登录
9. (★★)小亮编写了一条祝福短信,利用手机将此短信发送给自己的朋友,获得信息的朋友也按小亮的发送人数发送该条短信给自己的朋友,经过两轮发送(不重复),共有$90$人的手机收到此条信息。则每轮发送时,一个人要向多少个人发送？
答案
设每轮发送时，一个人要向$x$个人发送短信。
第一轮发送：小亮向$x$人发送，第一轮收到信息的人数为$x$人。
第二轮发送：第一轮收到信息的$x$人每人向$x$人发送，第二轮收到信息的人数为$x\cdot x = x^2$人。
两轮收到信息的总人数为$x + x^2$，依题意得：$x^2 + x = 90$。
整理方程：$x^2 + x - 90 = 0$。
因式分解：$(x + 10)(x - 9) = 0$。
解得：$x_1 = -10$（不合题意，舍去），$x_2 = 9$。
答：每轮发送时，一个人要向$9$个人发送。
第一轮发送：小亮向$x$人发送，第一轮收到信息的人数为$x$人。
第二轮发送：第一轮收到信息的$x$人每人向$x$人发送，第二轮收到信息的人数为$x\cdot x = x^2$人。
两轮收到信息的总人数为$x + x^2$，依题意得：$x^2 + x = 90$。
整理方程：$x^2 + x - 90 = 0$。
因式分解：$(x + 10)(x - 9) = 0$。
解得：$x_1 = -10$（不合题意，舍去），$x_2 = 9$。
答：每轮发送时，一个人要向$9$个人发送。
10. (★)为落实“两免一补”政策,某市$2023年投入教育经费2500$万元,预计$2025年要投入教育经费3600$万元,已知$2023年至2025$年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长,则$2024$年该市投入的教育经费为
3000
万元。答案
3000
解析
设教育经费的年平均增长率为$x$。
根据题意，2023年投入教育经费2500万元，2025年要投入教育经费3600万元，可以列出方程：
$2500(1 + x)^{2} = 3600$，
展开方程得：
$(1 + x)^{2} = \frac{3600}{2500}$，
$(1 + x)^{2} = 1.44$，
对方程两边开平方得：
$1 + x = \pm 1.2$，
由于增长率不能为负，所以只取正数解，即：
$x = 1.2 - 1 = 0.2$，
将$x$转换为百分比形式，即$x = 20\%$。
然后计算2024年的教育经费，根据年平均增长率，有：
$2024年教育经费 = 2500 × (1 + 20\%) = 2500 × 1.2 = 3000(万元)$。
根据题意，2023年投入教育经费2500万元，2025年要投入教育经费3600万元，可以列出方程：
$2500(1 + x)^{2} = 3600$，
展开方程得：
$(1 + x)^{2} = \frac{3600}{2500}$，
$(1 + x)^{2} = 1.44$，
对方程两边开平方得：
$1 + x = \pm 1.2$，
由于增长率不能为负，所以只取正数解，即：
$x = 1.2 - 1 = 0.2$，
将$x$转换为百分比形式，即$x = 20\%$。
然后计算2024年的教育经费，根据年平均增长率，有：
$2024年教育经费 = 2500 × (1 + 20\%) = 2500 × 1.2 = 3000(万元)$。
11. (★★)读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然之气。某校为响应该市全民阅读活动,利用节假日面向社会开放学校图书馆。据统计,第一个月进馆$128$人次,进馆人次逐月增加,到第三个月月末累计进馆$608$人次。若进馆人次的月平均增长率相同。
(1)求进馆人次的月平均增长率。
(2)因条件限制,学校图书馆每月接纳能力不超过$500$人次,在进馆人次的月平均增长率不变的条件下,该校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？请说明理由。
(1)求进馆人次的月平均增长率。
(2)因条件限制,学校图书馆每月接纳能力不超过$500$人次,在进馆人次的月平均增长率不变的条件下,该校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？请说明理由。
答案
(1)月平均增长率为$50\%$；(2)能接纳。
解析
(1)设进馆人次的月平均增长率为$x$。
第一个月进馆人次为$128$，第二个月为$128(1+x)$，第三个月为$128(1+x)^2$。
由题意得：$128 + 128(1+x) + 128(1+x)^2 = 608$。
化简得：$1 + (1+x) + (1+x)^2 = \frac{608}{128} = 4.75$。
展开并整理：$x^2 + 3x - 1.75 = 0$，即$4x^2 + 12x - 7 = 0$。
解得：$x = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 × 4 × (-7)}}{2 × 4} = \frac{-12 \pm 16}{8}$。
取正根：$x = \frac{4}{8} = 0.5 = 50\%$。
(2)第四个月进馆人次为$128(1 + 50\%)^3 = 128 × 3.375 = 432$。
因为$432 ＜ 500$，所以能接纳。
第一个月进馆人次为$128$，第二个月为$128(1+x)$，第三个月为$128(1+x)^2$。
由题意得：$128 + 128(1+x) + 128(1+x)^2 = 608$。
化简得：$1 + (1+x) + (1+x)^2 = \frac{608}{128} = 4.75$。
展开并整理：$x^2 + 3x - 1.75 = 0$，即$4x^2 + 12x - 7 = 0$。
解得：$x = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 × 4 × (-7)}}{2 × 4} = \frac{-12 \pm 16}{8}$。
取正根：$x = \frac{4}{8} = 0.5 = 50\%$。
(2)第四个月进馆人次为$128(1 + 50\%)^3 = 128 × 3.375 = 432$。
因为$432 ＜ 500$，所以能接纳。
12. (★★)在一次聚会中,每两个参加聚会的人都相互握了一次手,一共握了$210$次手,则参加这次聚会的有
21
人。答案
21
解析
设参加聚会的有$x$人，每个人需与其他$x - 1$人握手，共握手$x(x - 1)$次，因每两人握手重复计算一次，所以实际握手次数为$\frac{x(x - 1)}{2}$。依题意得$\frac{x(x - 1)}{2}=210$，即$x^2 - x - 420 = 0$，因式分解得$(x - 21)(x + 20)=0$，解得$x_1=21$，$x_2=-20$（人数不能为负，舍去），故参加聚会的有21人。
13. (★★)(2022·龙东改编)$2022$年北京冬奥会女子冰壶比赛中,有若干支队伍参加了单循环比赛,单循环比赛共进行了$45$场,则共有
A.$8$
B.$10$
C.$7$
D.$9$
10
支队伍参加比赛。【 】A.$8$
B.$10$
C.$7$
D.$9$
答案
B
解析
设共有$n$支队伍参加比赛，每两队之间比赛一场，因此总场数为组合数$C_{n}^2$，即$\frac{n(n-1)}{2}$。
根据题意，$\frac{n(n-1)}{2} = 45$，即$n(n-1) = 90$。
解方程$n^2 - n - 90 = 0$，得$n = 10$或$n = -9$（舍去负值）。
故共有$10$支队伍参加比赛。
根据题意，$\frac{n(n-1)}{2} = 45$，即$n(n-1) = 90$。
解方程$n^2 - n - 90 = 0$，得$n = 10$或$n = -9$（舍去负值）。
故共有$10$支队伍参加比赛。
14. (★★)(2021·张家界)$2021年是中国共产党建党100$周年,全国各地积极开展“弘扬红色文化,重走长征路”主题教育学习活动,我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地。据了解,今年$3月份该基地接待参观人数为10$万,$5月份接待参观人数增加到12.1$万。
(1)求这两个月参观人数的月平均增长率；
(2)按照这个增长率,预计$6$月份的参观人数是多少。
(1)求这两个月参观人数的月平均增长率；
(2)按照这个增长率,预计$6$月份的参观人数是多少。
答案
(1) 设这两个月参观人数的月平均增长率为 $x$。
根据题意，3月份参观人数为10万，5月份参观人数增加到12.1万，可以建立方程：
$10(1 + x)^{2} = 12.1$，
展开方程得：
$(1 + x)^{2} = 1.21$，
对方程两边开平方得：
$1 + x = \pm1.1$，
解得两个可能的 $x$ 值：
$x_{1} = 0.1 = 10\%$，
$x_{2} = -2.1$（由于增长率不能为负，所以 $x_{2}$ 不符合题意，舍去），
所以，这两个月参观人数的月平均增长率为 $10\%$。
(2) 根据第一问求得的月平均增长率 $x = 10\%$，可以计算6月份的参观人数。
5月份参观人数为12.1万，所以6月份的参观人数为：
$12.1 × (1 + 10\%) = 12.1 × 1.1 = 13.31 (万)$，
所以，预计6月份的参观人数为13.31万。
根据题意，3月份参观人数为10万，5月份参观人数增加到12.1万，可以建立方程：
$10(1 + x)^{2} = 12.1$，
展开方程得：
$(1 + x)^{2} = 1.21$，
对方程两边开平方得：
$1 + x = \pm1.1$，
解得两个可能的 $x$ 值：
$x_{1} = 0.1 = 10\%$，
$x_{2} = -2.1$（由于增长率不能为负，所以 $x_{2}$ 不符合题意，舍去），
所以，这两个月参观人数的月平均增长率为 $10\%$。
(2) 根据第一问求得的月平均增长率 $x = 10\%$，可以计算6月份的参观人数。
5月份参观人数为12.1万，所以6月份的参观人数为：
$12.1 × (1 + 10\%) = 12.1 × 1.1 = 13.31 (万)$，
所以，预计6月份的参观人数为13.31万。
