8. 若 $4^a = 4$,$4^b = 16$,且 $4^{ax + 2b - 1} = 256$,则 $x$ 的值是()
A.1
B.2
C.3
D.4

A 解析:4^{ax + 2b - 1}=4^{ax}×4^{2b}×4^{-1}=(4^{a})^{x}×(4^{b})^{2}×$\frac{1}{4}$.因为4^{a}=4,4^{b}=16,所以4^{ax + 2b - 1}=4^{x}×16²×$\frac{1}{4}$=64×4^{x},所以64×4^{x}=256,化简得4^{x}=4,所以x = 1.

9. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$AD // BC$,连接 $BD$,取 $BE = AD$,连接 $CE$,添加下列条件,不一定能直接判定 $\triangle ABD ≌ \triangle ECB$ 的是()


A.$BD = CB$
B.$AB = EC$
C.$∠ABC = ∠DEC$
D.$∠ABD = ∠ECB$

B 解析:因为AD//BC,所以∠ADB = ∠EBC.因为BE = AD,若添加BD = CB,则可利用边角边判定△ABD≌△ECB,故选项 A 不符合题意.若添加AB = EC,满足边边角,不能判定△ABD≌△ECB,故选项 B 符合题意.若添加∠ABC = ∠DEC,因为∠DEC = ∠CBE + ∠BCE,∠ABC = ∠ABD + ∠CBE,所以∠ABD = ∠BCE,利用角角边判定△ABD≌△ECB,故选项 C 不符合题意.若添加∠ABD = ∠ECB,利用角角边判定△ABD≌△ECB,故选项 D 不符合题意.

10. 若关于 $x$ 的一元一次不等式组 $\begin{cases}\frac{x + 1}{2} ≥ \frac{x - 1}{6} + 1 \\ 3x - a ≤ x + 1\end{cases} $ 有解且最多有 3 个整数解,关于 $y$ 的分式方程 $\frac{y + 4}{y - 1} + \frac{a + 2y}{1 - y} = -3$ 有整数解,则所有满足条件的整数 $a$ 的值之和为()
A.4
B.5
C.6
D.7

C 解析:解关于x的不等式组,得$\left\{\begin{array}{l} x\geq1,\\ x\leq\frac{a + 1}{2}.\end{array}\right. $因为该不等式组有解且最多有3个整数解,所以1≤$\frac{a + 1}{2}$＜4,解得1≤a＜7,所以整数a为1,2,3,4,5,6.解关于y的分式方程$\frac{y + 4}{y - 1}+\frac{a + 2y}{1 - y}=-3$,得y = $\frac{a - 1}{2}$.因为该分式方程有整数解,所以$\frac{a - 1}{2}$是整数,且$\frac{a - 1}{2}$≠1,所以整数a可以为1,5,所以所有满足条件的整数a的值之和是1 + 5 = 6.

11. (开放题)能与长度分别为 3,8 的两根木棒组成一个三角形的木棒的长可以是. (填一个即可)

7(答案不唯一) 解析:木棒的长应满足大于5,且小于11,可以是7(答案不唯一).

7(答案不唯一)

12. 计算：$(-a)^3·a^2·(-2a^2)^3 = $. (结果用幂的形式表示)

$8a^{11} $解析$:(-a)³·a²·(-2a²)³=-a³·a²·(-8a⁶)=8a³·a²·a⁶=8a^{11}.$

$(-a)^3 \cdot a^2 \cdot (-2a^2)^3 = -a^3 \cdot a^2 \cdot (-8a^6) = 8a^{3+2+6} = 8a^{11}$

13. 分式方程 $\frac{3}{x + 1} = \frac{3}{2x}$ 的解为.

x = 1 解析:原方程去分母,得6x = 3x + 3,解得x = 1.检验:当x = 1时,2x(x + 1)≠0.所以,原分式方程的解为x = 1.

去分母，得$6x = 3(x + 1)$，解得$x = 1$。检验：当$x = 1$时，$2x(x + 1) = 2×1×(1 + 1) = 4 ≠ 0$，所以原分式方程的解为$x = 1$。

14. 已知 $x^2 + 4x - 4 = 0$,则 $3(x - 2)^2 - 6(x + 1)(x - 1)$ 的值为.

6 解析:3(x - 2)² - 6(x + 1)(x - 1)=3x² - 12x + 12 - 6x² + 6=-3x² - 12x + 18.因为x² + 4x - 4 = 0,所以x² + 4x = 4,所以原式=-3(x² + 4x)+18=-3×4 + 18 = 6.

$\begin{aligned}&3(x - 2)^2 - 6(x + 1)(x - 1)\\=&3(x^2 - 4x + 4) - 6(x^2 - 1)\\=&3x^2 - 12x + 12 - 6x^2 + 6\\=&-3x^2 - 12x + 18\\\end{aligned}$
因为$x^2 + 4x - 4 = 0$，所以$x^2 + 4x = 4$，则原式$=-3(x^2 + 4x) + 18 = -3×4 + 18 = 6$。
6

15. 如图,AD 平分 $∠BAC$,$∠DAC = 15^{\circ}$,$DE // AB$,$DF ⊥ AB$,则 $∠DEC = $,$AE = $$DF$.

30° 2 解析:过点 D 作 AC 的垂线,垂足为 M(图略).因为AD平分∠BAC,∠DAC = 15°,所以∠DAB = ∠DAC,∠BAC = 30°.因为DE//AB,所以∠DAB = ∠ADE,∠DEC = ∠BAC = 30°,所以∠DAC = ∠ADE,所以AE = DE.因为AD平分∠BAC,DF⊥AB,DM⊥AC,所以DF = DM.因为DM⊥AC,∠DEC = 30°,所以DE = 2DM.因为AE = DE,所以AE = 2DF.

16. 如图,P,Q 分别是等边三角形 $ABC$ 的边 $AB$,$BC$ 上的动点(其中 P,Q 不与线段的端点重合),若点 P 从顶点 A、点 Q 从顶点 B 同时出发,且它们的速度都为 2 cm/s,连接 $AQ$,$CP$,两条线段交于点 M,则在点 P,Q 运动的过程中,$∠CMQ = $；若等边三角形 $ABC$ 的边长为 4 cm,则点 P 运动的时间为时,$\triangle PBQ$ 为直角三角形.

60° $\frac{2}{3}$s或$\frac{4}{3}$s 解析:因为△ABC是等边三角形,所以CA = AB,∠CAP = ∠B = 60°.因为点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为2 cm/s,所以AP = BQ.在△CAP和△ABQ中,$\left\{\begin{array}{l} CA = AB,\\ ∠CAP = ∠B,\\ AP = BQ,\end{array}\right. $所以△CAP≌△ABQ(SAS),所以∠ACP = ∠BAQ,所以∠CMQ = ∠ACP + ∠CAQ = ∠BAQ + ∠CAQ = ∠BAC = 60°.设点P运动的时间为t s,则AP = BQ = 2t cm.因为AB = 4 cm,所以BP = (4 - 2t)cm.当△PBQ为直角三角形,且∠PQB = 90°时,∠BPQ = 30°,所以BP = 2BQ = 2AP,所以4 - 2t = 2×2t,解得t = $\frac{2}{3}$.当△PBQ为直角三角形,且∠BPQ = 90°时,∠BQP = 30°,所以AP = BQ = 2BP,所以2t = 2(4 - 2t),解得t = $\frac{4}{3}$.综上所述,当点P运动的时间为$\frac{2}{3}$s或$\frac{4}{3}$s时,△PBQ为直角三角形.

60°；$\frac{2}{3}$s或$\frac{4}{3}$s