8.若$a,b$为常数,关于$x$的一元一次方程$\frac{2kx+a}{3}-\frac{x-bk}{6}=1$,无论$k$为何值,它的解总是$x=1$,求$2a+3b$的值.

8. 解:将$x=1$代入$\frac{2kx+a}{3}-\frac{x-bk}{6}=1$,
得$\frac{2k+a}{3}-\frac{1-bk}{6}=1$,
化简,得$(4+b)k+2a=7$.
因为无论$k$为何值,一元一次方程$\frac{2kx+a}{3}-\frac{x-bk}{6}=1$的解总是$x=1$,
所以无论$k$为何值,$(4+b)k+2a=7$总成立,
所以$4+b=0,2a=7$,
所以$b=-4,2a=7$,
所以$2a+3b=7-12=-5$.

9.定义:关于$x$的方程$ax - b = 0$与方程$bx - a = 0$($a,b$均为不等于0的常数)称互为“反对方程”.例如:方程$2x -1 =0$与方程$x -2 =0$互为“反对方程”.
(1)若关于$x$的方程$5x -3 =0$与方程$3x -c =0$互为“反对方程”,则$c=$;
(2)若关于$x$的方程$4x +3m +2 =0$与方程$5x -n +2 =0$互为“反对方程”,求$mn$的值;
(3)若关于$x$的方程$2x -c =0$与其“反对方程”的解都是整数,求整数$c$的值.

9. 解:(1)5
(2)将$4x+3m+2=0$写成$4x-(-3m-2)=0$的形式,
将$5x-n+2=0$写成$5x-(n-2)=0$的形式,
由条件可知$-3m-2=5,n-2=4$,
所以$m=-\frac{7}{3},n=6$,
所以$mn=-\frac{7}{3}×6=-14$.
(3)$2x-c=0$的“反对方程”为$cx-2=0$,
由$2x-c=0$,得$x=\frac{c}{2}$,
由$cx-2=0$,得$x=\frac{2}{c}$.
由条件可知$\frac{c}{2}$与$\frac{2}{c}$都是整数,且$c$也是整数,
所以$c$的值是2或-2.

10. (2025长沙模拟)已知关于$x$的一元一次方程$cx+d=0(c≠0,c,d$都是常数),若这个方程的解恰好为$x=c+d$或$x=-c-d$,则称这个方程为“幸福方程”.例如:$-2x+4=0$的解为$x=2$,而$-2+4=2$,则方程$-2x+4=0$是“幸福方程”.
(1)下列方程是“幸福方程”的打“√”,不是“幸福方程”的打“×”.
①$3x-\frac{9}{4}=0$ ;
②$x-7=0$ ;
③$-3x+1=-\frac{7}{2}$ .
(2)若关于$x$的方程$2x+m=0$是“幸福方程”,求$m$的值.
(3)若关于$x$的方程$ax-b=0$是“幸福方程”,求关于$y$的方程$a(b-a)y+5=(-b+1)y$的解.

10. 解:(1)①√ ②× ③√
(2)$2x+m=0$,
解得$x=-\frac{m}{2}$.
因为方程$2x+m=0$是“幸福方程”,
所以$-\frac{m}{2}=2+m$或$-\frac{m}{2}=-2-m$,
解得$m=-\frac{4}{3}$或$m=-4$.
综上所述,$m$的值为$-\frac{4}{3}$或$-4$.
(3)由$ax-b=0$,得$x=\frac{b}{a}$.
因为方程$ax-b=0$是幸福方程,
所以$\frac{b}{a}=a-b$或$\frac{b}{a}=b-a$.
①当$\frac{b}{a}=a-b$时,
因为$a(b-a)y+5=(-b+1)y$,
所以$a(-\frac{b}{a})y+5=(-b+1)y$,
所以$-by+5=-by+y$,
解得$y=5$.
②当$\frac{b}{a}=b-a$时,
因为$a(b-a)y+5=(-b+1)y$,
所以$a·\frac{b}{a}y+5=(-b+1)y$,
所以$by+5=-by+y$,
所以$y-2by=5$,
所以$(1-2b)y=5$.
当$b=\frac{1}{2}$时,该方程无解;
当$b≠\frac{1}{2}$时,$y=\frac{5}{1-2b}$.
综上所述,当$b≠\frac{1}{2}$时,$y=5$或$y=\frac{5}{1-2b}$;当$b=\frac{1}{2}$时,$y=5$.