15. (★★)如图27.2-14,在△ABC中,∠ACB= 90°,边BC在x轴上,顶点A,B的坐标分别为(-2,6)和(7,0).将正方形OCDE沿x轴向右平移,当点E落在AB边上时,点D的坐标为【】

A.$(\frac{3}{2},2)$
B.(2,2)
C.$(\frac{11}{4},2)$
D.(4,2)

B

1. 确定关键点坐标：
∠ACB=90°，BC在x轴上，A(-2,6)，故C(-2,0)（AC⊥x轴），B(7,0)。
正方形OCDE中，O为原点(0,0)，C(-2,0)，则OC=2，边长为2，得D(-2,2)，E(0,2)。
2. 求直线AB方程：
设AB：y=kx+b，代入A(-2,6)、B(7,0)：
$ \begin{cases} 6=-2k+b \\ 0=7k+b \end{cases} \Rightarrow k=-\frac{2}{3}, b=\frac{14}{3} $
直线AB：$y=-\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}$。
3. 求平移距离t：
正方形右移t后，E'(t,2)在AB上，代入AB方程：
$ 2=-\frac{2}{3}t+\frac{14}{3} \Rightarrow t=4 $
4. 求D点坐标：
D初始坐标(-2,2)，右移t=4后，D'(2,2)。

16. (★★)如图27.2-15,AD//EG//BC,EG分别交AB,DB,AC于点E,F,G,已知AD= 6,BC= 10,AE= 3,AB= 5,求EG,FG的长。

解：
1. 求EG的长
因为 $ EG // BC $，所以 $ \angle AEG = \angle ABC $，$ \angle AGE = \angle ACB $（同位角相等）。
故 $ \triangle AEG \sim \triangle ABC $（AA相似）。
相似比为 $ \frac{AE}{AB} = \frac{3}{5} $。
由相似三角形对应边成比例，得 $ \frac{EG}{BC} = \frac{AE}{AB} $。
代入 $ BC = 10 $，得 $ EG = 10 × \frac{3}{5} = 6 $。
2. 求EF的长
因为 $ AD // EG $，即 $ AD // EF $，所以 $ \angle BEF = \angle BAD $，$ \angle BFE = \angle BDA $（同位角相等）。
故 $ \triangle BEF \sim \triangle BAD $（AA相似）。
$ BE = AB - AE = 5 - 3 = 2 $，相似比为 $ \frac{BE}{BA} = \frac{2}{5} $。
由相似三角形对应边成比例，得 $ \frac{EF}{AD} = \frac{BE}{BA} $。
代入 $ AD = 6 $，得 $ EF = 6 × \frac{2}{5} = \frac{12}{5} $。
3. 求FG的长
因为 $ EG = EF + FG $，所以 $ FG = EG - EF = 6 - \frac{12}{5} = \frac{30}{5} - \frac{12}{5} = \frac{18}{5} $。
结论：
$ EG = 6 $，$ FG = \frac{18}{5} $。

17. (★★)(2022·北京)如图27.2-16,在矩形ABCD中,若AB= 3,AC= 5,$\frac{AF}{FC}= \frac{1}{4}$,则AE的长为______。

1

在矩形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，由勾股定理得BC=√(AC²-AB²)=√(25-9)=4。设BE交AC于F，AF/FC=1/4，AC=5，则AF=1，FC=4。
∵AD//BC，
∴∠EAF=∠BCF，∠AEF=∠CBF，故△AFE∽△CFB。
由相似三角形性质得AF/FC=AE/BC，即1/4=AE/4，解得AE=1。

18. (★★)(2023·陕西)如图27.2-17,DE是△ABC的中位线,点F在DB上,DF= 2BF.连接EF并延长,与CB的延长线相交于点M.若BC= 6,则线段CM的长为【】

A.$\frac{13}{2}$
B.7
C.$\frac{15}{2}$
D.8

C

∵DE是△ABC的中位线，
∴D、E分别为AB、AC中点，DE//BC，DE=1/2BC=3。设BF=x，则DF=2x，DB=DF+BF=3x，
∴AD=DB=3x（D为AB中点）。
∵DE//BC，
∴∠DEF=∠M，∠EDF=∠MBF（内错角相等），
∴△DEF∽△BMF，相似比=DF/BF=2x/x=2/1。
∴DE/BM=2/1，即3/BM=2/1，解得BM=3/2。
∵BC=6，
∴CM=BC+BM=6+3/2=15/2。

19. (★★★)(2022·河北)如图27.2-18是钉板示意图,每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形顶点,钉点A,B的连线与钉点C,D的连线交于点E,则：

(1)AB与CD是否垂直？(填“是”或“否”)。
(2)AE= 。

(1) 是
(2) $\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$