11.某课外密码研究小组接收到一条密文：
$8x(m^2 - n^2) - 8y(m^2 - n^2)$.已知密码手册的部分信息如下表所示：

把密文$8x(m^2 - n^2) - 8y(m^2 - n^2)$用因式分解解码后，明文可能是 （）

A.中华大地
B.爱我中华
C.爱大中华
D.我爱中大

11. D

12. (2026 北京)分解因式：$x^3 - 49x =$ 。

12. $x(x+7)(x-7)$

13. 分解因式：
(1) $4(x^2 + y^2)^2 - 16x^2y^2$.
(2) $n^2(m - 2) + (2 - m)$;
(3) $4ab^2 - 4a^2b - b^3$.

13. 解:(1)原式=$4[(x^2+y^2)^2-(2xy)^2]=4(x^2+y^2+2xy)·(x^2+y^2-2xy)=4(x+y)^2(x-y)^2$.
(2)原式=$(m-2)(n^2-1)=(m-2)(n+1)(n-1)$.
(3)原式=$-b(4a^2-4ab+b^2)=-b(2a-b)^2$.

14. 学习乘法公式时，小慧发现数学结论：当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差。为了验证这一结论，进行了如下探究.
【特值验证】选取两个正整数3和1都是奇数，验证如下：
由于$(3+1)^2 - (3-1)^2 = 16 - 4 = 12$，$12 ÷ 4 = 3$，即能被4整除.
而且$3 × 1 = 2^2 - 1^2$，可以表示为2和1的平方差，验证结论正确.
(1)若选取两个正整数4和2都是偶数，请你模仿上述示例给予验证；
【规律探究】设两个正整数$m,n$，且$m$和$n$同为奇数或同为偶数，试证明：
(2)$(m+n)^2 - (m-n)^2$是4的倍数；
(3)$mn$可以表示为两个正整数的平方差.

14. (1)解:$\because (4+2)^2-(4-2)^2=36-4=32,32÷4=8$,即能被4整除.
又$\because 4×2=3^2-1^2$,
$\therefore$可以表示为3和1的平方差,
验证结论正确.
(2)证明:$\because (m+n)^2-(m-n)^2=(m+n+m-n)(m+n-m+n)=4mn$,且$m,n$均为正整数,
$\therefore (m+n)^2-(m-n)^2$是4的倍数.
(3)证明:由(2)可知,$mn=(\dfrac{m+n}{2})^2-(\dfrac{m-n}{2})^2$.
$\because m,n$同为偶数或同为奇数,不妨设$m＞n$,
$\therefore m+n,m-n$都是正偶数,
$\therefore \dfrac{m+n}{2}$和$\dfrac{m-n}{2}$都是正整数,
$\therefore mn$一定能表示为两个正整数的平方差.