1.如图，已知$AB// CD// EF$，它们依次交直线$l_1$和$l_2$于点$A,C,E$和点$B,D,F$. 若$\frac{AC}{CE}=2$，$BF=12$，则$DF=$.

$\boldsymbol{4}$

解：
∵ $AB// CD// EF$，
∴ 由平行线分线段成比例定理得 $\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}=2$，
∴ $BD=2DF$。
又∵ $BF=BD+DF=12$，
将$BD=2DF$代入得：$2DF + DF = 12$，
即 $3DF=12$，
解得 $DF=4$。

2.如图，AB，CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC//BD，EF是△ODB的中位线。若EF=3，则AC的长为。

$\boldsymbol{4}$

解：
∵ EF是△ODB的中位线，
∴ BD = 2EF = 2×3 = 6。
∵ AC//BD，
∴ ∠A = ∠B，∠C = ∠D，
∴ △AOC ∽ △BOD。
∴ $\frac{AC}{BD} = \frac{OC}{OD}$，
将OC=2，OD=3，BD=6代入得：
$\frac{AC}{6} = \frac{2}{3}$，
解得AC=4。

3. 提升题一个三角形的三边长分别为8 cm,6 cm,12 cm. 若另一个与它相似的三角形的最短边为3 cm,则这个三角形其余两边的长为.

解：
将原三角形的三边长按从小到大排序，得6 cm，8 cm，12 cm。
设所求相似三角形的其余两边长分别为$x\ \mathrm{cm}$，$y\ \mathrm{cm}$。
两个相似三角形的最短边分别为6 cm和3 cm，因此相似比为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{x}{8}=\frac{1}{2},\quad \frac{y}{12}=\frac{1}{2}$
解得$x=4$，$y=6$。
答：这个三角形其余两边的长为4 cm和6 cm。

4.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE//BC.若EC=6, $\frac{AD}{DB}=\frac{2}{3}$,则AC=.

$\boldsymbol{10}$

解：
∵ $DE// BC$，
∴ $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$。
∵ $\frac{AD}{DB}=\frac{2}{3}$，$EC=6$，
∴ $\frac{AE}{6}=\frac{2}{3}$，
解得 $AE=4$。
∴ $AC=AE+EC=4+6=10$。

5.如图，在$△ ABC$中，$AC＞AB$，$D$为边$AB$上一点，$AD=2$，$BD=1$.以点$C$为圆心，$AD$长为半径画弧，交$AC$于点$E$，连接$DE$.若$DE// BC$，则$AE=$.

$\boldsymbol{4}$

解：
设 $ AE = x $。
由题意可知：$ CE = AD = 2 $，$ AB = AD + BD = 2 + 1 = 3 $。
$\because DE // BC$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$。
又$\because AC = AE + CE = x + 2$，代入得：
$\frac{2}{3} = \frac{x}{x + 2}$
解得 $ x = 4 $，经检验，$ x=4 $ 是原方程的解，且符合题意。
$\therefore AE = 4$。

6. 提升题▶我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线.如图,小明在两条横线上画出$△ ABC$,且$AB,AC$分别与中间的两条横线相交于$D,F,E,G$四点,连接$CD$,交$FG$于点$H$.若$HG=3$,则$BC$的长为.

$\boldsymbol{18}$

解：由题意可知练习本的横线互相平行且间距相等，因此$DE// FG// BC$，且$AD:DF:FB=1:1:1$，$AE:EG:GC=1:1:1$。
$\therefore \dfrac{AF}{AB}=\dfrac{2}{3}$，
又$\because △ AFG ∽ △ ABC$，
$\therefore \dfrac{FG}{BC}=\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{2}{3}$，即$FG=\dfrac{2}{3}BC$。
由平行线分线段成比例，得$DH:HC=1:1$，即$H$是$CD$的中点，
又$\because F$是$DB$的中点，
$\therefore FH$是$△ DBC$的中位线，
$\therefore FH=\dfrac{1}{2}BC$。
$\because FG=FH+HG$，$HG=3$，
$\therefore \dfrac{2}{3}BC-\dfrac{1}{2}BC=3$，
解得$BC=18$。

7. 如图，在$□ ABCD$中，连接对角线AC，延长AB至点E，使$BE=AB$，连接DE，分别交BC，AC于点F，G。
(1)求证：$BF=CF$；
(2)若$DG=4,AG:CG=2$，求FG的长。

(1)证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD，AD//BC，AD=BC。
∵ BE=AB，
∴ AE=2AB，BE=AB=CD。
∵ BF//AD，
∴ △EBF ∽ △EAD，
∴ $\frac{BF}{AD}=\frac{BE}{AE}=\frac{1}{2}$，
∴ $BF=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$，
∴ BF=CF。
(2)解：
∵ AB//CD，即AE//CD，
∴ ∠EAG=∠DCG，
又∵ ∠AGE=∠CGD，
∴ △AEG ∽ △CDG，
∴ $\frac{EG}{DG}=\frac{AE}{CD}$。
∵ AE=2AB，AB=CD，
∴ $\frac{AE}{CD}=2$，
代入DG=4得 $\frac{EG}{4}=2$，解得EG=8，
∴ DE=EG+DG=8+4=12。
由(1)知BF//AD，B为AE中点，
∴ F是DE的中点，
∴ $FD=\frac{1}{2}DE=6$，
∴ FG=FD-DG=6-4=2。
答：FG的长为2。