回顾与思考(五) 二元一次方程组
——大单元知识结构图——
解释
问题情境
方程模型
二元一次方程（组）
三元一次方程组
消元
一元一次方程
解法
基本思想:①
代入消元法
加减消元法
二元一次方程组的应用
以二元一次方程的解为坐标的点
组成
一次函数图象
两个一次函数图象相交
两个一次函数图象平行
二元一次方程组④
方程组的解即②
交点坐标即③

① 消元
② 交点坐标
③ 方程组的解
④ 无解

【分析】
本题考查二元一次方程组的核心思想以及二元一次方程组与一次函数的关联知识。解题时首先回忆二元一次方程组的解法本质：我们解二元一次方程组的目的是把两个未知数转化为一个未知数，这个核心思想就是第一个空的答案；再回忆二元一次方程组和一次函数的对应关系：每个二元一次方程都对应一个一次函数，方程组的解就是同时满足两个方程的x、y值，对应直角坐标系里就是两个函数图象的交点，反过来交点坐标自然就是方程组的解；如果两个一次函数图象平行，说明没有公共交点，对应的方程组就没有公共解，据此就可以依次填出所有空。
【解析】
① 解二元一次方程组的核心是通过消去一个未知数，将二元转化为一元求解，因此基本思想是消元；
② 二元一次方程组的解是同时满足两个方程的未知数取值，对应到函数图象中，就是两个一次函数图象的交点坐标，因此②填交点坐标；
③ 两个一次函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，也就是对应二元一次方程组的解，因此③填方程组的解；
④ 两个一次函数图象平行，说明两个图象没有公共交点，即不存在同时满足两个方程的未知数取值，因此对应的二元一次方程组无解，④填无解。
【答案】
①消元；②交点坐标；③方程组的解；④无解
【知识点】
消元思想，二元一次方程组与一次函数的关系，一次函数图象性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，覆盖了二元一次方程组单元的核心基础知识点，熟练掌握相关概念即可快速作答，是巩固单元基础知识的典型习题。
【难度系数】
0.8

1. 下列方程组中，是二元一次方程组的有 （）
①$\begin{cases}2x+3y=7, \\4x-y=5;\end{cases}$
②$\begin{cases}2x+y=3, \\x+z=4;\end{cases}$
③$\begin{cases}x=2, \\y+3=6;\end{cases}$
④$\begin{cases}x^2 - y=2, \\x+4y=5.\end{cases}$

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

B

【分析】
要判断给定的方程组是否为二元一次方程组，首先要明确二元一次方程组的判定标准：1. 方程组内所有方程一共只含有2个不同的未知数；2. 每个方程都是整式方程；3. 每个方程中含未知数的项的次数都为1。接下来我们依次对4个方程组逐一核对上述标准，统计符合条件的数量即可得到答案。
【解析】
我们根据二元一次方程组的判定条件逐一分析：
① 方程组含x、y共2个未知数，两个方程都是含未知数的项次数为1的整式方程，符合二元一次方程组的定义；
② 方程组含x、y、z共3个未知数，属于三元一次方程组，不符合要求；
③ 方程组含x、y共2个未知数，两个方程都是含未知数的项次数为1的整式方程，符合二元一次方程组的定义；
④ 第一个方程中x的次数为2，属于二次方程，不符合“含未知数的项次数为1”的要求。
综上，符合条件的是①和③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是准确掌握二元一次方程组的三个判定条件，尤其要注意不要误认为只有两个方程都同时含两个未知数才是二元一次方程组，只要整个方程组总共含有两个未知数、且每个方程都是一次整式方程即可。
【难度系数】
0.7

2. 如果方程$x-y=3$与下面方程中的一个组成的方程组的解为$\begin{cases}x=4, \\ y=1,\end{cases}$那么这个方程是（ ）

A.$2(x-y)=6y$
B.$\frac{1}{4}x+2y=5$
C.$x+2y=9$
D.$3x-4y=16$

A

【分析】
解题思路基于二元一次方程组解的定义：方程组的解会同时满足组成方程组的所有方程。因此我们只需要将已知的解$\begin{cases}x=4 \\ y=1\end{cases}$依次代入四个选项的方程中，验证哪个方程左右两边相等，即为所求的方程。
【解析】
根据二元一次方程组解的性质，将$\begin{cases}x=4 \\ y=1\end{cases}$分别代入各选项验证：
选项A：左边$=2(x-y)=2×(4-1)=6$，右边$=6y=6×1=6$，左边=右边，符合要求；
选项B：左边$=\frac{1}{4}x+2y=\frac{1}{4}×4 + 2×1=3$，右边$=5$，左边≠右边，不符合要求；
选项C：左边$=x+2y=4+2×1=6$，右边$=9$，左边≠右边，不符合要求；
选项D：左边$=3x-4y=3×4 -4×1=8$，右边$=16$，左边≠右边，不符合要求。
综上，只有选项A的方程满足条件。
【答案】
A
【知识点】
1. 二元一次方程组的解的定义
2. 代入法验证方程的解
【点评】
本题考查对二元一次方程组解的概念的理解，核心解题方法是代入验证法，只要掌握方程组的解需要满足组内所有方程的性质就能快速解题，是二元一次方程组章节的基础常见题型。
【难度系数】
0.8

3. 新考向·开放性问题 写出二元一次方程$2x - y = 5$的一个整数解：。

解：
将方程变形为$y=2x-5$，
取整数$x=3$，代入得$y=2×3 -5=1$，
可得该方程的一个整数解为$\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$（答案不唯一）。

【分析】
要找二元一次方程的整数解，首先明确二元一次方程有无数组解，我们可以先将方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，再给其中一个未知数取任意整数值，代入计算得到另一个未知数的对应值，若该值也是整数，即可得到一组符合要求的整数解。
【解析】
先将方程$2x - y = 5$变形为$y=2x-5$，
任意取整数$x=3$，代入$y=2x-5$计算得：$y=2×3 -5=1$，
由此可得该方程的一个整数解为$\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$，答案不唯一，其余满足$2x-y=5$的整数x、y组合均符合要求。
【答案】
$\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$（答案不唯一）
【知识点】
1.二元一次方程的解的定义
2.代数式求值
【点评】
本题属于开放性基础题，主要考查对二元一次方程解的概念的理解，只要掌握方程的基本变形方法和整数的性质即可轻松作答，答案不唯一，合理即可。
【难度系数】
0.9

4. 用加减消元法解二元一次方程组
$\begin{cases}3x - 2y = 5, ① \\ 2x - 3y = 10, ②\end{cases}$ 由①×3－②×2可得 （ ）

A.$12x -13y =40$
B.$5x -12y = -5$
C.$5y = -20$
D.$5x = -5$

D

【分析】
本题考查加减消元法的具体运算，解题思路如下：首先按照题目给定的运算要求，先分别将方程①乘3、方程②乘2，得到两个变形后的新方程；再将两个新方程的左右两边对应相减，合并同类项时注意符号变化，最终即可得到运算结果。
【解析】
第一步：对①式左右两边同时乘3，根据等式的性质可得：
$3×(3x - 2y) = 3×5$，即$9x - 6y = 15$ ③
第二步：对②式左右两边同时乘2，根据等式的性质可得：
$2×(2x - 3y) = 2×10$，即$4x - 6y = 20$ ④
第三步：用③式减去④式，左边减左边，右边减右边：
$(9x - 6y) - (4x - 6y) = 15 - 20$
去括号得：$9x - 6y - 4x + 6y = -5$
合并同类项后，$-6y$和$+6y$抵消，可得：$5x = -5$
【答案】
D
【知识点】
加减消元法，等式的性质，整式的加减运算
【点评】
本题属于加减消元法的基础应用题型，核心考查运算步骤的规范性和符号处理能力，做方程减法运算时注意括号前是负号，去括号要变号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8

5.(2024·无锡)二元一次方程组$\begin{cases}3x - y = 1, \\2x + 3y = 8\end{cases}$的解为 ______ .

解：
$\begin{cases}3x - y = 1 \quad ①\\2x + 3y = 8 \quad ②\end{cases}$
由①得：$y = 3x - 1$ ③
把③代入②，得：
$2x + 3(3x - 1) = 8$
$2x + 9x - 3 = 8$
$11x = 11$
解得$x=1$
把$x=1$代入③，得：
$y = 3×1 -1 = 2$
所以方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$

【分析】
本题考查二元一次方程组的求解，观察方程组的系数特征，方程①中y的系数为-1，便于用含x的代数式表示y，因此优先选择代入消元法解题。解题思路为：首先将方程①变形，用x表示y得到关系式；再将该关系式代入方程②，消去y得到关于x的一元一次方程；求解一元一次方程得到x的值后，回代求出y的值，即可得到方程组的解。
【解析】
将方程组标注为：
$\begin{cases}3x - y = 1 \quad ①\\2x + 3y = 8 \quad ②\end{cases}$
由①移项得：$y = 3x - 1$ ③
把③代入②，得：
$2x + 3(3x - 1) = 8$
去括号得：$2x + 9x - 3 = 8$
移项、合并同类项得：$11x = 11$
解得：$x=1$
把$x=1$代入③，得：
$y = 3×1 -1 = 2$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$
【知识点】
代入消元法；二元一次方程组的解；一元一次方程解法
【点评】
本题是二元一次方程组求解的基础题型，重点考查消元思想的应用，根据方程系数特征灵活选择消元方式可简化计算步骤，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.85

6. 若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x - y =5k +6, \\4x +7y =k\end{cases}$的解满足$x+y=2025$，则$k$的值为 ______ 。

$\boldsymbol{2024}$

【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一：将k看作常数，先解二元一次方程组，用含k的代数式表示出x和y，再代入x+y=2025中求解k；思路二：观察方程组中两个方程的系数特点，通过整体凑配直接得到x+y与k的数量关系，再代入x+y=2025快速求k，第二种方法更简便。我们选择第二种方法，先把两个方程相加，提取公因式即可直接得到x+y的表达式。
【解析】
记方程组$\begin{cases}2x - y =5k +6 \quad① \\4x +7y =k \quad②\end{cases}$
将①+②，可得：
左边：$2x - y + 4x + 7y = 6x + 6y = 6(x+y)$
右边：$5k + 6 + k = 6k + 6$
因此有$6(x+y) = 6k + 6$，两边同时除以6得：$x+y = k + 1$
已知$x+y=2025$，代入上式可得：
$k + 1 = 2025$
解得$k=2024$
【答案】
$2024$
【知识点】
二元一次方程组的解；等式的性质；整体代入思想
【点评】
本题考查二元一次方程组的应用，解题时优先观察系数特征，采用整体凑配的方法可大幅简化计算过程，避免单独求解x、y的繁琐步骤，很好地体现了整体思想在代数解题中的优势。
【难度系数】
0.75

7.(2024·宿迁)若关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}ax+y=b,\\cx-y=d\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=3,\\y=-2,\end{cases}$则关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax+2y=2a+b,\\cx-2y=2c+d\end{cases}$的解是 ______ .

$\begin{cases}x=5\\y=-1\end{cases}$

【分析】
首先观察待解方程组与已知解的方程组的结构特点，我们可以通过移项变形将待解方程组转化为和已知方程组结构完全相同的形式，再利用换元思想，令新的未知量对应已知方程组的未知数，直接套用已知解反推原未知数的值，无需计算参数a、b、c、d的具体数值，简化运算。
【解析】
1. 对待求方程组$\begin{cases}ax+2y=2a+b\\cx-2y=2c+d\end{cases}$进行移项变形，将含a、c的项移到左边，可得：
$\begin{cases}a(x-2)+2y=b\\c(x-2)-2y=d\end{cases}$
2. 设$m=x-2$，$n=2y$，则上述方程组可改写为：
$\begin{cases}am+n=b\\cm-n=d\end{cases}$
3. 已知方程组$\begin{cases}ax+y=b\\cx-y=d\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=3\\y=-2\end{cases}$，对比两个同结构的方程组，可得新方程组的解为$\begin{cases}m=3\\n=-2\end{cases}$
4. 代回换元式求解x、y：
由$m=x-2=3$，解得$x=5$；
由$n=2y=-2$，解得$y=-1$。
【答案】
$\begin{cases}x=5\\y=-1\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解；换元法解方程组；等式的性质
【点评】
本题重点考查对二元一次方程组解的概念的理解，核心解题技巧是抓住两个方程组的结构相似性，通过换元将未知问题转化为已知问题，避免了繁琐的参数运算，很好地体现了数学中的整体代换思想。
【难度系数】
0.6

8. 解方程组：
(1) $\begin{cases} x - 2y = 3, ① \\ \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{4}y = \dfrac{13}{4}. ② \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x + y - z = 0, ① \\ 2x - 3y + 5z = 5, ② \\ 3x + y - z = 2. ③ \end{cases}$

解：
(1)
将方程②两边同乘4，得：
$2x + 3y = 13$ ③
由方程①得：$x = 2y + 3$ ④
把④代入③，得：
$2(2y + 3) + 3y = 13$
$4y + 6 + 3y = 13$
$7y = 7$
$y = 1$
把$y = 1$代入④，得：
$x = 2×1 + 3 = 5$
所以该方程组的解为$\begin{cases} x=5 \\ y=1 \end{cases}$
(2)
③ - ①，得：
$2x = 2$
$x = 1$
把$x = 1$代入①，整理得：
$z = y + 1$ ④
把$x = 1$、④代入②，得：
$2×1 - 3y + 5(y + 1) = 5$
$2 - 3y + 5y + 5 = 5$
$2y = -2$
$y = -1$
把$y = -1$代入④，得：
$z = -1 + 1 = 0$
所以该方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=-1 \\ z=0 \end{cases}$

【分析】
(1) 本题是二元一次方程组求解，首先方程②含有分数系数，先去分母转化为整数系数方程降低计算难度；观察方程①发现x的系数为1，适合用代入消元法，先用含y的代数式表示x，再代入消去x求出y的值，最后回代求x即可。
(2) 本题是三元一次方程组求解，观察方程①和③的y、z系数完全相同，可先用加减消元法，用③减①直接消去y和z，快速求出x的值；再将x代入①，用含y的代数式表示z，最后把x和z的表达式代入②，消去z得到关于y的一元一次方程，求出y后回代求z即可。
【解析】
(1)
将方程②两边同乘4去分母，得：
$2x + 3y = 13$ ③
由方程①移项得：$x = 2y + 3$ ④
把④代入③，得：
$2(2y + 3) + 3y = 13$
展开得：$4y + 6 + 3y = 13$
合并同类项得：$7y = 7$
解得：$y = 1$
把$y = 1$代入④，得：
$x = 2×1 + 3 = 5$
(2)
用③ - ①，消去y和z，得：
$2x = 2$
解得：$x = 1$
把$x = 1$代入①，移项整理得：
$z = y + 1$ ④
把$x = 1$、④代入②，得：
$2×1 - 3y + 5(y + 1) = 5$
展开得：$2 - 3y + 5y + 5 = 5$
合并同类项得：$2y = -2$
解得：$y = -1$
把$y = -1$代入④，得：
$z = -1 + 1 = 0$
【答案】
(1) $\begin{cases} x=5 \\ y=1 \end{cases}$；(2) $\begin{cases} x=1 \\ y=-1 \\ z=0 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法，三元一次方程组解法，消元法
【点评】
本题核心考查一次方程组的求解思路，通过加减消元或代入消元逐步减少未知数个数，将多元方程组转化为一元方程求解即可。计算时需注意去分母不要漏乘常数项，代入计算时注意符号准确性。
【难度系数】
0.7