8. (★★)如图22.3-4①,用一段长为$33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形ABCD$菜园,墙长为$12$米. 设$AB的长为x$米,矩形$ABCD菜园的面积为S$平方米.
(1)分别用含$x的代数式表示BC与S$.
(2)若$S = 54$,求$x$的值.
(3)如图22.3-4②,若在分成的两个小矩形的正前方各开一个$1.5$米宽的门(无须篱笆),当$x$为何值时,$S$取最大值? 最大值为多少?

(1) 因为AB为x米，中间隔墙与AB等长，垂直于墙的边共3条，所以篱笆总长为3x + BC = 33，故BC = 33 - 3x。面积S = AB·BC = x(33 - 3x) = -3x² + 33x。
(2) 当S = 54时，-3x² + 33x = 54，整理得x² - 11x + 18 = 0，解得x₁=2，x₂=9。
当x=2时，BC=33 - 3×2=27＞12（墙长），舍去；当x=9时，BC=33 - 3×9=6≤12，故x=9。
(3) 两门共宽2×1.5=3米，篱笆总长为3x - 3 + BC=33，得BC=36 - 3x。面积S = x(36 - 3x)=-3x² + 36x，对称轴x=6。
由BC≤12得36 - 3x≤12，x≥8；又BC＞0得x＜12，故x∈[8,12)。
函数S在[8,12)递减，当x=8时，S最大，S=8×(36 - 3×8)=8×12=96。
(1) BC=33 - 3x，S=-3x² + 33x；(2) x=9；(3) x=8时，S最大值为96平方米。

9. (★★)如图22.3-5,抛物线$y = x^{2}+bx + c与x轴交于A$,$B$两点,与$y轴交于点C$,$OA = 2$,$OC = 6$,连接$AC和BC$.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)$E$是抛物线在第四象限内的动点,连接$CE和BE$,求$\triangle BCE面积的最大值及此时点E$的坐标.

(1) ∵抛物线$y=x^2+bx+c$与$y$轴交于点$C$，$OC=6$，∴点$C(0,c)$，$|c|=6$。
∵抛物线开口向上且与$x$轴交于两点，∴$c=-6$，即$C(0,-6)$。
∵$OA=2$，点$A$在$x$轴上，设$A(-2,0)$（$A$在负半轴），代入抛物线方程：
$0=(-2)^2+b(-2)-6$，即$4-2b-6=0$，解得$b=-1$。
∴抛物线解析式为$y=x^2 - x - 6$。
(2) 由(1)得$B(3,0)$，$C(0,-6)$。
直线$BC$：设$y=kx-6$，将$B(3,0)$代入得$0=3k-6$，$k=2$，∴$y=2x-6$。
设$E(m,m^2 - m - 6)$（$0＜m＜3$，第四象限），过$E$作$x$轴垂线交$BC$于$F(m,2m - 6)$。
$EF=(2m - 6)-(m^2 - m - 6)=-m^2 + 3m$。
$S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2}× 3× EF=\frac{3}{2}(-m^2 + 3m)=-\frac{3}{2}m^2 + \frac{9}{2}m$。
对称轴$m=\frac{3}{2}$，当$m=\frac{3}{2}$时，$S_{max}=-\frac{3}{2}(\frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2}×\frac{3}{2}=\frac{27}{8}$。
此时$E(\frac{3}{2},(\frac{3}{2})^2 - \frac{3}{2} - 6)=(\frac{3}{2},-\frac{21}{4})$。
(1) $y=x^2 - x - 6$；(2) 面积最大值$\frac{27}{8}$，$E(\frac{3}{2},-\frac{21}{4})$。

10. (★★)(2023·东营改编)如图22.3-6,抛物线过点$O(0,0)$,$E(10,0)$,矩形$ABCD的边AB在线段OE$上(点$B在点A$的左侧),点$C$,$D$在抛物线上. 设$B(t,0)$,当$t = 2$时,$BC = 4$.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)当$t$为何值时,矩形$ABCD$的周长有最大值? 最大值是多少?

1. （1）
设抛物线的函数表达式为$y = ax(x - 10)(a\neq0)$。
已知当$t = 2$时，$BC = 4$，此时点$C$的坐标为$(2,-4)$（因为$BC$是矩形的边，$y$值为负）。
把$C(2,-4)$代入$y = ax(x - 10)$得：
$-4=a×2×(2 - 10)$。
即$-4 = 2a×(-8)$，$-4=-16a$。
解得$a=\frac{1}{4}$。
所以抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{4}x(x - 10)=\frac{1}{4}x^{2}-\frac{5}{2}x$。
2. （2）
因为$B(t,0)$，则$A(10 - t,0)$，点$C$的横坐标为$t$，把$x = t$代入$y=\frac{1}{4}x^{2}-\frac{5}{2}x$得$y_C=\frac{1}{4}t^{2}-\frac{5}{2}t$，所以$BC=-\left(\frac{1}{4}t^{2}-\frac{5}{2}t\right)=-\frac{1}{4}t^{2}+\frac{5}{2}t$。
又$AB=(10 - t)-t = 10 - 2t$。
矩形$ABCD$的周长$C = 2(AB + BC)$。
把$AB = 10 - 2t$，$BC=-\frac{1}{4}t^{2}+\frac{5}{2}t$代入得：
$C = 2\left[(10 - 2t)+\left(-\frac{1}{4}t^{2}+\frac{5}{2}t\right)\right]$。
展开括号：$C = 2\left(10 - 2t-\frac{1}{4}t^{2}+\frac{5}{2}t\right)$。
$C = 2\left(10+\left(-2t+\frac{5}{2}t\right)-\frac{1}{4}t^{2}\right)$。
$C = 2\left(10+\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}t^{2}\right)$。
$C=- \frac{1}{2}t^{2}+t + 20$。
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，这里$a=-\frac{1}{2}$，$b = 1$，$c = 20$。
根据二次函数的顶点公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$t=-\frac{1}{2×\left(-\frac{1}{2}\right)} = 1$。
当$t = 1$时，$C_{max}=-\frac{1}{2}×1^{2}+1 + 20$。
$C_{max}=-\frac{1}{2}+1 + 20=\frac{41}{2}$。
综上，（1）抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{4}x^{2}-\frac{5}{2}x$；（2）当$t = 1$时，矩形$ABCD$的周长有最大值，最大值是$\frac{41}{2}$。

(1)设抛物线的函数表达式为$y = ax(x - 10)$，将$t = 2$时，点$C(2,-4)$代入，得$-4 = a×2×(2 - 10)$，解得$a=\frac{1}{4}$，所以抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{4}x(x - 10)=\frac{1}{4}x^{2}-\frac{5}{2}x$。
(2)由题意，点$A$的坐标为$(t + m,0)$（$m$为矩形$AB$的长），点$D$的坐标为$(t + m,y_D)$，点$C$的坐标为$(t,y_C)$，因为$C$，$D$在抛物线上，所以$y_C=\frac{1}{4}t^{2}-\frac{5}{2}t$，$y_D=\frac{1}{4}(t + m)^{2}-\frac{5}{2}(t + m)$，由于$CD$平行于$x$轴，所以$y_C = y_D$，即$\frac{1}{4}t^{2}-\frac{5}{2}t=\frac{1}{4}(t + m)^{2}-\frac{5}{2}(t + m)$，解得$m = 10 - 2t$，则$BC$的长为$-y_C=-\left(\frac{1}{4}t^{2}-\frac{5}{2}t\right)=-\frac{1}{4}t^{2}+\frac{5}{2}t$，矩形周长$L = 2(m + BC)=2\left[(10 - 2t)+\left(-\frac{1}{4}t^{2}+\frac{5}{2}t\right)\right]=-\frac{1}{2}t^{2}+t + 20$，因为$-\frac{1}{2}＜0$，所以当$t = -\frac{1}{2×(-\frac{1}{2})}=1$时，周长有最大值，最大值为$-\frac{1}{2}×1^{2}+1 + 20=\frac{41}{2}$。
(1)抛物线的函数表达式为$\boxed{y=\frac{1}{4}x^{2}-\frac{5}{2}x}$；
(2)当$t = \boxed{1}$时，矩形周长最大值为$\boxed{\frac{41}{2}}$。