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5. 在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法.
（1）如图①，AD是$△ ABC$的中线，且$AB＞AC$，延长AD至点E，使$ED=AD$，连接BE. 求证：$AC=BE$.
（2）如图②，AD是$△ ABC$的中线，点E在BC的延长线上，$CE=AB$，$∠ BAC=∠ BCA$，求证：$AE=2AD$.
（1）如图①，AD是$△ ABC$的中线，且$AB＞AC$，延长AD至点E，使$ED=AD$，连接BE. 求证：$AC=BE$.
（2）如图②，AD是$△ ABC$的中线，点E在BC的延长线上，$CE=AB$，$∠ BAC=∠ BCA$，求证：$AE=2AD$.
答案
5. 证明 （1）因为 $AD$ 是$△ ABC$ 的中线，
所以 $DB=CD$。
在$△ ADC$ 和$△ EDB$ 中，$\begin{cases}AD=DE, \\ ∠ ADC=∠ BDE, \\ CD=BD,\end{cases}$
所以$△ ADC≌△ EDB$（SAS）。
所以 $AC=BE$。
（2）如图，延长 $AD$ 至点 $M$，使 $DM=AD$。连接 $CM$。
因为 $AD$ 是$△ ABC$ 的中线，所以 $DB=CD$。
在$△ ABD$ 和$△ MCD$ 中，$\begin{cases}AD=MD, \\ ∠ ADB=∠ MDC, \\ BD=CD,\end{cases}$
所以$△ ABD≌△ MCD$（SAS）。
所以 $AB=MC$，$∠ B=∠ MCD$。
因为 $AB=CE$，所以 $CM=CE$。
因为$∠ BAC=∠ BCA$，
所以$∠ B+∠ BAC=∠ MCD+∠ ACB$。
即$∠ ACE=∠ ACM$。
在$△ ACM$ 和$△ ACE$ 中，$\begin{cases}AC=AC, \\ ∠ ACM=∠ ACE, \\ CM=CE,\end{cases}$
所以$△ ACM≌△ ACE$（SAS）。
所以 $AM=AE$。
因为 $AM=2AD$，所以 $AE=2AD$。
解析
【分析】
（1）要证$AC=BE$，可通过证明$△ADC$和$△EDB$全等推导：已知AD是$△ABC$的中线，可得$BD=CD$，题目给出$ED=AD$，再结合对顶角$∠ADC=∠BDE$，满足SAS全等判定条件，即可证全等得对应边相等。
（2）要证$AE=2AD$，符合倍长中线法的应用场景：遇到和中线相关的线段倍数证明时，可延长中线至两倍长度构造全等三角形。先延长AD到M使$DM=AD$，连接CM，先证$△ABD≌△MCD$得到$AB=CM$、对应角相等，再结合已知$AB=CE$推出$CM=CE$，通过角的和差关系证明$∠ACM=∠ACE$，进而证明$△ACM≌△ACE$得到$AM=AE$，结合$AM=2AD$即可得证。
【解析】
（1）证明：
∵AD是$△ABC$的中线，
∴$DB=CD$。
在$△ADC$和$△EDB$中：
$\begin{cases}AD=DE, \\ ∠ADC=∠BDE, \\ CD=BD,\end{cases}$
∴$△ADC≌△EDB$（SAS），
∴$AC=BE$。
（2）证明：
延长AD至点M，使$DM=AD$，连接CM。
∵AD是$△ABC$的中线，
∴$DB=CD$。
在$△ABD$和$△MCD$中：
$\begin{cases}AD=MD, \\ ∠ADB=∠MDC, \\ BD=CD,\end{cases}$
∴$△ABD≌△MCD$（SAS），
∴$AB=MC$，$∠B=∠MCD$。
∵$AB=CE$，
∴$CM=CE$。
∵$∠BAC=∠BCA$，
∴$∠B+∠BAC=∠MCD+∠ACB$，即$∠ACE=∠ACM$。
在$△ACM$和$△ACE$中：
$\begin{cases}AC=AC, \\ ∠ACM=∠ACE, \\ CM=CE,\end{cases}$
∴$△ACM≌△ACE$（SAS），
∴$AM=AE$。
∵$AM=2AD$，
∴$AE=2AD$。
【答案】
（1）
证明：因为 $AD$ 是$△ ABC$ 的中线，
所以 $DB=CD$。
在$△ ADC$ 和$△ EDB$ 中，$\begin{cases}AD=DE, \\ ∠ ADC=∠ BDE, \\ CD=BD,\end{cases}$
所以$△ ADC≌△ EDB$（SAS）。
所以 $AC=BE$。
（2）
如图，延长 $AD$ 至点 $M$，使 $DM=AD$。连接 $CM$。
因为 $AD$ 是$△ ABC$ 的中线，所以 $DB=CD$。
在$△ ABD$ 和$△ MCD$ 中，$\begin{cases}AD=MD, \\ ∠ ADB=∠ MDC, \\ BD=CD,\end{cases}$
所以$△ ABD≌△ MCD$（SAS）。
所以 $AB=MC$，$∠ B=∠ MCD$。
因为 $AB=CE$，所以 $CM=CE$。
因为$∠ BAC=∠ BCA$，
所以$∠ B+∠ BAC=∠ MCD+∠ ACB$。
即$∠ ACE=∠ ACM$。
在$△ ACM$ 和$△ ACE$ 中，$\begin{cases}AC=AC, \\ ∠ ACM=∠ ACE, \\ CM=CE,\end{cases}$
所以$△ ACM≌△ ACE$（SAS）。
所以 $AM=AE$。
因为 $AM=2AD$，所以 $AE=2AD$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；倍长中线法；三角形中线的定义
【点评】
本题是倍长中线法构造全等三角形的典型习题，第一问直接给出倍长中线的辅助线，侧重考察全等三角形SAS判定的基础应用；第二问需要自主构造倍长中线辅助线，通过两次全等转化线段、角的关系从而证明线段的倍数关系，熟练掌握倍长中线的适用场景和辅助线作法是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.6
（1）要证$AC=BE$，可通过证明$△ADC$和$△EDB$全等推导：已知AD是$△ABC$的中线，可得$BD=CD$，题目给出$ED=AD$，再结合对顶角$∠ADC=∠BDE$，满足SAS全等判定条件，即可证全等得对应边相等。
（2）要证$AE=2AD$，符合倍长中线法的应用场景：遇到和中线相关的线段倍数证明时，可延长中线至两倍长度构造全等三角形。先延长AD到M使$DM=AD$，连接CM，先证$△ABD≌△MCD$得到$AB=CM$、对应角相等，再结合已知$AB=CE$推出$CM=CE$，通过角的和差关系证明$∠ACM=∠ACE$，进而证明$△ACM≌△ACE$得到$AM=AE$，结合$AM=2AD$即可得证。
【解析】
（1）证明：
∵AD是$△ABC$的中线，
∴$DB=CD$。
在$△ADC$和$△EDB$中：
$\begin{cases}AD=DE, \\ ∠ADC=∠BDE, \\ CD=BD,\end{cases}$
∴$△ADC≌△EDB$（SAS），
∴$AC=BE$。
（2）证明：
延长AD至点M，使$DM=AD$，连接CM。
∵AD是$△ABC$的中线，
∴$DB=CD$。
在$△ABD$和$△MCD$中：
$\begin{cases}AD=MD, \\ ∠ADB=∠MDC, \\ BD=CD,\end{cases}$
∴$△ABD≌△MCD$（SAS），
∴$AB=MC$，$∠B=∠MCD$。
∵$AB=CE$，
∴$CM=CE$。
∵$∠BAC=∠BCA$，
∴$∠B+∠BAC=∠MCD+∠ACB$，即$∠ACE=∠ACM$。
在$△ACM$和$△ACE$中：
$\begin{cases}AC=AC, \\ ∠ACM=∠ACE, \\ CM=CE,\end{cases}$
∴$△ACM≌△ACE$（SAS），
∴$AM=AE$。
∵$AM=2AD$，
∴$AE=2AD$。
【答案】
（1）
证明：因为 $AD$ 是$△ ABC$ 的中线，
所以 $DB=CD$。
在$△ ADC$ 和$△ EDB$ 中，$\begin{cases}AD=DE, \\ ∠ ADC=∠ BDE, \\ CD=BD,\end{cases}$
所以$△ ADC≌△ EDB$（SAS）。
所以 $AC=BE$。
（2）
如图，延长 $AD$ 至点 $M$，使 $DM=AD$。连接 $CM$。
因为 $AD$ 是$△ ABC$ 的中线，所以 $DB=CD$。
在$△ ABD$ 和$△ MCD$ 中，$\begin{cases}AD=MD, \\ ∠ ADB=∠ MDC, \\ BD=CD,\end{cases}$
所以$△ ABD≌△ MCD$（SAS）。
所以 $AB=MC$，$∠ B=∠ MCD$。
因为 $AB=CE$，所以 $CM=CE$。
因为$∠ BAC=∠ BCA$，
所以$∠ B+∠ BAC=∠ MCD+∠ ACB$。
即$∠ ACE=∠ ACM$。
在$△ ACM$ 和$△ ACE$ 中，$\begin{cases}AC=AC, \\ ∠ ACM=∠ ACE, \\ CM=CE,\end{cases}$
所以$△ ACM≌△ ACE$（SAS）。
所以 $AM=AE$。
因为 $AM=2AD$，所以 $AE=2AD$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；倍长中线法；三角形中线的定义
【点评】
本题是倍长中线法构造全等三角形的典型习题，第一问直接给出倍长中线的辅助线，侧重考察全等三角形SAS判定的基础应用；第二问需要自主构造倍长中线辅助线，通过两次全等转化线段、角的关系从而证明线段的倍数关系，熟练掌握倍长中线的适用场景和辅助线作法是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.6
