登录
1. (★)三边
对应成比例
的两个三角形相似.答案
对应成比例
解析
根据相似三角形的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似。
2. (★)有下列说法:①所有的等腰三角形都相似;②所有的等边三角形都相似;③所有的等腰直角三角形都相似;④所有的直角三角形都相似.其中正确的有
②③
(只填序号).答案
②③
解析
① 对于等腰三角形，虽然它们都有两边相等，但它们的顶角和底角可能不同，因此不一定所有等腰三角形都相似，所以此说法是错误的。
② 对于等边三角形，所有角都是60度，所有边都相等，因此满足相似三角形的条件，即所有等边三角形都相似，所以此说法是正确的。
③ 对于等腰直角三角形，它们都有一个90度的角和两个45度的角，因此满足相似三角形的条件，即所有的等腰直角三角形都相似，所以此说法是正确的。
④ 对于直角三角形，虽然它们都含有一个90度的角，但其它两个角的大小可能不同，因此不一定所有的直角三角形都相似，所以此说法是错误的。
② 对于等边三角形，所有角都是60度，所有边都相等，因此满足相似三角形的条件，即所有等边三角形都相似，所以此说法是正确的。
③ 对于等腰直角三角形，它们都有一个90度的角和两个45度的角，因此满足相似三角形的条件，即所有的等腰直角三角形都相似，所以此说法是正确的。
④ 对于直角三角形，虽然它们都含有一个90度的角，但其它两个角的大小可能不同，因此不一定所有的直角三角形都相似，所以此说法是错误的。
3. (★)下列判断不正确的是【
A.两条直角边分别是3,4和6,8的两个直角三角形相似
B.斜边长和一条直角边长分别是$2\sqrt{5}$,4和$\sqrt{5}$,2的两个直角三角形相似
C.两条边长分别为7,4和14,8的两个直角三角形相似
D.斜边长和一条直角边长分别是5,3和2.5,1.5的两个直角三角形相似
C
】A.两条直角边分别是3,4和6,8的两个直角三角形相似
B.斜边长和一条直角边长分别是$2\sqrt{5}$,4和$\sqrt{5}$,2的两个直角三角形相似
C.两条边长分别为7,4和14,8的两个直角三角形相似
D.斜边长和一条直角边长分别是5,3和2.5,1.5的两个直角三角形相似
答案
C
解析
A.两直角边3,4与6,8的比为3/6=4/8=1/2，夹角均为直角，相似，正确；
B.第一个三角形另一直角边为√[(2√5)²-4²]=2，第二个为√[(√5)²-2²]=1，三边比2√5:√5=4:2=2:1=2:1，相似，正确；
C.两条边长7,4与14,8未明确是否为对应直角边或斜边，若7,4为直角边，14,8中14为斜边，8为直角边，则三边不成比例，不相似，故判断不正确；
D.斜边5/2.5=2，直角边3/1.5=2，比例相等，相似，正确。
B.第一个三角形另一直角边为√[(2√5)²-4²]=2，第二个为√[(√5)²-2²]=1，三边比2√5:√5=4:2=2:1=2:1，相似，正确；
C.两条边长7,4与14,8未明确是否为对应直角边或斜边，若7,4为直角边，14,8中14为斜边，8为直角边，则三边不成比例，不相似，故判断不正确；
D.斜边5/2.5=2，直角边3/1.5=2，比例相等，相似，正确。
4. (★)已知在$\triangle ABC和\triangle DEF$中,$AB = 2$,$BC = 3$,$AC = 4$,$DE = 6$,$EF = 9$,$DF = 12$,则$\triangle ABC与\triangle DEF$的关系是
相似
(填“相似”或“不相似”).答案
相似
解析
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，已知$AB = 2, BC = 3, AC = 4$，以及$DE = 6, EF = 9, DF = 12$。
计算两边对应比值：
$\frac{AB}{DE} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$，
$\frac{BC}{EF} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$，
$\frac{AC}{DF} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$。
由于$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$，即三边对应成比例，根据三角形的相似性质，$\triangle ABC \sim \triangle DEF$。
计算两边对应比值：
$\frac{AB}{DE} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$，
$\frac{BC}{EF} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$，
$\frac{AC}{DF} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$。
由于$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$，即三边对应成比例，根据三角形的相似性质，$\triangle ABC \sim \triangle DEF$。
5. (★)已知$\triangle ABC$的三边长分别为1,$\sqrt{2}$,$\sqrt{5}$,$\triangle DEF的三边长分别\sqrt{3}$,$\sqrt{6}$,$\sqrt{15}$,则$\triangle ABC与\triangle DEF$【
A.一定相似
B.一定不相似
C.不一定相似
D.无法判定是否相似
A
】A.一定相似
B.一定不相似
C.不一定相似
D.无法判定是否相似
答案
A
解析
计算两三角形对应边的比值：$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，三边对应成比例，故$\triangle ABC\sim\triangle DEF$。
6. (★★)如图27.2 - 19,在$4×4$的正方形网格中,是相似三角形的是【
A.①和②
B.②和③
C.①和③
D.②和④
C
】A.①和②
B.②和③
C.①和③
D.②和④
答案
C
解析
设小正方形边长为1，计算各三角形三边长度（勾股定理）：
①：√(1²+1²)=√2，2，√(3²+1²)=√10，三边比：√2:2:√10=1:√2:√5；
②：√(1²+1²)=√2，√(1²+1²)=√2，2，三边比：√2:√2:2=1:1:√2；
③：√(1²+2²)=√5，3，√(3²+2²)=√13（修正：应为2，2√2，2√5，三边比1:√2:√5）；
①与③三边比均为1:√2:√5，成比例，故相似。
①：√(1²+1²)=√2，2，√(3²+1²)=√10，三边比：√2:2:√10=1:√2:√5；
②：√(1²+1²)=√2，√(1²+1²)=√2，2，三边比：√2:√2:2=1:1:√2；
③：√(1²+2²)=√5，3，√(3²+2²)=√13（修正：应为2，2√2，2√5，三边比1:√2:√5）；
①与③三边比均为1:√2:√5，成比例，故相似。
7. (★★)如图27.2 - 20,$D$,$E$,$F分别是\triangle ABC的三边BC$,$CA$,$AB$的中点. 求证:$\triangle DEF\backsim\triangle ABC$.
答案
证明：
∵D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB的中点，
∴EF，FD，DE是△ABC的中位线。
∴EF = $\frac{1}{2}$BC，FD = $\frac{1}{2}$AC，DE = $\frac{1}{2}$AB。
∴$\frac{EF}{BC} = \frac{FD}{AC} = \frac{DE}{AB} = \frac{1}{2}$。
∴△DEF∽△ABC（三边成比例的两个三角形相似）。
∵D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB的中点，
∴EF，FD，DE是△ABC的中位线。
∴EF = $\frac{1}{2}$BC，FD = $\frac{1}{2}$AC，DE = $\frac{1}{2}$AB。
∴$\frac{EF}{BC} = \frac{FD}{AC} = \frac{DE}{AB} = \frac{1}{2}$。
∴△DEF∽△ABC（三边成比例的两个三角形相似）。
