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1. (★)解方程：$20(1 + x)^2 = 2420$。
答案
答题卡：
解：方程 $20(1 + x)^2 = 2420$，
首先，将方程两边同时除以20，得到：
$(1 + x)^2 = 121$，
接下来，对方程两边同时开平方，得到：
$1 + x = \pm 11$，
分别解出 $x$ 的两个值：
当 $1 + x = 11$ 时，得 $x_1 = 10$，
当 $1 + x = -11$ 时，得 $x_2 = -12$。
解：方程 $20(1 + x)^2 = 2420$，
首先，将方程两边同时除以20，得到：
$(1 + x)^2 = 121$，
接下来，对方程两边同时开平方，得到：
$1 + x = \pm 11$，
分别解出 $x$ 的两个值：
当 $1 + x = 11$ 时，得 $x_1 = 10$，
当 $1 + x = -11$ 时，得 $x_2 = -12$。
2. (★)设原有$a$个人患病,每轮平均$1个人传染b$个人,则一轮后传染了
$ab$
人,共有$a + ab$
人患病。答案
$ab$；$a + ab$
解析
原有$a$个人患病，每轮平均$1$个人传染$b$个人，所以一轮后传染的人数为$a× b = ab$人；原有患病的$a$人加上新传染的$ab$人，共有$a + ab$人患病。
3. (★)某农户的粮食产量平均每年的增长率为$x$,第一年的产量为$6$万千克,第二年的产量为
$6(1 + x)$
万千克,第三年的产量为$6(1 + x)^2$
万千克,三年的总产量为$6 + 6(1 + x) + 6(1 + x)^2$
万千克。答案
第二年的产量：$6(1 + x)$；
第三年的产量：$6(1 + x)^2$；
三年的总产量：$6 + 6(1 + x) + 6(1 + x)^2$。
第三年的产量：$6(1 + x)^2$；
三年的总产量：$6 + 6(1 + x) + 6(1 + x)^2$。
解析
本题可根据平均增长率公式分别求出第二年、第三年的产量，再将三年的产量相加得到三年的总产量。
步骤一：求第二年的产量
已知平均增长率为$x$，第一年的产量为$6$万千克。
根据公式：若初始量为$a$，平均增长率为$x$，则经过$n$年后的量$y = a(1 + x)^n$，对于第二年，$n = 1$，$a = 6$，所以第二年的产量为$6(1 + x)$万千克。
步骤二：求第三年的产量
对于第三年，$n = 2$，$a = 6$，所以第三年的产量为$6(1 + x)^2$万千克。
步骤三：求三年的总产量
三年的总产量为第一年产量、第二年产量与第三年产量之和，即$6 + 6(1 + x) + 6(1 + x)^2$万千克。
步骤一：求第二年的产量
已知平均增长率为$x$，第一年的产量为$6$万千克。
根据公式：若初始量为$a$，平均增长率为$x$，则经过$n$年后的量$y = a(1 + x)^n$，对于第二年，$n = 1$，$a = 6$，所以第二年的产量为$6(1 + x)$万千克。
步骤二：求第三年的产量
对于第三年，$n = 2$，$a = 6$，所以第三年的产量为$6(1 + x)^2$万千克。
步骤三：求三年的总产量
三年的总产量为第一年产量、第二年产量与第三年产量之和，即$6 + 6(1 + x) + 6(1 + x)^2$万千克。
4. (★★)流行病学中有一个叫做基本传染数$R_0$的数字,简单来说,就是一个人在一个周期内会感染几个人。有一个人感染了某型病毒,经过两个周期的传染,共有$36$人感染,求该型病毒的基本传染数$R_0$。
答案
设该型病毒的基本传染数为$R_0$。
第一个周期：最初有1人感染，他感染了$R_0$个人，所以第一个周期后总共有$1 + R_0$人感染。
第二个周期：这$1 + R_0$个人每个人都感染了$R_0$个人，所以第二个周期新增了$(1 + R_0) × R_0$个人感染。
根据题意，两个周期后总共有36人感染，可以列出方程：
$1 + R_0 + (1 + R_0) × R_0 = 36$，
整理得：
$(1 + R_0)^2 = 36$，
解这个方程，得到：
$1 + R_0 = \pm 6$，
由于$R_0$表示一个人在一个周期内会感染几个人，所以$R_0$必须为正数。
因此，只取正根，即：
$1 + R_0 = 6$，
解得：
$R_0 = 5$。
所以该型病毒的基本传染数为5。
第一个周期：最初有1人感染，他感染了$R_0$个人，所以第一个周期后总共有$1 + R_0$人感染。
第二个周期：这$1 + R_0$个人每个人都感染了$R_0$个人，所以第二个周期新增了$(1 + R_0) × R_0$个人感染。
根据题意，两个周期后总共有36人感染，可以列出方程：
$1 + R_0 + (1 + R_0) × R_0 = 36$，
整理得：
$(1 + R_0)^2 = 36$，
解这个方程，得到：
$1 + R_0 = \pm 6$，
由于$R_0$表示一个人在一个周期内会感染几个人，所以$R_0$必须为正数。
因此，只取正根，即：
$1 + R_0 = 6$，
解得：
$R_0 = 5$。
所以该型病毒的基本传染数为5。
5. (★)某商品原价为$200$元,连续两次降价$a\%后售价为148$元,下面所列方程正确的是【
A.$200(1 + a\%)^2 = 148$
B.$200(1 - a\%)^2 = 148$
C.$200(1 - 2a\%)^2 = 148$
D.$200(1 - a^2\%) = 148$
B
】A.$200(1 + a\%)^2 = 148$
B.$200(1 - a\%)^2 = 148$
C.$200(1 - 2a\%)^2 = 148$
D.$200(1 - a^2\%) = 148$
答案
B
解析
第一次降价后的价格为$200(1 - a\%)$，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，所以第二次降价后的价格为$200(1 - a\%)(1 - a\%) = 200(1 - a\%)^2$，已知两次降价后售价为148元，故方程为$200(1 - a\%)^2 = 148$。
6. (★)某纪念品原价为$100$元,连续两次降价$a\%后售价为81$元,则$a$的值是【
A.$0.1$
B.$10$
C.$0.9$
D.$12$
B
】A.$0.1$
B.$10$
C.$0.9$
D.$12$
答案
B
解析
设原价为100元，第一次降价后的价格为$100(1 - \frac{a}{100})$元，第二次降价后的价格为$100(1 - \frac{a}{100})^2$元。
根据题意，$100(1 - \frac{a}{100})^2 = 81$，化简得$(1 - \frac{a}{100})^2 = 0.81$，开平方得$1 - \frac{a}{100} = 0.9$（舍去负根），解得$\frac{a}{100} = 0.1$，即$a = 10$。
根据题意，$100(1 - \frac{a}{100})^2 = 81$，化简得$(1 - \frac{a}{100})^2 = 0.81$，开平方得$1 - \frac{a}{100} = 0.9$（舍去负根），解得$\frac{a}{100} = 0.1$，即$a = 10$。
7. (★)受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素,我国快递业务迅猛发展。某省$2022$年、$2024年的快递业务量分别为2.4$亿件、$5.4$亿件,设$2022年与2023年的年平均增长率均为x$,则下列方程正确的是【
A.$2.4(1 + x) = 5.4$
B.$2.4(1 + 2x) = 5.4$
C.$2.4(1 + x)^2 = 5.4$
D.$2.4(1 + x) + 2.4(1 + x)^2 = 5.4$
C
】A.$2.4(1 + x) = 5.4$
B.$2.4(1 + 2x) = 5.4$
C.$2.4(1 + x)^2 = 5.4$
D.$2.4(1 + x) + 2.4(1 + x)^2 = 5.4$
答案
C
解析
设年平均增长率为$x$，则2023年的快递业务量为$2.4(1 + x)$亿件，2024年的快递业务量为$2.4(1 + x)^2$亿件。根据题意，2024年的快递业务量为$5.4$亿件，因此方程为$2.4(1 + x)^2 = 5.4$。
8. (★★)初中毕业时,同学之间互送照片留作纪念。若某班有$m个学生互送照片共2756$张,则所列方程正确的是【
A.$m(m + 1) = 2756$
B.$m(m - 1) = 2756$
C.$\frac{m(m + 1)}{2} = 2756$
D.$\frac{m(m - 1)}{2} = 2756$
B
】A.$m(m + 1) = 2756$
B.$m(m - 1) = 2756$
C.$\frac{m(m + 1)}{2} = 2756$
D.$\frac{m(m - 1)}{2} = 2756$
答案
B
解析
每个学生都要给其他$ m-1 $个学生送照片，共有$ m $个学生，因此总共送出的照片数为$ m(m-1) $，题中给出总数为2756张，所以方程为$ m(m-1) = 2756 $。
