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|变式训练2| 某教育网站对下载资源规定如下:若是会员用户,则下载每份资源收0.2元,另外每年收500元的会员费;若是普通用户,则下载每份资源收0.4元,不收其他费用。
(1)分别写出会员用户的收费$y_1$(单位:元)和普通用户的收费$y_2$(单位:元)与下载数量$x$(单位:份)之间的函数关系式;
(2)如果某学校每年要下载1500份资源,那么注册哪种用户比较合算?
(3)一年内下载多少份资源时,两种用户收费一样?
(1)分别写出会员用户的收费$y_1$(单位:元)和普通用户的收费$y_2$(单位:元)与下载数量$x$(单位:份)之间的函数关系式;
(2)如果某学校每年要下载1500份资源,那么注册哪种用户比较合算?
(3)一年内下载多少份资源时,两种用户收费一样?
答案
解:(1)$y_1=0.2x+500$,
$y_2=0.4x$。
(2)当$x=1\ 500$时,
$y_1=0.2x+500=0.2×1\ 500+500=800$(元),
$y_2=0.4x=0.4×1\ 500=600$(元)。
因为$y_1＞y_2$
所以当$x=1\ 500$时,注册普通用户比较合算。
(3)由$y_1=y_2$,得$0.2x+500=0.4x$,
解得$x=2\ 500$。
所以当下载量为2 500份时,注册两种用户的收费相等。
$y_2=0.4x$。
(2)当$x=1\ 500$时,
$y_1=0.2x+500=0.2×1\ 500+500=800$(元),
$y_2=0.4x=0.4×1\ 500=600$(元)。
因为$y_1＞y_2$
所以当$x=1\ 500$时,注册普通用户比较合算。
(3)由$y_1=y_2$,得$0.2x+500=0.4x$,
解得$x=2\ 500$。
所以当下载量为2 500份时,注册两种用户的收费相等。
解析
【分析】
(1) 要写两类用户的收费函数，需先明确收费构成：会员用户收费由固定年费和按下载量计算的浮动费用两部分组成，普通用户收费仅由按下载量计算的浮动费用组成，根据对应收费规则即可列出函数关系式；
(2) 判断下载1500份时哪种用户合算，只需将x=1500分别代入两个函数解析式，计算出对应收费后比较大小，收费更低的更划算；
(3) 求两种用户收费相同时的下载量，只需令两个函数值相等，得到关于x的一元一次方程，解方程即可得到结果。
【解析】
(1) 会员用户总收费=年费+每份资源下载费用×下载数量，因此$y_1=0.2x+500$；
普通用户总收费=每份资源下载费用×下载数量，因此$y_2=0.4x$。
(2) 当$x=1500$时，
代入$y_1$得：$y_1=0.2×1500+500=800$（元），
代入$y_2$得：$y_2=0.4×1500=600$（元），
因为$y_1＞y_2$，所以下载1500份资源时，注册普通用户比较合算。
(3) 若两种用户收费一样，则$y_1=y_2$，可列方程：
$0.2x+500=0.4x$
移项合并得$0.2x=500$，解得$x=2500$。
即一年内下载2500份资源时，两种用户收费一样。
【答案】
(1) $y_1=0.2x+500$，$y_2=0.4x$；
(2) 注册普通用户比较合算；
(3) 2500份。
【知识点】
一次函数的应用、代数式求值、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中的付费场景设计问题，是典型的方案选择类应用题，解题关键是准确梳理题意中的等量关系，建立正确的函数或方程模型，既考查了基础代数知识的掌握，也锻炼了用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
(1) 要写两类用户的收费函数，需先明确收费构成：会员用户收费由固定年费和按下载量计算的浮动费用两部分组成，普通用户收费仅由按下载量计算的浮动费用组成，根据对应收费规则即可列出函数关系式；
(2) 判断下载1500份时哪种用户合算，只需将x=1500分别代入两个函数解析式，计算出对应收费后比较大小，收费更低的更划算；
(3) 求两种用户收费相同时的下载量，只需令两个函数值相等，得到关于x的一元一次方程，解方程即可得到结果。
【解析】
(1) 会员用户总收费=年费+每份资源下载费用×下载数量，因此$y_1=0.2x+500$；
普通用户总收费=每份资源下载费用×下载数量，因此$y_2=0.4x$。
(2) 当$x=1500$时，
代入$y_1$得：$y_1=0.2×1500+500=800$（元），
代入$y_2$得：$y_2=0.4×1500=600$（元），
因为$y_1＞y_2$，所以下载1500份资源时，注册普通用户比较合算。
(3) 若两种用户收费一样，则$y_1=y_2$，可列方程：
$0.2x+500=0.4x$
移项合并得$0.2x=500$，解得$x=2500$。
即一年内下载2500份资源时，两种用户收费一样。
【答案】
(1) $y_1=0.2x+500$，$y_2=0.4x$；
(2) 注册普通用户比较合算；
(3) 2500份。
【知识点】
一次函数的应用、代数式求值、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中的付费场景设计问题，是典型的方案选择类应用题，解题关键是准确梳理题意中的等量关系，建立正确的函数或方程模型，既考查了基础代数知识的掌握，也锻炼了用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
1.某商店销售一种商品，售出部分商品后进行降价促销，销售金额$y$(单位:元)与销售量$x$(单位:件)的函数关系如图所示，则降价后每件商品的销售价格为(
A.12元
B.12.5元
C.16.25元
D.20元
B
)A.12元
B.12.5元
C.16.25元
D.20元
答案
B
解析
【分析】
要计算降价后每件商品的销售价格，需先找到降价后销售的商品总数量和对应的销售总金额，再根据“单价=总价÷数量”求解。首先观察函数图像：横坐标为销售量x，纵坐标为销售金额y，x=40件时y=800元，说明前40件为原价销售；x=80件时y=1300元，说明从40件到80件是降价后销售的部分，据此可算出降价后的销售数量和对应总金额，进而求出单价。
【解析】
解：由函数图像可得：
1. 降价后销售的商品数量：$80 - 40 = 40$（件）
2. 降价后40件商品的总销售金额：$1300 - 800 = 500$（元）
3. 降价后每件商品的销售价格：$500 ÷ 40 = 12.5$（元）
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 函数图像信息提取
2. 销售问题计算
【点评】
本题是结合函数图像的基础应用题，核心是从图像中准确提取对应数量的信息，再结合销售问题的基本数量关系计算，掌握读图方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要计算降价后每件商品的销售价格，需先找到降价后销售的商品总数量和对应的销售总金额，再根据“单价=总价÷数量”求解。首先观察函数图像：横坐标为销售量x，纵坐标为销售金额y，x=40件时y=800元，说明前40件为原价销售；x=80件时y=1300元，说明从40件到80件是降价后销售的部分，据此可算出降价后的销售数量和对应总金额，进而求出单价。
【解析】
解：由函数图像可得：
1. 降价后销售的商品数量：$80 - 40 = 40$（件）
2. 降价后40件商品的总销售金额：$1300 - 800 = 500$（元）
3. 降价后每件商品的销售价格：$500 ÷ 40 = 12.5$（元）
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 函数图像信息提取
2. 销售问题计算
【点评】
本题是结合函数图像的基础应用题，核心是从图像中准确提取对应数量的信息，再结合销售问题的基本数量关系计算，掌握读图方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
2.如图,正方形ABCD的边长为4 cm,动点P从点A出发,沿A→D→C以每秒1 cm的速度运动(点P不与点A、点C重合)。设点P的运动时间为x s,四边形ABCP的面积为y cm²,则下列图象能大致
反映y与x的函数关系的是(
反映y与x的函数关系的是(D
)答案
D
解析
【分析】
解决本题需要分两段分析动点P的位置，先明确P在AD边、DC边运动的时间范围，再分别计算两个阶段四边形ABCP的面积与运动时间的函数关系，最后结合函数的增减性匹配对应图象。首先根据正方形边长和动点速度，可得P走完AD边用时4s，走完DC边再用时4s，因此分0＜x＜4、4＜x＜8两个阶段分析即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$0 ＜ x ＜ 4$时，点P在AD边上运动：
此时AP的长度为$x\ \mathrm{cm}$，四边形ABCP是直角梯形，上底$AP=x$，下底$BC=4\ \mathrm{cm}$，高$AB=4\ \mathrm{cm}$。
根据梯形面积公式$S=\frac{(上底+下底)×高}{2}$，代入得：
$y=\frac{(x+4)×4}{2}=2x+8$
此时y随x的增大而增大，当x=4时，y=16。
2. 当$4 ＜ x ＜ 8$时，点P在DC边上运动：
此时DP的长度为$(x-4)\ \mathrm{cm}$，则$PC=4-(x-4)=(8-x)\ \mathrm{cm}$，四边形ABCP仍是直角梯形，上底$PC=8-x$，下底$AB=4\ \mathrm{cm}$，高$BC=4\ \mathrm{cm}$。
代入梯形面积公式得：
$y=\frac{(8-x+4)×4}{2}=24-2x$
此时y随x的增大而减小，当x趋近8时，y趋近8。
综上，函数图象先上升到点(4,16)，再下降，符合该特征的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
动点问题的函数图象，梯形面积计算，一次函数的图象
【点评】
本题考查分段函数图象的判断，解题核心是根据动点的不同运动阶段分别推导函数关系，结合函数的增减性和自变量取值范围即可快速判断图象，需注意分段点的函数值是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
解决本题需要分两段分析动点P的位置，先明确P在AD边、DC边运动的时间范围，再分别计算两个阶段四边形ABCP的面积与运动时间的函数关系，最后结合函数的增减性匹配对应图象。首先根据正方形边长和动点速度，可得P走完AD边用时4s，走完DC边再用时4s，因此分0＜x＜4、4＜x＜8两个阶段分析即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$0 ＜ x ＜ 4$时，点P在AD边上运动：
此时AP的长度为$x\ \mathrm{cm}$，四边形ABCP是直角梯形，上底$AP=x$，下底$BC=4\ \mathrm{cm}$，高$AB=4\ \mathrm{cm}$。
根据梯形面积公式$S=\frac{(上底+下底)×高}{2}$，代入得：
$y=\frac{(x+4)×4}{2}=2x+8$
此时y随x的增大而增大，当x=4时，y=16。
2. 当$4 ＜ x ＜ 8$时，点P在DC边上运动：
此时DP的长度为$(x-4)\ \mathrm{cm}$，则$PC=4-(x-4)=(8-x)\ \mathrm{cm}$，四边形ABCP仍是直角梯形，上底$PC=8-x$，下底$AB=4\ \mathrm{cm}$，高$BC=4\ \mathrm{cm}$。
代入梯形面积公式得：
$y=\frac{(8-x+4)×4}{2}=24-2x$
此时y随x的增大而减小，当x趋近8时，y趋近8。
综上，函数图象先上升到点(4,16)，再下降，符合该特征的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
动点问题的函数图象，梯形面积计算，一次函数的图象
【点评】
本题考查分段函数图象的判断，解题核心是根据动点的不同运动阶段分别推导函数关系，结合函数的增减性和自变量取值范围即可快速判断图象，需注意分段点的函数值是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
