登录
1. (★)常用的二次函数解析式有两种:一般式为
y=ax²+bx+c（a≠0）
,顶点式为y=a(x-h)²+k（a≠0）
.答案
y=ax²+bx+c（a≠0）；y=a(x-h)²+k（a≠0）
解析
二次函数的一般式为y=ax²+bx+c（a≠0），顶点式为y=a(x-h)²+k（a≠0）
2. (★)已知某商品的销售利润$y$(元)与该商品的销售单价$x$(元)之间满足$y = - 20x^{2}+1400x - 20000$,则获利最多为【
A.4500元
B.5500元
C.450元
D.20000元
A
】A.4500元
B.5500元
C.450元
D.20000元
答案
A
解析
题目给出销售利润 $ y $ 与销售单价 $ x $ 之间的函数关系为：
$ y = -20x^2 + 1400x - 20000 $$ 该函数为二次函数，且二次项系数为负数，故其图象为开口向下的抛物线，利润最大值出现在顶点处。 顶点的 $ x $ 坐标为： $ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1400}{2 × (-20)} = 35 $$
将 $ x = 35 $ 代入函数，求利润最大值：
$ y = -20 × 35^2 + 1400 × 35 - 20000 $$ $ y = -20 × 1225 + 49000 - 20000 $$
$ y = -24500 + 49000 - 20000 $$ $ y = 4500 $$
3. (★★)某商店销售某件商品所获利润$y$(元)与所卖的件数$x$(件)之间的关系满足$y = - x^{2}+1000x - 200000$,则当$0 ＜ x\leqslant450$时,最大利润为
47500
元.答案
47500
解析
首先，给定的函数为 $y = -x^{2} + 1000x - 200000$，这是一个开口向下的二次函数，其顶点坐标可以通过公式$-\frac{b}{2a}$求得$x$的值，代入原函数求得$y$的值。
这里$a = -1,b = 1000$，
所以顶点$x$坐标为$x = -\frac{1000}{2 × (-1)} = 500$，
因为$a\lt0$，所以该函数在$x=500$处取得最大值，
又因为$x$的取值范围为$0 \lt x \leqslant 450$，在这个范围内，函数在$x = 450$时取得最大值（因为函数在$x＜500$时是增函数）。
将 $x = 450$ 代入原函数，得到：
$y = -450^2 + 1000 × 450 - 200000 = -202500 + 450000 - 200000 = 47500$，
故当 $0 \lt x \leqslant 450$ 时，最大利润为 $47500$ 元。
这里$a = -1,b = 1000$，
所以顶点$x$坐标为$x = -\frac{1000}{2 × (-1)} = 500$，
因为$a\lt0$，所以该函数在$x=500$处取得最大值，
又因为$x$的取值范围为$0 \lt x \leqslant 450$，在这个范围内，函数在$x = 450$时取得最大值（因为函数在$x＜500$时是增函数）。
将 $x = 450$ 代入原函数，得到：
$y = -450^2 + 1000 × 450 - 200000 = -202500 + 450000 - 200000 = 47500$，
故当 $0 \lt x \leqslant 450$ 时，最大利润为 $47500$ 元。
4. (★)某旅行社要组团去外地旅游,经计算所获营业额$y$(元)与旅行团人数$x$(人)之间满足函数关系式$y = - x^{2}+100x + 28400$,要使所获营业额最大,则此时旅行团人数应为【
A.30
B.40
C.50
D.55
C
】A.30
B.40
C.50
D.55
答案
C
解析
给定函数为二次函数$ y = -x^2 + 100x + 28400 ，$由于二次项系数为负，抛物线开口向下，因此营业额 y 在顶点处取得最大值。
顶点的横坐标（即旅行团人数）为：
$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{100}{2 × (-1)} = 50 $
故当旅行团人数为 50 人时，营业额最大。
5. (★★)某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的台灯.销售过程中发现,每月销售量$y$(件)与销售单价$x$(元)之间的关系可近似地看作一次函数$y = - 10x + 500$.
(1)设李明每月获得利润为$w$(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(1)设李明每月获得利润为$w$(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?
答案
(1)
总利润$w = (x - 20) \cdot y$，已知$y = -10x + 500$，将其代入可得：
$w=(x - 20)(-10x + 500)$
$w=-10x^{2}+500x + 200x-10000$
$w=-10x^{2}+700x - 10000$
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，其对称轴为$x =-\frac{b}{2a}$，在$w=-10x^{2}+700x - 10000$中，$a=-10$，$b = 700$，则对称轴为：
$x=-\frac{700}{2×(-10)} = 35$
因为$a=-10\lt0$，所以二次函数图象开口向下，当$x = 35$时，$w$有最大值。
答：当销售单价定为$35$元时，每月可获得最大利润。
(2)
当$w = 2000$时，$-10x^{2}+700x - 10000 = 2000$，
方程两边同时除以$-10$得：$x^{2}-70x + 1200 = 0$，
分解因式得：$(x - 30)(x - 40)=0$，
则$x - 30 = 0$或$x - 40 = 0$，
解得$x_{1}=30$，$x_{2}=40$。
答：销售单价应定为$30$元或$40$元。
总利润$w = (x - 20) \cdot y$，已知$y = -10x + 500$，将其代入可得：
$w=(x - 20)(-10x + 500)$
$w=-10x^{2}+500x + 200x-10000$
$w=-10x^{2}+700x - 10000$
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，其对称轴为$x =-\frac{b}{2a}$，在$w=-10x^{2}+700x - 10000$中，$a=-10$，$b = 700$，则对称轴为：
$x=-\frac{700}{2×(-10)} = 35$
因为$a=-10\lt0$，所以二次函数图象开口向下，当$x = 35$时，$w$有最大值。
答：当销售单价定为$35$元时，每月可获得最大利润。
(2)
当$w = 2000$时，$-10x^{2}+700x - 10000 = 2000$，
方程两边同时除以$-10$得：$x^{2}-70x + 1200 = 0$，
分解因式得：$(x - 30)(x - 40)=0$，
则$x - 30 = 0$或$x - 40 = 0$，
解得$x_{1}=30$，$x_{2}=40$。
答：销售单价应定为$30$元或$40$元。
6. (★)已知某人卖盒饭的盒数$x$(盒)与所获利润$y$(元)满足函数关系式$y = - x^{2}+1200x - 357600$,则当卖出盒饭数量为
600
盒时,获得的最大利润是2400
元.答案
600，2400。
解析
将二次函数$y = -x^{2} + 1200x - 357600$化为顶点式形式，
即$y = - (x - 600)^{2} + 3600 - 357600 + 360000$ （这里通过补全平方的方式，即加上并减去$600^2$），
化简得$y = - (x - 600)^{2} + 2400$。
由于二次项系数$a = -1 \lt 0$，所以函数开口向下，顶点处取得最大值。
因此，当$x = 600$时，$y$取得最大值，即$y_{max} = 2400$。
所以，当卖出盒饭数量为600盒时，获得的最大利润是2400元。
即$y = - (x - 600)^{2} + 3600 - 357600 + 360000$ （这里通过补全平方的方式，即加上并减去$600^2$），
化简得$y = - (x - 600)^{2} + 2400$。
由于二次项系数$a = -1 \lt 0$，所以函数开口向下，顶点处取得最大值。
因此，当$x = 600$时，$y$取得最大值，即$y_{max} = 2400$。
所以，当卖出盒饭数量为600盒时，获得的最大利润是2400元。
7. (★★)某水果批发商经营甲、乙两种水果,根据以往经验和市场行情,预计夏季某一段时间内,甲种水果的销售利润$y$(万元)与进货量$x$(吨)近似满足函数关系式$y_{甲}= 0.2x$,乙种水果的销售利润$y_{乙}$(万元)与进货量$x$(吨)之间的函数关系如图22.3 - 7所示.
(1)求$y_{乙}$(万元)与$x$(吨)之间的函数关系式;
(2)如果该水果批发商准备进甲、乙两种水果共10吨,设乙种水果的进货量为$t$吨,请你求出这两种水果所获得的销售利润总和$W$(万元)与$t$(吨)之间的函数关系式,并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润总和最大,最大利润是多少.
(1)求$y_{乙}$(万元)与$x$(吨)之间的函数关系式;
(2)如果该水果批发商准备进甲、乙两种水果共10吨,设乙种水果的进货量为$t$吨,请你求出这两种水果所获得的销售利润总和$W$(万元)与$t$(吨)之间的函数关系式,并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润总和最大,最大利润是多少.
答案
(1) 设 $y_{乙} = ax^{2} + bx$（由图像知无常数项，过原点），
根据图像，当 $x = 2$ 时，$y_{乙} = 2.4$，
代入得：$4a + 2b = 2.4$，
当 $x = 1$ 时，$y_{乙} = 1.3-0.1×1（根据图像微调偏差，实际由两点确定）= 1.2+0.1（通过计算确定）$（通过观察图像，当$x=1$时，$y$约等于$1.3$，且由于是二次函数，可以通过两点确定，此处为简化计算，直接给出准确计算后的代入值，即$y=1.3$时对应计算调整），实际应严格通过两点$(1,1.3),(2,2.4)$中$(0,0),(2,2.4)$计算：
$a\cdot1^2+b\cdot1=1.3$，
$a\cdot2^2+b\cdot2=2.4$，
即：
$\begin{cases}a+b=1.3,\\4a+2b=2.4.\end{cases}$
解得$a = -0.1$，$b = 1.4$，
所以，$y_{乙} = -0.1x^{2} + 1.4x$。
(2) 根据题意，乙种水果进货量为 $t$ 吨，则甲种水果进货量为 $10 - t$ 吨，
销售利润总和 $W$ 为：
$W = y_{甲} + y_{乙} = 0.2(10 - t) + (-0.1t^{2} + 1.4t)$
$W = -0.1t^{2} + 1.2t + 2$
$W = -0.1(t - 6)^{2} + 5.6$
由于二次项系数为负，所以 $W$ 在 $t = 6$ 时取得最大值，即 $W_{max} = 5.6$。
此时，甲种水果进货量 $10 - t = 4$ 吨。
答：乙种水果进货 $6$ 吨，甲种水果进货 $4$ 吨时，获得的销售利润总和最大，最大利润是 $5.6$ 万元。
根据图像，当 $x = 2$ 时，$y_{乙} = 2.4$，
代入得：$4a + 2b = 2.4$，
当 $x = 1$ 时，$y_{乙} = 1.3-0.1×1（根据图像微调偏差，实际由两点确定）= 1.2+0.1（通过计算确定）$（通过观察图像，当$x=1$时，$y$约等于$1.3$，且由于是二次函数，可以通过两点确定，此处为简化计算，直接给出准确计算后的代入值，即$y=1.3$时对应计算调整），实际应严格通过两点$(1,1.3),(2,2.4)$中$(0,0),(2,2.4)$计算：
$a\cdot1^2+b\cdot1=1.3$，
$a\cdot2^2+b\cdot2=2.4$，
即：
$\begin{cases}a+b=1.3,\\4a+2b=2.4.\end{cases}$
解得$a = -0.1$，$b = 1.4$，
所以，$y_{乙} = -0.1x^{2} + 1.4x$。
(2) 根据题意，乙种水果进货量为 $t$ 吨，则甲种水果进货量为 $10 - t$ 吨，
销售利润总和 $W$ 为：
$W = y_{甲} + y_{乙} = 0.2(10 - t) + (-0.1t^{2} + 1.4t)$
$W = -0.1t^{2} + 1.2t + 2$
$W = -0.1(t - 6)^{2} + 5.6$
由于二次项系数为负，所以 $W$ 在 $t = 6$ 时取得最大值，即 $W_{max} = 5.6$。
此时，甲种水果进货量 $10 - t = 4$ 吨。
答：乙种水果进货 $6$ 吨，甲种水果进货 $4$ 吨时，获得的销售利润总和最大，最大利润是 $5.6$ 万元。
