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1. (★)在$\mathrm{R}\mathrm{t}\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$BC = 8$,$AB = 10$,$\sin B$的值为
$\frac{3}{5}$（或 0.6）
.答案
$\frac{3}{5}$（或 0.6）
解析
在直角三角形$ABC$中，已知$\angle C = 90^{\circ}$，$BC = 8$，$AB = 10$。
根据正弦函数的定义，在直角三角形中，$\sin B$等于对边$AC$的长度除以斜边$AB$的长度，即$\sin B = \frac{AC}{AB}$，
根据勾股定理$AC = \sqrt{AB^{2} - BC^{2}} = \sqrt{10^{2} - 8^{2}} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$，
代入$\sin B = \frac{AC}{AB}$，得$\sin B = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$。
根据正弦函数的定义，在直角三角形中，$\sin B$等于对边$AC$的长度除以斜边$AB$的长度，即$\sin B = \frac{AC}{AB}$，
根据勾股定理$AC = \sqrt{AB^{2} - BC^{2}} = \sqrt{10^{2} - 8^{2}} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$，
代入$\sin B = \frac{AC}{AB}$，得$\sin B = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$。
2. (★)在$\mathrm{R}\mathrm{t}\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,我们把锐角$A$的
邻边
与斜边
的比叫做$\angle A$的余弦,记作$\cos A$.答案
邻边，斜边
解析
本题可根据锐角三角函数中余弦的定义来填空。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，把锐角$A$的邻边与斜边的比叫做$\angle A$的余弦，记作$\cos A$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，把锐角$A$的邻边与斜边的比叫做$\angle A$的余弦，记作$\cos A$。
3. (★)在$\mathrm{R}\mathrm{t}\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AB = 5$,$AC = 2$,则$\cos A$的值是【
A.$\dfrac{\sqrt{21}}{5}$
B.$\dfrac{2}{5}$
C.$\dfrac{\sqrt{21}}{2}$
D.$\dfrac{5}{2}$
B
】A.$\dfrac{\sqrt{21}}{5}$
B.$\dfrac{2}{5}$
C.$\dfrac{\sqrt{21}}{2}$
D.$\dfrac{5}{2}$
答案
B
解析
在直角三角形$ABC$中，$\angle C = 90°$，$AB = 5$，$AC = 2$。
根据余弦的定义，$\cos A = \frac{邻边}{斜边} = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{5}$。
4. (★)在以$O$为坐标原点的直角坐标平面内,有一点$A(3,4)$,射线$OA与x轴正半轴的夹角为\alpha$,那么$\cos \alpha$的值为【
A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{4}{3}$
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{3}{4}$
A
】A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{4}{3}$
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{3}{4}$
答案
A
解析
过点A作AB⊥x轴于点B，则OB=3，AB=4。在Rt△AOB中，OA=√(3²+4²)=5，所以cosα=OB/OA=3/5。
5. (★)(2023·攀枝花)$\triangle ABC$中,$\angle A$,$\angle B$,$\angle C的对边分别为a$,$b$,$c$.已知$a = 6$,$b = 8$,$c = 10$,则$\cos A$的值为【
A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{4}{3}$
C
】A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{4}{3}$
答案
C
解析
在△ABC中，a=6，b=8，c=10。因为6²+8²=36+64=100=10²，所以△ABC是直角三角形，∠C=90°。根据余弦定义，cosA=邻边/斜边=b/c=8/10=4/5。
6. (★)在正方形网格中,$\triangle ABC$的位置如图28.1 - 7所示,则$\cos B$的值为【
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
B
】A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
答案
B
解析
过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D，设网格小正方形边长为1。由图可知，BC=2，AD=4，BD=BC+CD=2+2=4。在Rt△ABD中，AB=√(AD²+BD²)=√(4²+4²)=4√2。cosB=BD/AB=4/(4√2)=√2/2。
7. (★★)如图28.1 - 8,$\mathrm{R}\mathrm{t}\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,点$D在AC$上,$\angle DBC = \angle A$.若$AC = 4$,$\cos A = \dfrac{4}{5}$,则$BD$的长度为【
A.$\dfrac{9}{4}$
B.$\dfrac{12}{5}$
C.$\dfrac{15}{4}$
D.$4$
C
】A.$\dfrac{9}{4}$
B.$\dfrac{12}{5}$
C.$\dfrac{15}{4}$
D.$4$
答案
C
解析
在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=AC/AB=4/5，AC=4，
∴AB=5。由勾股定理得BC=√(AB²-AC²)=√(5²-4²)=3。
∵∠DBC=∠A，∠BCD=∠ACB=90°，
∴△DBC∽△BAC。
∴BD/BA=BC/AC，即BD/5=3/4，解得BD=15/4。
∴AB=5。由勾股定理得BC=√(AB²-AC²)=√(5²-4²)=3。
∵∠DBC=∠A，∠BCD=∠ACB=90°，
∴△DBC∽△BAC。
∴BD/BA=BC/AC，即BD/5=3/4，解得BD=15/4。
8. (★★)如图28.1 - 9,直径为10的$\odot A经过点C(0,5)和点O(0,0)$,$B是y轴右侧\odot A$优弧上的点,则$\angle OBC$的余弦值为【
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\dfrac{4}{5}$
C
】A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\dfrac{4}{5}$
答案
C
解析
∵⊙A直径为10，
∴半径为5。
∵⊙A经过O(0,0)和C(0,5)，设圆心A(x,y)，则OA=AC=5。
由OA²=x²+y²=25，AC²=x²+(y-5)²=25，解得x=(5√3)/2，y=5/2，即圆心A((5√3)/2,5/2)。
取y轴右侧优弧上点B(5√3,0)（圆与x轴交点，易证BA=5），连接OB、BC、OC。
∵O(0,0)，B(5√3,0)，C(0,5)，
∴OB=5√3，OC=5，BC=√[(5√3)²+5²]=10。
在Rt△OBC中，∠BOC=90°，
∴cos∠OBC=OB/BC=(5√3)/10=√3/2。
9. (★★)如图28.1 - 10,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 8\mathrm{cm}$,$AB的垂直平分线MN交AC于点D$,连接$BD$,若$\cos \angle BDC = \dfrac{3}{5}$,则$BC$的长是【
A.$4\mathrm{cm}$
B.$6\mathrm{cm}$
C.$8\mathrm{cm}$
D.$10\mathrm{cm}$
A
】A.$4\mathrm{cm}$
B.$6\mathrm{cm}$
C.$8\mathrm{cm}$
D.$10\mathrm{cm}$
答案
A
解析
设 $ DC = 3k $，在 $ Rt\triangle BDC $ 中，$ \cos\angle BDC = \frac{DC}{BD} = \frac{3}{5} $，则 $ BD = 5k $。
∵ $ MN $ 是 $ AB $ 的垂直平分线，
∴ $ AD = BD = 5k $。
∵ $ AC = AD + DC = 5k + 3k = 8k $，且 $ AC = 8\,cm $，
∴ $ 8k = 8 $，解得 $ k = 1 $。
∴ $ DC = 3\,cm $，$ BD = 5\,cm $。
在 $ Rt\triangle BDC $ 中，由勾股定理得 $ BC = \sqrt{BD^2 - DC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4\,cm $。
∵ $ MN $ 是 $ AB $ 的垂直平分线，
∴ $ AD = BD = 5k $。
∵ $ AC = AD + DC = 5k + 3k = 8k $，且 $ AC = 8\,cm $，
∴ $ 8k = 8 $，解得 $ k = 1 $。
∴ $ DC = 3\,cm $，$ BD = 5\,cm $。
在 $ Rt\triangle BDC $ 中，由勾股定理得 $ BC = \sqrt{BD^2 - DC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4\,cm $。
10. (★)在$\mathrm{R}\mathrm{t}\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$BC : AC = 3 : 4$,则$\cos A = $
$\frac{4}{5}$
.答案
$\frac{4}{5}$
解析
在$Rt\triangle ABC$中，由于$\angle C=90^{\circ}$，设$BC = 3x$，$AC = 4x$（$x\gt0$）。
根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$，可得$AB=\sqrt{(3x)^{2}+(4x)^{2}} = 5x$。
根据余弦的定义$\cos A=\frac{AC}{AB}$，将$AC = 4x$，$AB = 5x$代入可得$\cos A=\frac{4x}{5x}=\frac{4}{5}$。
根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$，可得$AB=\sqrt{(3x)^{2}+(4x)^{2}} = 5x$。
根据余弦的定义$\cos A=\frac{AC}{AB}$，将$AC = 4x$，$AB = 5x$代入可得$\cos A=\frac{4x}{5x}=\frac{4}{5}$。
11. (★)如图28.1 - 11,在$\mathrm{R}\mathrm{t}\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AB = 6$,$\cos B = \dfrac{2}{3}$,则$BC$的长为【
A.$4$
B.$2\sqrt{5}$
C.$\dfrac{18\sqrt{13}}{13}$
D.$\dfrac{12\sqrt{13}}{13}$
A
】A.$4$
B.$2\sqrt{5}$
C.$\dfrac{18\sqrt{13}}{13}$
D.$\dfrac{12\sqrt{13}}{13}$
答案
A
解析
在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\cos B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{2}{3}$，$AB=6$，则$BC=AB×\cos B=6×\dfrac{2}{3}=4$。
