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如图15.1 - 9,△ABC的顶点均在格点上,已知A(3,4),B(1,0),C(7,0),利用网格线在图中找一点P,使得PA= PB= PC,则点P的坐标为
(4,1)
。答案
(4,1)
解析
∵PA=PB=PC，∴点P是△ABC三边垂直平分线的交点。
∵B(1,0)，C(7,0)，∴BC中点坐标为(4,0)，BC垂直平分线为直线x=4。
设P(4,y)，∵PA=PB，A(3,4)，B(1,0)，
∴√[(4-3)²+(y-4)²]=√[(4-1)²+(y-0)²]，
两边平方得1+(y-4)²=9+y²，
解得y=1，∴P(4,1)。
∵B(1,0)，C(7,0)，∴BC中点坐标为(4,0)，BC垂直平分线为直线x=4。
设P(4,y)，∵PA=PB，A(3,4)，B(1,0)，
∴√[(4-3)²+(y-4)²]=√[(4-1)²+(y-0)²]，
两边平方得1+(y-4)²=9+y²，
解得y=1，∴P(4,1)。
1. 如图,在△ABC中,∠B= 90°,AB= 3,BC= 4,将△ABC折叠,使点C与点A重合,折痕为DE,则△ABE的周长为
7
。答案
7
解析
由题意得$DE$是$AC$的垂直平分线，
所以$AE = CE$。
所以$\triangle ABE$的周长$ = AB + BE + AE=AB + BE + CE= AB + BC$，
因为$AB = 3$，$BC = 4$，
所以$\triangle ABE$的周长为$7$。
所以$AE = CE$。
所以$\triangle ABE$的周长$ = AB + BE + AE=AB + BE + CE= AB + BC$，
因为$AB = 3$，$BC = 4$，
所以$\triangle ABE$的周长为$7$。
2. 如图,点E,F,G,Q,H在一条直线上,且EF= GH,已知如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线。下列说法正确的是(
A.l是线段EH的垂直平分线
B.l是线段EQ的垂直平分线
C.l是线段FH的垂直平分线
D.EH是l的垂直平分线
A
)A.l是线段EH的垂直平分线
B.l是线段EQ的垂直平分线
C.l是线段FH的垂直平分线
D.EH是l的垂直平分线
答案
A
解析
根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
由于直线$l$是线段$FG$的垂直平分线，所以$F$和$G$到直线$l$上任意一点的距离相等，
由于$EF=GH$，
所以$E$和$H$到直线$l$的距离也相等（因为$F$和$G$到直线$l$的距离相等，且$EF=GH$），
这说明直线$l$也是线段$EH$的垂直平分线，因为它满足垂直平分线的定义：直线$l$垂直于$EH$且平分$EH$（即$E$和$H$到直线$l$的距离相等），
对于选项B，由于$Q$的位置未知，不能确定直线$l$是线段$EQ$的垂直平分线，
对于选项C，由于$F$和$H$到直线$l$的距离不相等（因为$F$在直线$l$上，而$H$不在），所以直线$l$不是线段$FH$的垂直平分线，
对于选项D，垂直平分线是一个直线，它不能被另一个直线垂直平分，所以$EH$不是$l$的垂直平分线。
由于直线$l$是线段$FG$的垂直平分线，所以$F$和$G$到直线$l$上任意一点的距离相等，
由于$EF=GH$，
所以$E$和$H$到直线$l$的距离也相等（因为$F$和$G$到直线$l$的距离相等，且$EF=GH$），
这说明直线$l$也是线段$EH$的垂直平分线，因为它满足垂直平分线的定义：直线$l$垂直于$EH$且平分$EH$（即$E$和$H$到直线$l$的距离相等），
对于选项B，由于$Q$的位置未知，不能确定直线$l$是线段$EQ$的垂直平分线，
对于选项C，由于$F$和$H$到直线$l$的距离不相等（因为$F$在直线$l$上，而$H$不在），所以直线$l$不是线段$FH$的垂直平分线，
对于选项D，垂直平分线是一个直线，它不能被另一个直线垂直平分，所以$EH$不是$l$的垂直平分线。
3. 如图,在△ABC中,∠C= 40°,分别以点B和点C为圆心,大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径画弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN,交边AC于点D,连接BD,则∠ADB的度数为(
A.40°
B.50°
C.80°
D.100°
C
)A.40°
B.50°
C.80°
D.100°
答案
C
解析
由题意，MN是BC的垂直平分线，故DB=DC，∠DBC=∠C=40°。∠ADB是△DBC的外角，所以∠ADB=∠DBC+∠C=40°+40°=80°。
4. 如图,在△ABC中,分别以点B和点C为圆心,大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径画弧,两弧相交于点M,N。作直线MN,交AC于点D,交BC于点E,连接BD。若AB= 7,AC= 12,BC= 6,则△ABD的周长为(
A.25
B.22
C.19
D.18
C
)A.25
B.22
C.19
D.18
答案
C
解析
根据作图方法可知，$MN$是线段$BC$的垂直平分线。
因为$MN$是线段$BC$的垂直平分线，所以$BD = CD$。
$\triangle ABD$的周长为$AB + BD + AD$，把$BD = CD$代入得：
$\triangle ABD$的周长$= AB + CD + AD = AB + AC$。
已知$AB = 7$，$AC = 12$，所以$\triangle ABD$的周长为$7 + 12 = 19$。
因为$MN$是线段$BC$的垂直平分线，所以$BD = CD$。
$\triangle ABD$的周长为$AB + BD + AD$，把$BD = CD$代入得：
$\triangle ABD$的周长$= AB + CD + AD = AB + AC$。
已知$AB = 7$，$AC = 12$，所以$\triangle ABD$的周长为$7 + 12 = 19$。
5. 如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,BC的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接CF。若∠A= 60°,∠ACF= 48°,则∠ABC的度数为(
A.48°
B.36°
C.30°
D.24°
A
)A.48°
B.36°
C.30°
D.24°
答案
A
解析
设∠DBC=x，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2x，∠ABD=x。∵EF垂直平分BC，∴FB=FC，∴∠FCB=∠DBC=x。∵∠ACF=48°，∴∠ACB=∠ACF+∠FCB=48°+x。在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=60°，∴60°+2x+(48°+x)=180°，解得x=24°，∴∠ABC=2x=48°。
6. 如图,在△ABC中,∠B= 40°,AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E,且∠EAB：∠CAE= 3：1,则∠C等于(
A.28°
B.25°
C.22.5°
D.20°
A
)A.28°
B.25°
C.22.5°
D.20°
答案
A
解析
设∠CAE = x，∵∠EAB：∠CAE = 3：1，∴∠EAB = 3x，∠BAC = ∠EAB + ∠CAE = 4x。
∵DE垂直平分AC，∴EA = EC（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等），∴∠C = ∠CAE = x。
在△ABC中，∠B + ∠BAC + ∠C = 180°，∠B = 40°，
∴40° + 4x + x = 180°，解得x = 28°，即∠C = 28°。
∵DE垂直平分AC，∴EA = EC（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等），∴∠C = ∠CAE = x。
在△ABC中，∠B + ∠BAC + ∠C = 180°，∠B = 40°，
∴40° + 4x + x = 180°，解得x = 28°，即∠C = 28°。
