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2. 金秋十月，公园色彩斑斓. 小明同学捡到一片沿直线被折断了的银杏叶（如图），他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是
两点之间，线段最短
.答案
2. 两点之间，线段最短
解析
【分析】
解题时首先对比原银杏叶和剩下银杏叶的周长差异：二者仅在折断处的两个端点之间的部分不同，原周长中该部分是叶片的曲线边缘，剩下的周长中该部分是折断形成的直线段。周长变小说明该直线段长度小于原来的曲线长度，结合所学的线段性质即可找到对应的数学知识。
【解析】
设折断位置的两个端点为A、B：
1. 原银杏叶的周长包含A、B两点之间叶片边缘的曲线长度；
2. 折断后剩下的银杏叶的周长中，A、B两点之间的部分变为线段AB的长度；
3. 根据线段的性质：两点之间，线段最短，可得线段AB的长度小于A、B两点之间原曲线的长度，因此剩下的银杏叶周长比原周长小。
【答案】
两点之间，线段最短
【知识点】
线段的性质、周长的含义
【点评】
本题结合生活中的常见现象考查数学知识的应用，引导学生体会数学与生活的联系，同时考查对基础性质的理解和运用能力。
【难度系数】
0.9
解题时首先对比原银杏叶和剩下银杏叶的周长差异：二者仅在折断处的两个端点之间的部分不同，原周长中该部分是叶片的曲线边缘，剩下的周长中该部分是折断形成的直线段。周长变小说明该直线段长度小于原来的曲线长度，结合所学的线段性质即可找到对应的数学知识。
【解析】
设折断位置的两个端点为A、B：
1. 原银杏叶的周长包含A、B两点之间叶片边缘的曲线长度；
2. 折断后剩下的银杏叶的周长中，A、B两点之间的部分变为线段AB的长度；
3. 根据线段的性质：两点之间，线段最短，可得线段AB的长度小于A、B两点之间原曲线的长度，因此剩下的银杏叶周长比原周长小。
【答案】
两点之间，线段最短
【知识点】
线段的性质、周长的含义
【点评】
本题结合生活中的常见现象考查数学知识的应用，引导学生体会数学与生活的联系，同时考查对基础性质的理解和运用能力。
【难度系数】
0.9
3. 如图所示，已知线段AB，点P是线段AB外一点.
（1）按要求作图，保留作图痕迹；
①作射线PA，作直线PB；
②延长线段AB至点C，使得AC=2AB，再反向延长AC至点D，使得AD=AC.
（2）比较（1）中的线段AC与BD的长短.
（1）按要求作图，保留作图痕迹；
①作射线PA，作直线PB；
②延长线段AB至点C，使得AC=2AB，再反向延长AC至点D，使得AD=AC.
（2）比较（1）中的线段AC与BD的长短.
答案
解（1）作图略 （2）AC＜BD
解析
【分析】
解决第（1）问时，先明确各类线的作图规则：①射线PA以P为端点，过点A向A侧无限延伸；直线PB过P、B两点，向两端无限延伸，按定义作图即可。②要使AC=2AB，可知B是AC中点，因此在AB的延长线上截取BC=AB即可得到点C；反向延长AC即从A出发向与C相反的方向延伸，截取AD=AC即可得到点D。解决第（2）问时，可设AB的长度为参数，通过线段的和差关系分别表示出AC和BD的长度，再比较二者大小即可。
【解析】
（1）作图步骤：
①以P为端点，过点A向外延伸画出射线PA；过P、B两点，向两端无限延伸画出直线PB；
②沿AB方向延长，在延长线上截取BC=AB，此时AC=AB+BC=2AB，得到点C；再沿CA方向延长，在延长线上截取AD=AC，得到点D，保留所有作图痕迹即可。
（2）设AB的长度为$a$，由作图可得：
$AC=2AB=2a$，
$AD=AC=2a$，
点的位置顺序为$D、A、B、C$，因此$BD=AD+AB=2a+a=3a$，
因为$2a＜3a$，所以$AC＜BD$。
【答案】
（1）作图略；（2）$AC＜BD$
【知识点】
1. 直线射线线段的概念 2. 线段和差计算 3. 尺规作图
【点评】
本题属于几何入门基础题，既考查了直线、射线、线段的作图规范，也考查了线段和差的计算，通过设参数的方式可以更清晰理清不同线段之间的数量关系，是对基础几何能力的训练。
【难度系数】
0.7
解决第（1）问时，先明确各类线的作图规则：①射线PA以P为端点，过点A向A侧无限延伸；直线PB过P、B两点，向两端无限延伸，按定义作图即可。②要使AC=2AB，可知B是AC中点，因此在AB的延长线上截取BC=AB即可得到点C；反向延长AC即从A出发向与C相反的方向延伸，截取AD=AC即可得到点D。解决第（2）问时，可设AB的长度为参数，通过线段的和差关系分别表示出AC和BD的长度，再比较二者大小即可。
【解析】
（1）作图步骤：
①以P为端点，过点A向外延伸画出射线PA；过P、B两点，向两端无限延伸画出直线PB；
②沿AB方向延长，在延长线上截取BC=AB，此时AC=AB+BC=2AB，得到点C；再沿CA方向延长，在延长线上截取AD=AC，得到点D，保留所有作图痕迹即可。
（2）设AB的长度为$a$，由作图可得：
$AC=2AB=2a$，
$AD=AC=2a$，
点的位置顺序为$D、A、B、C$，因此$BD=AD+AB=2a+a=3a$，
因为$2a＜3a$，所以$AC＜BD$。
【答案】
（1）作图略；（2）$AC＜BD$
【知识点】
1. 直线射线线段的概念 2. 线段和差计算 3. 尺规作图
【点评】
本题属于几何入门基础题，既考查了直线、射线、线段的作图规范，也考查了线段和差的计算，通过设参数的方式可以更清晰理清不同线段之间的数量关系，是对基础几何能力的训练。
【难度系数】
0.7
4. 一支笔与一把直尺平靠放在一起，小明发现笔尖对准的直尺刻度约为5.6 cm，笔的另一端对准的直尺刻度约为20.6 cm. 则这支笔的中点位置对准的刻度约为（
A.15 cm
B.7.5 cm
C.13.1 cm
D.12.1 cm
C
）A.15 cm
B.7.5 cm
C.13.1 cm
D.12.1 cm
答案
4. C 解析 由笔尖端对着的直尺刻度约为5.6 cm，另一端对着的直尺刻度约为20.6 cm. 得这支笔的长度约为20.6－5.6＝15（cm），其一半为15÷2＝7.5（cm），因此这支笔的中点位置对应的刻度约为5.6＋7.5＝13.1（cm）。
解析
【分析】
要解决这道题可按三步思考：第一步，明确笔的两端分别对应直尺的5.6cm和20.6cm两个刻度，直尺上两点的距离等于较大刻度减去较小刻度，据此可先算出笔的总长度；第二步，根据中点的定义，中点到笔任意一端的距离是笔总长度的一半，算出总长度后除以2即可得到半长；第三步，中点距离笔尖（对应5.6cm刻度）的长度就是半长，用5.6cm加上半长就能得到中点对应的刻度值。
【解析】
首先计算笔的总长度：
$20.6 - 5.6 = 15\,\mathrm{cm}$
再计算笔长度的一半：
$15 ÷ 2 = 7.5\,\mathrm{cm}$
最后计算中点对应的刻度：
$5.6 + 7.5 = 13.1\,\mathrm{cm}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.线段长度计算 2.线段中点的定义
【点评】
本题结合生活测量的场景考查线段中点的基础计算，解题思路灵活，既可以先求总长度再累加半长，也可以直接计算两端刻度的平均值得到结果，侧重对基础概念的应用。
【难度系数】
0.8
要解决这道题可按三步思考：第一步，明确笔的两端分别对应直尺的5.6cm和20.6cm两个刻度，直尺上两点的距离等于较大刻度减去较小刻度，据此可先算出笔的总长度；第二步，根据中点的定义，中点到笔任意一端的距离是笔总长度的一半，算出总长度后除以2即可得到半长；第三步，中点距离笔尖（对应5.6cm刻度）的长度就是半长，用5.6cm加上半长就能得到中点对应的刻度值。
【解析】
首先计算笔的总长度：
$20.6 - 5.6 = 15\,\mathrm{cm}$
再计算笔长度的一半：
$15 ÷ 2 = 7.5\,\mathrm{cm}$
最后计算中点对应的刻度：
$5.6 + 7.5 = 13.1\,\mathrm{cm}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.线段长度计算 2.线段中点的定义
【点评】
本题结合生活测量的场景考查线段中点的基础计算，解题思路灵活，既可以先求总长度再累加半长，也可以直接计算两端刻度的平均值得到结果，侧重对基础概念的应用。
【难度系数】
0.8
5. 小亮完成了以下两道作图题：①“延长线段AB到点C，使$BC=AB$”；②“反向延长线段DE到点F，使D是线段EF的一个三等分点”.针对小亮的作图，小莹说：“B是线段AC中点”.小轩说：“$DE=2DF$”.下列说法正确的是（
A.小莹、小轩说得都对
B.小莹说得不对，小轩说得对
C.小莹、小轩说得都不对
D.小莹说得对，小轩说得不对
D
）A.小莹、小轩说得都对
B.小莹说得不对，小轩说得对
C.小莹、小轩说得都不对
D.小莹说得对，小轩说得不对
答案
5. D 解析 ①“延长线段AB到点C，使BC=AB”如图①所示，此时B是AC的中点；“反向延长线段DE到点F，使D是线段EF的一个三等分点”如图②所示，有两种情况，有DE＝2DF或$DE=\frac{1}{2}DF$，因此小莹说得对，小轩说得不对。
解析
【分析】
解题时先分别验证两人的说法是否正确：首先验证小莹的说法，根据线段中点的定义，判断满足AB=BC且B在线段AC上时，B是否为AC中点；再验证小轩的说法，明确反向延长DE得到F后，D作为EF的三等分点存在两种不同的位置情况，不能只认为只有DE=2DF这一种可能，据此判断两人说法的对错。
【解析】
1. 分析小莹的说法：作图①是延长线段AB到C，且BC=AB，此时点B在线段AC上，且AB=BC，根据线段中点的定义：若线段上一点把线段分成两条相等的线段，该点就是线段的中点，可得B是线段AC的中点，因此小莹的说法正确。
2. 分析小轩的说法：作图②是反向延长线段DE到点F，使D是线段EF的三等分点，此时点F、D、E共线，且D在F、E之间。三等分点有2种情况：
情况1：若DF是较短的那段，即$EF=3DF$，则$DE=EF-DF=2DF$；
情况2：若DE是较短的那段，即$EF=3DE$，则$DE=\frac{1}{2}DF$。
因此DE不一定等于2DF，小轩的说法错误。
综上，小莹说得对，小轩说得不对。
【答案】
D
【知识点】
线段中点的定义；线段三等分点的定义
【点评】
本题侧重考查线段分点的基础概念，解题的关键是注意线段的三等分点存在两种位置情况，不能只考虑其中一种导致判断错误，是对概念严谨性的考查。
【难度系数】
0.7
解题时先分别验证两人的说法是否正确：首先验证小莹的说法，根据线段中点的定义，判断满足AB=BC且B在线段AC上时，B是否为AC中点；再验证小轩的说法，明确反向延长DE得到F后，D作为EF的三等分点存在两种不同的位置情况，不能只认为只有DE=2DF这一种可能，据此判断两人说法的对错。
【解析】
1. 分析小莹的说法：作图①是延长线段AB到C，且BC=AB，此时点B在线段AC上，且AB=BC，根据线段中点的定义：若线段上一点把线段分成两条相等的线段，该点就是线段的中点，可得B是线段AC的中点，因此小莹的说法正确。
2. 分析小轩的说法：作图②是反向延长线段DE到点F，使D是线段EF的三等分点，此时点F、D、E共线，且D在F、E之间。三等分点有2种情况：
情况1：若DF是较短的那段，即$EF=3DF$，则$DE=EF-DF=2DF$；
情况2：若DE是较短的那段，即$EF=3DE$，则$DE=\frac{1}{2}DF$。
因此DE不一定等于2DF，小轩的说法错误。
综上，小莹说得对，小轩说得不对。
【答案】
D
【知识点】
线段中点的定义；线段三等分点的定义
【点评】
本题侧重考查线段分点的基础概念，解题的关键是注意线段的三等分点存在两种位置情况，不能只考虑其中一种导致判断错误，是对概念严谨性的考查。
【难度系数】
0.7
6. 如图，已知点M是线段AB的中点，P是线段AM的中点，若AB=10 cm，则PM=
2.5
cm.答案
6. 2.5 解析 因为M是线段AB的中点，AB=10 cm，所以$AM=\frac{1}{2}AB=5$ cm，又P是线段AM的中点，所以$PM=\frac{1}{2}AM=2.5$ cm。
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，题目给出了线段AB的总长度，且告知M是AB的中点，根据线段中点的定义，中点能将所在线段分为长度相等的两部分，因此可以先求出AM的长度；接下来又已知P是AM的中点，再次运用线段中点的定义，就能求出PM的长度。
【解析】
解：
∵ 点M是线段AB的中点，AB=10 cm，
∴ $AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$ cm，
又
∵ P是线段AM的中点，
∴ $PM=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}×5=2.5$ cm。
【答案】
2.5
【知识点】
1.线段中点的定义 2.线段长度计算
【点评】
本题是基础的线段长度计算题，核心是两次运用线段中点的性质，解题思路清晰，只要准确理解中点的概念，按步骤推导即可得到正确结果。
【难度系数】
0.85
解题时先从已知条件入手，题目给出了线段AB的总长度，且告知M是AB的中点，根据线段中点的定义，中点能将所在线段分为长度相等的两部分，因此可以先求出AM的长度；接下来又已知P是AM的中点，再次运用线段中点的定义，就能求出PM的长度。
【解析】
解：
∵ 点M是线段AB的中点，AB=10 cm，
∴ $AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$ cm，
又
∵ P是线段AM的中点，
∴ $PM=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}×5=2.5$ cm。
【答案】
2.5
【知识点】
1.线段中点的定义 2.线段长度计算
【点评】
本题是基础的线段长度计算题，核心是两次运用线段中点的性质，解题思路清晰，只要准确理解中点的概念，按步骤推导即可得到正确结果。
【难度系数】
0.85
7. 如图，E是线段AB的中点，C是EB上一点，且$EC:CB=1:4$，$AC=12\ \mathrm{cm}$.
(1) 求AB的长；
(2) 若F为CB的中点，求EF长.
(1) 求AB的长；
(2) 若F为CB的中点，求EF长.
答案
解 （1）设EC的长为x，因为EC：CB＝1：4，所以BC＝4x. 又BE＝BC＋CE，所以BE＝5x. 又E为线段AB的中点，所以$AE=BE=\frac{1}{2}AB$，所以AE＝5x. 又AC＝AE＋EC，AC＝12 cm，所以6x＝12，解得x＝2，所以AB＝2AE＝2×5x＝2×5×2＝20（cm）。
（2）因为F为线段CB的中点，所以$CF=\frac{1}{2}BC=2EC=2x$，由（1）题可知EC＝2 cm，又EF＝EC＋CF，所以EF＝3x＝3×2＝6（cm）。
（2）因为F为线段CB的中点，所以$CF=\frac{1}{2}BC=2EC=2x$，由（1）题可知EC＝2 cm，又EF＝EC＋CF，所以EF＝3x＝3×2＝6（cm）。
解析
【分析】
（1）要计算AB的长度，已知E是AB中点，只需先求出AE或BE的长度即可。我们可以根据线段比例关系设未知数表示各段长度：设EC长为x，由EC:CB=1:4得CB=4x，因此BE=EC+CB=5x；再根据中点性质可知AE=BE=5x，此时AC可表示为AE+EC=6x，结合AC=12cm即可求出x的值，进而算出AB的长。
（2）要计算EF的长度，已知F是CB中点，先由中点性质得CF=½CB=2x，观察线段组成可知EF=EC+CF=3x，代入第一问求出的x的值就能得到结果。
【解析】
（1）设EC的长为$x\ \mathrm{cm}$，
$\because EC:CB=1:4$，
$\therefore CB=4x\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BE=EC+CB=x+4x=5x\ \mathrm{cm}$，
$\because E$是线段$AB$的中点，
$\therefore AE=BE=5x\ \mathrm{cm}$，$AB=2BE=10x\ \mathrm{cm}$，
又$\because AC=AE+EC=5x+x=6x$，且$AC=12\ \mathrm{cm}$，
$\therefore 6x=12$，解得$x=2$，
$\therefore AB=10x=10×2=20\ \mathrm{cm}$。
（2）$\because F$是$CB$的中点，
$\therefore CF=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}×4x=2x\ \mathrm{cm}$，
$\therefore EF=EC+CF=x+2x=3x\ \mathrm{cm}$，
将$x=2$代入得：$EF=3×2=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{20\ \mathrm{cm}}$；（2）$\boldsymbol{6\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
1.线段中点的定义
2.线段的和差计算
3.比例的应用
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题核心是通过设未知数的方法，结合线段比例关系、中点性质梳理各段线段的数量关系，再根据已知线段长度列方程求解，这种设元法在线段、角度计算类题目中非常常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
（1）要计算AB的长度，已知E是AB中点，只需先求出AE或BE的长度即可。我们可以根据线段比例关系设未知数表示各段长度：设EC长为x，由EC:CB=1:4得CB=4x，因此BE=EC+CB=5x；再根据中点性质可知AE=BE=5x，此时AC可表示为AE+EC=6x，结合AC=12cm即可求出x的值，进而算出AB的长。
（2）要计算EF的长度，已知F是CB中点，先由中点性质得CF=½CB=2x，观察线段组成可知EF=EC+CF=3x，代入第一问求出的x的值就能得到结果。
【解析】
（1）设EC的长为$x\ \mathrm{cm}$，
$\because EC:CB=1:4$，
$\therefore CB=4x\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BE=EC+CB=x+4x=5x\ \mathrm{cm}$，
$\because E$是线段$AB$的中点，
$\therefore AE=BE=5x\ \mathrm{cm}$，$AB=2BE=10x\ \mathrm{cm}$，
又$\because AC=AE+EC=5x+x=6x$，且$AC=12\ \mathrm{cm}$，
$\therefore 6x=12$，解得$x=2$，
$\therefore AB=10x=10×2=20\ \mathrm{cm}$。
（2）$\because F$是$CB$的中点，
$\therefore CF=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}×4x=2x\ \mathrm{cm}$，
$\therefore EF=EC+CF=x+2x=3x\ \mathrm{cm}$，
将$x=2$代入得：$EF=3×2=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{20\ \mathrm{cm}}$；（2）$\boldsymbol{6\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
1.线段中点的定义
2.线段的和差计算
3.比例的应用
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题核心是通过设未知数的方法，结合线段比例关系、中点性质梳理各段线段的数量关系，再根据已知线段长度列方程求解，这种设元法在线段、角度计算类题目中非常常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
