
经检验：$x=0$是原分式方程的解。
所以原分式方程的解为$x=0$。
（2）原方程整理得$x^2+x−1=x(x−1)$。
整理得$2x=1$。解得$x=\frac{1}{2}$。
经检验：$x=\frac{1}{2}$是原分式方程的解。
所以原分式方程的解为$x=\frac{1}{2}$。
得$x−5=2x−5$。
解得$x=0$。
经检验：$x=0$是原分式方程的解。
所以原分式方程的解为$x=0$。
（2）原方程整理得$x^2+x−1=x(x−1)$。
整理得$2x=1$。解得$x=\frac{1}{2}$。
经检验：$x=\frac{1}{2}$是原分式方程的解。
所以原分式方程的解为$x=\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是先通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验解是否使原方程的分母为0，排除增根。
对于(1)：观察到两个分母$2x-5$和$5-2x$互为相反数，最简公分母为$2x-5$，方程两边同乘$2x-5$即可消去分母，注意此时要求$2x-5≠0$；
对于(2)：两个分母分别为$x-1$和$x$，最简公分母为$x(x-1)$，方程两边同乘$x(x-1)$即可消去分母，注意此时要求$x≠0$且$x≠1$。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$(2x-5)$，得：
$x - 5 = 2x - 5$
移项合并同类项，解得$x=0$。
检验：当$x=0$时，$2x-5=-5≠0$，因此$x=0$是原分式方程的解。
(2) 方程两边同乘最简公分母$x(x-1)$，得：
$x^2 + x -1 = x(x-1)$
展开整理得$2x=1$，解得$x=\frac{1}{2}$。
检验：当$x=\frac{1}{2}$时，$x(x-1)=-\frac{1}{4}≠0$，因此$x=\frac{1}{2}$是原分式方程的解。
【答案】
(1) $x=0$；(2) $x=\frac{1}{2}$
【知识点】
分式方程的解法；解分式方程的验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，解题关键是准确找到最简公分母去分母，将分式方程转化为整式方程，需要特别注意解完后必须验根，避免增根导致结果错误。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是先通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验解是否使原方程的分母为0，排除增根。
对于(1)：观察到两个分母$2x-5$和$5-2x$互为相反数，最简公分母为$2x-5$，方程两边同乘$2x-5$即可消去分母，注意此时要求$2x-5≠0$；
对于(2)：两个分母分别为$x-1$和$x$，最简公分母为$x(x-1)$，方程两边同乘$x(x-1)$即可消去分母，注意此时要求$x≠0$且$x≠1$。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$(2x-5)$，得：
$x - 5 = 2x - 5$
移项合并同类项，解得$x=0$。
检验：当$x=0$时，$2x-5=-5≠0$，因此$x=0$是原分式方程的解。
(2) 方程两边同乘最简公分母$x(x-1)$，得：
$x^2 + x -1 = x(x-1)$
展开整理得$2x=1$，解得$x=\frac{1}{2}$。
检验：当$x=\frac{1}{2}$时，$x(x-1)=-\frac{1}{4}≠0$，因此$x=\frac{1}{2}$是原分式方程的解。
【答案】
(1) $x=0$；(2) $x=\frac{1}{2}$
【知识点】
分式方程的解法；解分式方程的验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，解题关键是准确找到最简公分母去分母，将分式方程转化为整式方程，需要特别注意解完后必须验根，避免增根导致结果错误。
【难度系数】
0.7
6. 某工厂计划生产120 t某种材料，由于采用了新技术，每天增产3 t，因此提前2天完成任务.设原计划x天完成任务，列出方程为（
A.$\dfrac{120}{x-2}=\dfrac{120}{x}-3$
B.$\dfrac{120}{x}=\dfrac{120}{x+2}-3$
C.$\dfrac{120}{x+2}=\dfrac{120}{x}-3$
D.$\dfrac{120}{x}=\dfrac{120}{x-2}-3$
D
）A.$\dfrac{120}{x-2}=\dfrac{120}{x}-3$
B.$\dfrac{120}{x}=\dfrac{120}{x+2}-3$
C.$\dfrac{120}{x+2}=\dfrac{120}{x}-3$
D.$\dfrac{120}{x}=\dfrac{120}{x-2}-3$
答案
6. D
解析
【分析】
解这道题的核心是找准“实际每天产量比原计划多3t”的等量关系，我们可以按三步梳理思路：①先根据总任务和原计划天数，求出原计划每天的产量；②再根据提前2天完成的条件，求出实际生产天数，进而得到实际每天的产量；③最后根据“原计划日产量=实际日产量-3t”的关系列方程，匹配对应选项即可。
【解析】
第一步：求原计划每天的产量
总生产任务为120t，原计划x天完成，因此原计划每天生产$\dfrac{120}{x}$ t。
第二步：求实际每天的产量
实际提前2天完成任务，因此实际用时为$(x-2)$天，实际每天生产$\dfrac{120}{x-2}$ t。
第三步：根据等量关系列方程
已知实际每天比原计划增产3t，即原计划日产量 = 实际日产量 - 3，代入表达式得：
$\dfrac{120}{x}=\dfrac{120}{x-2}-3$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的应用；工程问题等量关系
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题关键是理清工作总量、工作时间、工作效率三者的对应关系，只要不混淆原计划和实际的时间、效率的对应关系，就能轻松列出正确方程。
【难度系数】
0.8
解这道题的核心是找准“实际每天产量比原计划多3t”的等量关系，我们可以按三步梳理思路：①先根据总任务和原计划天数，求出原计划每天的产量；②再根据提前2天完成的条件，求出实际生产天数，进而得到实际每天的产量；③最后根据“原计划日产量=实际日产量-3t”的关系列方程，匹配对应选项即可。
【解析】
第一步：求原计划每天的产量
总生产任务为120t，原计划x天完成，因此原计划每天生产$\dfrac{120}{x}$ t。
第二步：求实际每天的产量
实际提前2天完成任务，因此实际用时为$(x-2)$天，实际每天生产$\dfrac{120}{x-2}$ t。
第三步：根据等量关系列方程
已知实际每天比原计划增产3t，即原计划日产量 = 实际日产量 - 3，代入表达式得：
$\dfrac{120}{x}=\dfrac{120}{x-2}-3$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的应用；工程问题等量关系
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题关键是理清工作总量、工作时间、工作效率三者的对应关系，只要不混淆原计划和实际的时间、效率的对应关系，就能轻松列出正确方程。
【难度系数】
0.8
7. 肖老师周末从甲地开车前往相距130 km的乙地，考虑到可能出现道路拥堵问题. 为不耽误计划，实际开车的平均速度比原计划提高了30%，结果提前20 min到达乙地，则肖老师实际开车的平均速度是
117
km/h.答案
7. 117
解析
【分析】
这是一道行程类分式方程应用题，解题思路如下：首先回忆行程问题核心公式：路程=速度×时间，推导得时间=路程÷速度。题目中存在两个关键等量关系：①实际速度=原计划速度×(1+30%)；②原计划行驶时间 - 实际行驶时间=提前的20分钟。解题时先统一时间单位为小时，再设原计划速度为未知数，根据时间差列分式方程求解，最后检验根的合理性并计算实际速度即可。
【解析】
解：先统一单位，20 min = $\frac{20}{60}$ = $\frac{1}{3}$ h。
设肖老师原计划开车的平均速度为$x$ km/h，则实际开车的平均速度为$(1+30\%)x = 1.3x$ km/h。
根据“原计划时间 - 实际时间 = 提前时间”列方程：
$\frac{130}{x} - \frac{130}{1.3x} = \frac{1}{3}$
化简方程左边：$\frac{130}{x} - \frac{100}{x} = \frac{30}{x}$
即$\frac{30}{x} = \frac{1}{3}$，解得$x = 90$。
检验：当$x = 90$时，分母$x≠0$，$1.3x≠0$，所以$x=90$是原分式方程的解，且符合实际行驶的意义。
则实际平均速度为：$1.3×90 = 117$ km/h。
【答案】
117
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 行程问题等量关系
3. 分式方程的检验
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用问题，解题的核心是找准时间差的等量关系，需要特别注意单位统一，同时解完分式方程后必须检验根是否满足方程、是否符合实际意义，避免出现错误。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类分式方程应用题，解题思路如下：首先回忆行程问题核心公式：路程=速度×时间，推导得时间=路程÷速度。题目中存在两个关键等量关系：①实际速度=原计划速度×(1+30%)；②原计划行驶时间 - 实际行驶时间=提前的20分钟。解题时先统一时间单位为小时，再设原计划速度为未知数，根据时间差列分式方程求解，最后检验根的合理性并计算实际速度即可。
【解析】
解：先统一单位，20 min = $\frac{20}{60}$ = $\frac{1}{3}$ h。
设肖老师原计划开车的平均速度为$x$ km/h，则实际开车的平均速度为$(1+30\%)x = 1.3x$ km/h。
根据“原计划时间 - 实际时间 = 提前时间”列方程：
$\frac{130}{x} - \frac{130}{1.3x} = \frac{1}{3}$
化简方程左边：$\frac{130}{x} - \frac{100}{x} = \frac{30}{x}$
即$\frac{30}{x} = \frac{1}{3}$，解得$x = 90$。
检验：当$x = 90$时，分母$x≠0$，$1.3x≠0$，所以$x=90$是原分式方程的解，且符合实际行驶的意义。
则实际平均速度为：$1.3×90 = 117$ km/h。
【答案】
117
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 行程问题等量关系
3. 分式方程的检验
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用问题，解题的核心是找准时间差的等量关系，需要特别注意单位统一，同时解完分式方程后必须检验根是否满足方程、是否符合实际意义，避免出现错误。
【难度系数】
0.7
8. 某学校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书每本的单价比乙种图书每本的单价多20元，用2000元购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同. 求甲、乙两种图书的单价各是多少元.
答案
解 设甲种图书的单价是$x$元，则乙种图书的单价是（$x−20$）元。
根据题意，得$\frac{2000}{x}=\frac{1200}{x−20}$。
整理得$800x=40 000$。解得$x=50$。
经检验：$x=50$是原方程的解，且符合题意。
所以$x−20=30$。
答：甲种图书的单价为50元，乙种图书的单价为30元。
根据题意，得$\frac{2000}{x}=\frac{1200}{x−20}$。
整理得$800x=40 000$。解得$x=50$。
经检验：$x=50$是原方程的解，且符合题意。
所以$x−20=30$。
答：甲种图书的单价为50元，乙种图书的单价为30元。
解析
【分析】
这是分式方程的实际应用题，解题核心是抓住题目中的等量关系：2000元购买甲种图书的数量 = 1200元购买乙种图书的数量。首先设甲种图书单价为x元，根据“甲单价比乙多20元”可得乙种图书单价为(x-20)元，再结合“数量=总价÷单价”分别表示出两种图书的购买数量，根据等量关系列出分式方程，求解后需检验解是否符合原方程及实际意义，最后计算乙种图书的单价即可。
【解析】
解：设甲种图书的单价是$x$元，则乙种图书的单价是$(x-20)$元。
根据题意，得$\frac{2000}{x}=\frac{1200}{x-20}$
交叉相乘去分母得：$2000(x-20)=1200x$
整理得：$800x=40000$
解得：$x=50$
经检验：$x=50$是原方程的解，且符合题意。
所以乙种图书的单价为$x-20=50-20=30$（元）
答：甲种图书的单价为50元，乙种图书的单价为30元。
【答案】
甲种图书单价为50元，乙种图书单价为30元。
【知识点】
分式方程的应用、解分式方程、分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题关键是找准“购买数量相等”的等量关系列方程，需要注意解分式方程后必须进行检验，既要验证解是否为原方程的根，也要确认解符合实际问题的要求。
【难度系数】
0.8
这是分式方程的实际应用题，解题核心是抓住题目中的等量关系：2000元购买甲种图书的数量 = 1200元购买乙种图书的数量。首先设甲种图书单价为x元，根据“甲单价比乙多20元”可得乙种图书单价为(x-20)元，再结合“数量=总价÷单价”分别表示出两种图书的购买数量，根据等量关系列出分式方程，求解后需检验解是否符合原方程及实际意义，最后计算乙种图书的单价即可。
【解析】
解：设甲种图书的单价是$x$元，则乙种图书的单价是$(x-20)$元。
根据题意，得$\frac{2000}{x}=\frac{1200}{x-20}$
交叉相乘去分母得：$2000(x-20)=1200x$
整理得：$800x=40000$
解得：$x=50$
经检验：$x=50$是原方程的解，且符合题意。
所以乙种图书的单价为$x-20=50-20=30$（元）
答：甲种图书的单价为50元，乙种图书的单价为30元。
【答案】
甲种图书单价为50元，乙种图书单价为30元。
【知识点】
分式方程的应用、解分式方程、分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题关键是找准“购买数量相等”的等量关系列方程，需要注意解分式方程后必须进行检验，既要验证解是否为原方程的根，也要确认解符合实际问题的要求。
【难度系数】
0.8
