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1.有“思维数学”和“每日阅读五分钟”两个公众号，“思维数学”每2天更新一次，“每日阅读五分钟”每3天更新一次.某月1日两个公众号同时更新后，则本月两个公众号第一次同时更新的日期是
7
日.答案
1.7
解析
【分析】
遇到两个周期不同的事件同时发生的问题时，首先要明确：两次同时发生的间隔时长是两个事件周期的公共倍数，第一次同时发生的最短间隔就是两个周期的最小公倍数。本题要找1日之后两个公众号第一次同时更新的日期，第一步先求2和3的最小公倍数得到间隔天数，再用初始日期1日加间隔天数即可得到结果。
【解析】
解：两个公众号同时更新的间隔天数是2和3的最小公倍数。
因为2和3互为质数，所以二者的最小公倍数为：$2×3=6$。
已知1日两个公众号同时更新，因此第一次后续同时更新的日期为：$1+6=7$（日）。
【答案】
7
【知识点】
最小公倍数的应用；互质数最小公倍数计算
【点评】
本题结合生活场景考查公倍数的实际应用，解题核心是将“第一次同时更新的间隔”转化为求两个数的最小公倍数，掌握最小公倍数的基本计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
遇到两个周期不同的事件同时发生的问题时，首先要明确：两次同时发生的间隔时长是两个事件周期的公共倍数，第一次同时发生的最短间隔就是两个周期的最小公倍数。本题要找1日之后两个公众号第一次同时更新的日期，第一步先求2和3的最小公倍数得到间隔天数，再用初始日期1日加间隔天数即可得到结果。
【解析】
解：两个公众号同时更新的间隔天数是2和3的最小公倍数。
因为2和3互为质数，所以二者的最小公倍数为：$2×3=6$。
已知1日两个公众号同时更新，因此第一次后续同时更新的日期为：$1+6=7$（日）。
【答案】
7
【知识点】
最小公倍数的应用；互质数最小公倍数计算
【点评】
本题结合生活场景考查公倍数的实际应用，解题核心是将“第一次同时更新的间隔”转化为求两个数的最小公倍数，掌握最小公倍数的基本计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 程程和梅梅为敬老院打扫卫生，程程10月2日去了敬老院，以后每3天去一次，梅梅10月4日去了敬老院，以后每4天去一次。列表算一算10月份他们同时去敬老院的有哪些日期。
答案
解:10月8日 10月11日 10月14日 10月17日 10月20日 10月23日 10月26日 10月29日 10月12日 10月16日 10月20日 10月24日 10月28日 10月份他们同时去敬老院的日期有10月8日,10月20日.
解析
【分析】
解题时首先明确两人去敬老院的日期规律：程程从10月2日开始，每3天去一次，即后续日期依次在前一次基础上加3天；梅梅从10月4日开始，每4天去一次，后续日期依次在前一次基础上加4天。我们先分别列举出两人10月份所有去敬老院的日期（不超过10月31日），再筛选出两组日期中相同的部分，就是两人同时去的日期。
【解析】
1. 计算程程10月去敬老院的所有日期：
起始日期为10月2日，每次加3天：
2日，2+3=5日，5+3=8日，8+3=11日，11+3=14日，14+3=17日，17+3=20日，20+3=23日，23+3=26日，26+3=29日，下一次为29+3=32日，超过10月总天数31天，停止列举。
即程程去的日期：10月2日、5日、8日、11日、14日、17日、20日、23日、26日、29日。
2. 计算梅梅10月去敬老院的所有日期：
起始日期为10月4日，每次加4天：
4日，4+4=8日，8+4=12日，12+4=16日，16+4=20日，20+4=24日，24+4=28日，下一次为28+4=32日，超过31天，停止列举。
即梅梅去的日期：10月4日、8日、12日、16日、20日、24日、28日。
3. 筛选两组日期中相同的日期：10月8日、10月20日。
【答案】
10月份他们同时去敬老院的日期是10月8日、10月20日。
【知识点】
日期周期推算，公共元素筛选，公倍数应用
【点评】
本题是典型的周期类应用问题，采用分别列举再找公共项的方法容易理解，解题时只要注意日期的上限是10月31日，列举时不遗漏不重复就能正确求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确两人去敬老院的日期规律：程程从10月2日开始，每3天去一次，即后续日期依次在前一次基础上加3天；梅梅从10月4日开始，每4天去一次，后续日期依次在前一次基础上加4天。我们先分别列举出两人10月份所有去敬老院的日期（不超过10月31日），再筛选出两组日期中相同的部分，就是两人同时去的日期。
【解析】
1. 计算程程10月去敬老院的所有日期：
起始日期为10月2日，每次加3天：
2日，2+3=5日，5+3=8日，8+3=11日，11+3=14日，14+3=17日，17+3=20日，20+3=23日，23+3=26日，26+3=29日，下一次为29+3=32日，超过10月总天数31天，停止列举。
即程程去的日期：10月2日、5日、8日、11日、14日、17日、20日、23日、26日、29日。
2. 计算梅梅10月去敬老院的所有日期：
起始日期为10月4日，每次加4天：
4日，4+4=8日，8+4=12日，12+4=16日，16+4=20日，20+4=24日，24+4=28日，下一次为28+4=32日，超过31天，停止列举。
即梅梅去的日期：10月4日、8日、12日、16日、20日、24日、28日。
3. 筛选两组日期中相同的日期：10月8日、10月20日。
【答案】
10月份他们同时去敬老院的日期是10月8日、10月20日。
【知识点】
日期周期推算，公共元素筛选，公倍数应用
【点评】
本题是典型的周期类应用问题，采用分别列举再找公共项的方法容易理解，解题时只要注意日期的上限是10月31日，列举时不遗漏不重复就能正确求解。
【难度系数】
0.8
3. 在$3□2□$的方格中填入适当的数字，使组成的四位数是能被15整除的数中最大的一个，求这个数.
答案
解:能被15整除就是同时能被3和5整除,所以个位是0或5.设百位是x,则当个位是0时,3+x+2+0能被3整除,此时x最大为7,此时这个数为3 720;当个位为5时,3+x+2+5能被3整除,此时x最大为8,此时这个数为3 825.因为3 825＞3 720,所以这个四位数最大为3 825.
解析
【分析】
要得到能被15整除的最大四位数$3□2□$，首先明确能被15整除的数需同时满足被3和5整除的条件。解题时先根据5的倍数特征确定个位的两种可能取值（0或5），再针对每一种个位取值，结合3的倍数特征（各数位数字之和是3的倍数），尽可能让百位数字取最大的符合条件的值，得到两种情况对应的四位数，最后比较两个数的大小，较大的就是所求的最大数。
【解析】
解：能被15整除的数需同时能被3和5整除。
根据5的倍数特征，这个四位数的个位只能是0或5，设百位上的数字为$x$，分两种情况讨论：
① 当个位是0时，各数位数字和为$3 + x + 2 + 0 = 5 + x$，需是3的倍数。要让数最大，$x$尽可能取最大值，符合条件的最大$x$为7（此时$5+7=12$，12是3的倍数），对应的四位数是3720。
② 当个位是5时，各数位数字和为$3 + x + 2 + 5 = 10 + x$，需是3的倍数。符合条件的最大$x$为8（此时$10+8=18$，18是3的倍数），对应的四位数是3825。
比较两个数的大小：$3825 ＞ 3720$，因此满足条件的最大四位数是3825。
【答案】
3825
【知识点】
3的倍数特征，5的倍数特征，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查数的整除特征的应用，解题时需要先将复合整除条件拆解为两个简单整除条件，再通过分类讨论列举出所有符合要求的可能情况，结合“求最大数”的限制优先保证高位数字最大，最终通过比较得到结果，解题时注意不要漏去个位为5的情况。
【难度系数】
0.7
要得到能被15整除的最大四位数$3□2□$，首先明确能被15整除的数需同时满足被3和5整除的条件。解题时先根据5的倍数特征确定个位的两种可能取值（0或5），再针对每一种个位取值，结合3的倍数特征（各数位数字之和是3的倍数），尽可能让百位数字取最大的符合条件的值，得到两种情况对应的四位数，最后比较两个数的大小，较大的就是所求的最大数。
【解析】
解：能被15整除的数需同时能被3和5整除。
根据5的倍数特征，这个四位数的个位只能是0或5，设百位上的数字为$x$，分两种情况讨论：
① 当个位是0时，各数位数字和为$3 + x + 2 + 0 = 5 + x$，需是3的倍数。要让数最大，$x$尽可能取最大值，符合条件的最大$x$为7（此时$5+7=12$，12是3的倍数），对应的四位数是3720。
② 当个位是5时，各数位数字和为$3 + x + 2 + 5 = 10 + x$，需是3的倍数。符合条件的最大$x$为8（此时$10+8=18$，18是3的倍数），对应的四位数是3825。
比较两个数的大小：$3825 ＞ 3720$，因此满足条件的最大四位数是3825。
【答案】
3825
【知识点】
3的倍数特征，5的倍数特征，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查数的整除特征的应用，解题时需要先将复合整除条件拆解为两个简单整除条件，再通过分类讨论列举出所有符合要求的可能情况，结合“求最大数”的限制优先保证高位数字最大，最终通过比较得到结果，解题时注意不要漏去个位为5的情况。
【难度系数】
0.7
4.如图,已知∠β和线段a,b,用直尺和圆规作△ABC,使∠B=∠β,BC=a,AC=b,这样的三角形能作几个?(不写作法,保留作图痕迹)
答案
解:这样的三角形能作2个. 如图，△ABC和△A'BC 为所作.
解析
【分析】
要作满足条件的△ABC，可逐步确定三角形的顶点：第一步先确定顶点B，作∠B等于已知的∠β；第二步确定顶点C，在∠B的其中一条边上截取长度为a的线段BC，此时B、C两点位置固定；第三步寻找顶点A，A需要同时满足两个条件：①在∠B的另一条边上，②到点C的距离等于b，因此只需以C为圆心、b为半径画弧，观察弧与∠B另一边的交点个数，交点个数就是符合条件的三角形的个数。
【解析】
1. 首先作∠MBN=∠β；
2. 在射线BM上截取BC=a，此时B、C两点位置固定；
3. 以点C为圆心，线段b的长度为半径画弧，该弧与射线BN交于两个不同的点A、A'；
4. 分别连接AC、A'C，得到△ABC和△A'BC，两个三角形都满足∠B=∠β，BC=a，AC=b的要求，因此符合条件的三角形能作2个。
【答案】
解:这样的三角形能作2个. 如图，△ABC和△A'BC 为所作.
【知识点】
1. 尺规作图
2. 作一个角等于已知角
3. SSA的多解性
【点评】
本题考查尺规作图的应用，核心是理解已知两边及其中一边的对角作三角形时存在多解的情况，这也是SSA不能作为三角形全等判定定理的原因，同时考查学生的动手操作能力和分类讨论思想。
【难度系数】
0.6
要作满足条件的△ABC，可逐步确定三角形的顶点：第一步先确定顶点B，作∠B等于已知的∠β；第二步确定顶点C，在∠B的其中一条边上截取长度为a的线段BC，此时B、C两点位置固定；第三步寻找顶点A，A需要同时满足两个条件：①在∠B的另一条边上，②到点C的距离等于b，因此只需以C为圆心、b为半径画弧，观察弧与∠B另一边的交点个数，交点个数就是符合条件的三角形的个数。
【解析】
1. 首先作∠MBN=∠β；
2. 在射线BM上截取BC=a，此时B、C两点位置固定；
3. 以点C为圆心，线段b的长度为半径画弧，该弧与射线BN交于两个不同的点A、A'；
4. 分别连接AC、A'C，得到△ABC和△A'BC，两个三角形都满足∠B=∠β，BC=a，AC=b的要求，因此符合条件的三角形能作2个。
【答案】
解:这样的三角形能作2个. 如图，△ABC和△A'BC 为所作.
【知识点】
1. 尺规作图
2. 作一个角等于已知角
3. SSA的多解性
【点评】
本题考查尺规作图的应用，核心是理解已知两边及其中一边的对角作三角形时存在多解的情况，这也是SSA不能作为三角形全等判定定理的原因，同时考查学生的动手操作能力和分类讨论思想。
【难度系数】
0.6
5.有一桶铅笔，若3支3支地数，最后余2支；若4支4支地数，最后余2支；若5支5支地数，最后余2支.桶中至少有多少支铅笔？
答案
解:3,4,5的最小公倍数是3×5×4=60. 60+2=62(支).答:桶中至少有62支铅笔.
解析
【分析】
解题时先观察三种数法的共性：不管是3支3支数、4支4支数还是5支5支数，最后都余2支。这说明如果把铅笔总数减去2支，剩下的数量刚好可以同时被3、4、5整除，也就是剩下的数量是3、4、5的公倍数。题目要求“至少有多少支铅笔”，因此我们只需要先求出3、4、5的最小公倍数，再加上之前减去的2支，就能得到最少的铅笔总数。
【解析】
解：根据题意可知，铅笔总数量减去2之后是3、4、5的公倍数，要求最少的铅笔数量，需先求3、4、5的最小公倍数。
因为3、4、5两两互质，所以它们的最小公倍数为三个数的乘积：
$3×4×5=60$
则铅笔的最少数量为：$60+2=62$（支）
【答案】
62支
【知识点】
最小公倍数计算；公倍数实际应用
【点评】
本题是公倍数在实际问题中的典型应用，解题核心是找到不同数法下的共同余数，将实际问题转化为求最小公倍数的数学问题，掌握公倍数的相关性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
解题时先观察三种数法的共性：不管是3支3支数、4支4支数还是5支5支数，最后都余2支。这说明如果把铅笔总数减去2支，剩下的数量刚好可以同时被3、4、5整除，也就是剩下的数量是3、4、5的公倍数。题目要求“至少有多少支铅笔”，因此我们只需要先求出3、4、5的最小公倍数，再加上之前减去的2支，就能得到最少的铅笔总数。
【解析】
解：根据题意可知，铅笔总数量减去2之后是3、4、5的公倍数，要求最少的铅笔数量，需先求3、4、5的最小公倍数。
因为3、4、5两两互质，所以它们的最小公倍数为三个数的乘积：
$3×4×5=60$
则铅笔的最少数量为：$60+2=62$（支）
【答案】
62支
【知识点】
最小公倍数计算；公倍数实际应用
【点评】
本题是公倍数在实际问题中的典型应用，解题核心是找到不同数法下的共同余数，将实际问题转化为求最小公倍数的数学问题，掌握公倍数的相关性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
6.某小区居民筹集资金，计划在楼前一块上底为5 m，下底为10 m的梯形(如图1)空地上种植花草，美化环境.
(1)试判断△AEB与△DEC的面积之间有什么关系？并说明理由.
(2)若AB=CD(如图2)，请设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得△APB≌△DPC，$S_{△ APD}=S_{△ BPC}$，并说明理由.
(1)试判断△AEB与△DEC的面积之间有什么关系？并说明理由.
(2)若AB=CD(如图2)，请设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得△APB≌△DPC，$S_{△ APD}=S_{△ BPC}$，并说明理由.
答案
解:(1)△AEB与△DEC的面积相等.理由:
∵梯形ABCD的边AD//BC,
∴△ABC的面积等于△BCD的面积.
∴△AEB与△DEC的面积相等. (2)
∵△APB≌△DPC,
∴点P在梯形ABCD的对称轴上.
∵AD=5 m,BC=10 m,$S_{△ APD}=S_{△ BPC}$,
∴点P到AD的距离等于到BC的距离的2倍.点P的位置图略.
∵梯形ABCD的边AD//BC,
∴△ABC的面积等于△BCD的面积.
∴△AEB与△DEC的面积相等. (2)
∵△APB≌△DPC,
∴点P在梯形ABCD的对称轴上.
∵AD=5 m,BC=10 m,$S_{△ APD}=S_{△ BPC}$,
∴点P到AD的距离等于到BC的距离的2倍.点P的位置图略.
解析
【分析】
(1)要判断△AEB和△DEC的面积关系，可先找与二者相关的面积相等的三角形：梯形中AD//BC，因此△ABC和△DBC以BC为底时高相等，面积相等，两个三角形同时减去公共部分△BEC的面积，即可得到目标三角形的面积关系。
(2)首先由AB=CD可知梯形为等腰梯形，是轴对称图形，要使△APB≌△DPC，点P需在梯形的对称轴上；再结合$S_{△ APD}=S_{△ BPC}$的要求，利用三角形面积公式，代入上下底的长度，即可推出点P到上下底的距离关系，最终确定点P的位置。
【解析】
(1)△AEB与△DEC的面积相等，理由如下：
∵梯形ABCD中AD//BC，
∴点A、点D到BC的距离相等，即△ABC和△DBC同底等高，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ DBC}$。
又
∵$S_{△ ABC}-S_{△ BEC}=S_{△ AEB}$，$S_{△ DBC}-S_{△ BEC}=S_{△ DEC}$，
∴$S_{△ AEB}=S_{△ DEC}$。
(2)设计方案：作等腰梯形ABCD的对称轴（即上下底中点的连线），在对称轴上取一点P，使点P到AD的距离等于到BC距离的2倍，该点P即为所求。理由如下：
∵AB=CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形，上下底中点的连线是它的对称轴，
∴对称轴上的点P满足AP=DP，BP=CP，结合AB=CD，可证$△ APB≌△ DPC$（SSS）。
设点P到AD的距离为$h_1$，到BC的距离为$h_2$，
∵$S_{△ APD}=\frac{1}{2}· AD· h_1$，$S_{△ BPC}=\frac{1}{2}· BC· h_2$，且AD=5m，BC=10m，$S_{△ APD}=S_{△ BPC}$，
∴$\frac{1}{2}×5× h_1=\frac{1}{2}×10× h_2$，化简得$h_1=2h_2$，即点P到AD的距离为到BC距离的2倍即可。
【答案】
(1)△AEB与△DEC的面积相等，理由见解析；
(2)点P在等腰梯形的对称轴上，且到AD的距离等于到BC距离的2倍，理由见解析。
【知识点】
1. 梯形的性质
2. 全等三角形的判定
3. 三角形面积计算
【点评】
本题综合考察了梯形的几何特性、全等三角形的判定以及三角形面积公式的应用，第一问侧重基础性质的直接应用，第二问需要结合多个条件逐步推导点的位置，有助于锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1)要判断△AEB和△DEC的面积关系，可先找与二者相关的面积相等的三角形：梯形中AD//BC，因此△ABC和△DBC以BC为底时高相等，面积相等，两个三角形同时减去公共部分△BEC的面积，即可得到目标三角形的面积关系。
(2)首先由AB=CD可知梯形为等腰梯形，是轴对称图形，要使△APB≌△DPC，点P需在梯形的对称轴上；再结合$S_{△ APD}=S_{△ BPC}$的要求，利用三角形面积公式，代入上下底的长度，即可推出点P到上下底的距离关系，最终确定点P的位置。
【解析】
(1)△AEB与△DEC的面积相等，理由如下：
∵梯形ABCD中AD//BC，
∴点A、点D到BC的距离相等，即△ABC和△DBC同底等高，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ DBC}$。
又
∵$S_{△ ABC}-S_{△ BEC}=S_{△ AEB}$，$S_{△ DBC}-S_{△ BEC}=S_{△ DEC}$，
∴$S_{△ AEB}=S_{△ DEC}$。
(2)设计方案：作等腰梯形ABCD的对称轴（即上下底中点的连线），在对称轴上取一点P，使点P到AD的距离等于到BC距离的2倍，该点P即为所求。理由如下：
∵AB=CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形，上下底中点的连线是它的对称轴，
∴对称轴上的点P满足AP=DP，BP=CP，结合AB=CD，可证$△ APB≌△ DPC$（SSS）。
设点P到AD的距离为$h_1$，到BC的距离为$h_2$，
∵$S_{△ APD}=\frac{1}{2}· AD· h_1$，$S_{△ BPC}=\frac{1}{2}· BC· h_2$，且AD=5m，BC=10m，$S_{△ APD}=S_{△ BPC}$，
∴$\frac{1}{2}×5× h_1=\frac{1}{2}×10× h_2$，化简得$h_1=2h_2$，即点P到AD的距离为到BC距离的2倍即可。
【答案】
(1)△AEB与△DEC的面积相等，理由见解析；
(2)点P在等腰梯形的对称轴上，且到AD的距离等于到BC距离的2倍，理由见解析。
【知识点】
1. 梯形的性质
2. 全等三角形的判定
3. 三角形面积计算
【点评】
本题综合考察了梯形的几何特性、全等三角形的判定以及三角形面积公式的应用，第一问侧重基础性质的直接应用，第二问需要结合多个条件逐步推导点的位置，有助于锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
