7. 如图,在△ABC中,AD垂直平分BC,点C在AE的垂直平分线上,点B,D,C,E在同一直线上。若AB= 4cm,BD= 2cm,则DE为()

A.8cm
B.7cm
C.6cm
D.5cm

C

∵AD垂直平分BC，∴AB=AC=4cm，BD=DC=2cm。∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC=CE=4cm。∵点B,D,C,E在同一直线上，∴DE=DC+CE=2+4=6cm。

8. 如图,点A,B的坐标分别为(2,3),(4,1),在x轴或y轴上有一点P,且点P到点A和点B的距离相等,则点P的坐标为()

A.(1,0)或(0,-1)
B.(-1,0)或(0,1)
C.(0,3)或(4,0)
D.(2,0)或(0,1)

A

∵点P到A(2,3)和B(4,1)距离相等，∴P在线段AB的垂直平分线上。
1. 求AB中点：M((2+4)/2,(3+1)/2)=(3,2)；
2. 求AB斜率：k_AB=(1-3)/(4-2)=-1，故垂直平分线斜率k=1；
3. 垂直平分线方程：y-2=1*(x-3)，即y=x-1；
4. 若P在x轴上（y=0），代入y=x-1得x=1，P(1,0)；
5. 若P在y轴上（x=0），代入y=x-1得y=-1，P(0,-1)；
综上，P(1,0)或(0,-1)。

9. 如图,某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目,现要在公园内建一个售票中心,使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等,请在图中确定售票中心的位置。

1. 连接海盗船与摩天轮两点，得到线段AB；
2. 连接摩天轮与碰碰车两点，得到线段BC；
3. 分别作线段AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点P；
4. 点P即为售票中心的位置。

10. 如图,在△ABC中,∠BAC= 120°,若DE,FG分别垂直平分AB,AC,△AEF的周长为10cm。求∠EAF的度数及BC的长。

∠EAF=60°；BC=10cm。
解析：
∵DE垂直平分AB，∴AE=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∵FG垂直平分AC，∴AF=CF（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
在△ABC中，∠BAC=120°，∴∠B+∠C=180°-∠BAC=60°。
∵AE=BE，∴∠B=∠BAE；∵AF=CF，∴∠C=∠CAF。
∴∠BAE+∠CAF=∠B+∠C=60°。
∴∠EAF=∠BAC-(∠BAE+∠CAF)=120°-60°=60°。
△AEF周长=AE+EF+AF=10cm，又∵AE=BE，AF=CF，
∴BC=BE+EF+FC=AE+EF+AF=10cm。
综上，∠EAF=60°，BC=10cm。

11. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,D是AB上一点,BD= BC,过点D作AB的垂线交AC于点E,连接CD,BE交于点F。求证：BE垂直平分CD。

证明：
∵ ED⊥AB，∠ACB=90°，
∴ ∠EDB=∠ECB=90°．
在Rt△ECB和Rt△EDB中，
$\left\{\begin{array}{l} BE=BE\\ BC=BD\end{array}\right.$，
∴ Rt△ECB≌Rt△EDB（HL）．
∴ EC=ED，∠CBE=∠DBE．
∵ EC=ED，
∴ 点E在线段CD的垂直平分线上．
∵ BC=BD，
∴ 点B在线段CD的垂直平分线上．
∵ 点E、B均在线段CD的垂直平分线上，
∴ 直线BE垂直平分CD．

12. 如图,在△ABC中,BE平分∠ABC,点E在AC的垂直平分线上,EF⊥BC于点F,EG⊥AB交BA的延长线于点G。求证：
(1)AG= CF。
(2)BC - AB= 2CF。

(1)∵点E在AC的垂直平分线上，∴EA=EC(线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等)。
∵BE平分∠ABC，EG⊥AB，EF⊥BC，∴EG=EF(角平分线上的点到角两边距离相等)。
∵EG⊥AB，EF⊥BC，∴∠EGA=∠EFC=90°。
在Rt△EAG和Rt△EFC中，
$\left\{\begin{array}{l} EA=EC\\ EG=EF\end{array}\right.$，
∴Rt△EAG≌Rt△EFC(HL)。
∴AG=CF。
(2)在Rt△EGB和Rt△EFB中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠EGB=∠EFB=90°\\ ∠EBG=∠EBF\\ BE=BE\end{array}\right.$，
∴Rt△EGB≌Rt△EFB(AAS)。
∴BG=BF。
∵G在BA延长线上，∴BG=AB+AG。
∵F在BC上，∴BF=BC-CF。
∴AB+AG=BC-CF。
∵AG=CF，∴AB+CF=BC-CF。
∴BC-AB=2CF。

证明：
(1)连接AE，CE。
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，EG⊥AB，
∴EG=EF。
∵点E在AC的垂直平分线上，
∴EA=EC。
在Rt△EAG和Rt△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l} EA=EC\\ EG=EF\end{array}\right.$，
∴Rt△EAG≌Rt△ECF(HL)，
∴AG=CF。
(2)
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，EG⊥AB，
∴EG=EF。
在Rt△EGB和Rt△EFB中，
$\left\{\begin{array}{l} EG=EF\\ EB=EB\end{array}\right.$，
∴Rt△EGB≌Rt△EFB(HL)，
∴BG=BF。
∵BG=AB+AG，BF=BC-CF，
∴AB+AG=BC-CF。
∵AG=CF，
∴AB+CF=BC-CF，
∴BC-AB=2CF。