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1.如图，AC是$\odot O$的弦，$AC=4$，点B是$\odot O$上的一个动点，且$∠ ABC=45°$。若点M，N分别是AC，BC的中点，则MN的最大值为 （
A.$2\sqrt{2}$
B.$4\sqrt{2}$
C.$6\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$
A
）A.$2\sqrt{2}$
B.$4\sqrt{2}$
C.$6\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$
答案
1.A
解析
【分析】
解题时先从已知的中点条件入手，由M、N分别是AC、BC的中点，可联想到三角形中位线定理，得到MN与AB的数量关系：$MN=\frac{1}{2}AB$，因此求MN的最大值可转化为求AB的最大值；圆中最长的弦为直径，因此当AB为直径时AB最大，此时结合直径所对圆周角为直角、已知的$∠ ABC=45°$和AC的长度，即可求出AB的最大值，进而得到MN的最大值。
【解析】
解：
∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴MN是$△ ABC$的中位线，
∴$MN = \frac{1}{2}AB$，
∴要使MN取得最大值，需AB取得最大值。
∵在$\odot O$中，最长的弦是直径，
∴当AB为$\odot O$的直径时，AB取得最大值，此时$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
又
∵$∠ ABC=45°$，
∴$△ ABC$为等腰直角三角形，$AC=BC=4$，
由勾股定理得：$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$，
∴MN的最大值为$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理；圆周角定理及其推论；勾股定理
【点评】
本题是圆中最值的典型考题，核心解题思路是通过中位线性质将未知线段的最值转化为圆中弦的最值问题，结合圆周角性质和勾股定理即可求解，很好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的中点条件入手，由M、N分别是AC、BC的中点，可联想到三角形中位线定理，得到MN与AB的数量关系：$MN=\frac{1}{2}AB$，因此求MN的最大值可转化为求AB的最大值；圆中最长的弦为直径，因此当AB为直径时AB最大，此时结合直径所对圆周角为直角、已知的$∠ ABC=45°$和AC的长度，即可求出AB的最大值，进而得到MN的最大值。
【解析】
解：
∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴MN是$△ ABC$的中位线，
∴$MN = \frac{1}{2}AB$，
∴要使MN取得最大值，需AB取得最大值。
∵在$\odot O$中，最长的弦是直径，
∴当AB为$\odot O$的直径时，AB取得最大值，此时$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
又
∵$∠ ABC=45°$，
∴$△ ABC$为等腰直角三角形，$AC=BC=4$，
由勾股定理得：$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$，
∴MN的最大值为$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理；圆周角定理及其推论；勾股定理
【点评】
本题是圆中最值的典型考题，核心解题思路是通过中位线性质将未知线段的最值转化为圆中弦的最值问题，结合圆周角性质和勾股定理即可求解，很好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
2.如图，AB是$\odot O$的一条弦，点C是$\odot O$上异于点A，B的一动点，且$∠ ACB=30°$，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与$\odot O$交于G，H两点。若$\odot O$的半径为6，则$GE+FH$的最大值为
9
。答案
2.9
解析
【分析】
解题时先从已知的圆周角∠ACB=30°入手，结合圆周角定理求出圆心角∠AOB的度数，判定△AOB的形状得到AB的固定长度；再根据E、F是中点，利用三角形中位线定理得到EF的固定长度；接下来将所求的GE+FH转化为GH与EF的差，发现要使GE+FH最大，只需让弦GH最长即可，而圆中最长的弦是直径，代入计算就能得到结果。
【解析】
1. 连接OA、OB：
∵ ∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角
∴ 根据圆周角定理，$∠ AOB=2∠ ACB=2×30°=60°$
又
∵ OA=OB=6（$\odot O$的半径）
∴ $△ AOB$是等边三角形，得$AB=OA=6$
2. 分析EF的长度：
∵ E、F分别是AC、BC的中点
∴ EF是$△ ABC$的中位线，根据三角形中位线定理，$EF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$，为定值
3. 转化所求线段：
由线段和的关系可知，$GH=GE+EF+FH$，因此$GE+FH=GH-EF=GH-3$
4. 求最大值：
圆中最长的弦为直径，$\odot O$的直径为$2×6=12$，即GH的最大值为12
此时$GE+FH$的最大值为$12-3=9$
【答案】
9
【知识点】
圆周角定理，三角形中位线定理，圆中弦的最值
【点评】
本题属于圆的最值类问题，核心解题思路是转化思想：先通过中位线性质将所求线段转化为弦长与定值的差，再利用圆中最长弦为直径的性质求解，能有效考查学生对圆相关性质和三角形中位线知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的圆周角∠ACB=30°入手，结合圆周角定理求出圆心角∠AOB的度数，判定△AOB的形状得到AB的固定长度；再根据E、F是中点，利用三角形中位线定理得到EF的固定长度；接下来将所求的GE+FH转化为GH与EF的差，发现要使GE+FH最大，只需让弦GH最长即可，而圆中最长的弦是直径，代入计算就能得到结果。
【解析】
1. 连接OA、OB：
∵ ∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角
∴ 根据圆周角定理，$∠ AOB=2∠ ACB=2×30°=60°$
又
∵ OA=OB=6（$\odot O$的半径）
∴ $△ AOB$是等边三角形，得$AB=OA=6$
2. 分析EF的长度：
∵ E、F分别是AC、BC的中点
∴ EF是$△ ABC$的中位线，根据三角形中位线定理，$EF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$，为定值
3. 转化所求线段：
由线段和的关系可知，$GH=GE+EF+FH$，因此$GE+FH=GH-EF=GH-3$
4. 求最大值：
圆中最长的弦为直径，$\odot O$的直径为$2×6=12$，即GH的最大值为12
此时$GE+FH$的最大值为$12-3=9$
【答案】
9
【知识点】
圆周角定理，三角形中位线定理，圆中弦的最值
【点评】
本题属于圆的最值类问题，核心解题思路是转化思想：先通过中位线性质将所求线段转化为弦长与定值的差，再利用圆中最长弦为直径的性质求解，能有效考查学生对圆相关性质和三角形中位线知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
3.如图,在$\odot O$中,弦$AB=9$,点C在AB上移动,连接OC,过点C作$CD ⊥ OC$交$\odot O$于点D,则CD的最大值为
$\frac{9}{2}$
.答案
3.$\frac{9}{2}$
解析
【分析】
首先观察图形可得△OCD是直角三角形，结合勾股定理可将CD用半径OD和线段OC表示；因为OD是圆的半径为定值，因此要使CD最大，只需OC最小即可；根据点到直线的距离垂线段最短，可知OC的最小值是圆心O到弦AB的垂线段长度，此时C为AB中点，再结合垂径定理和勾股定理即可求出CD的最大值。
【解析】
连接OD，
∵CD⊥OC，
∴∠OCD=90°，△OCD为直角三角形，
由勾股定理得：$CD^2=OD^2-OC^2$，即$CD=\sqrt{OD^2-OC^2}$。
∵OD是⊙O的半径，为定值，
∴要使CD取最大值，需使OC取最小值。
根据点到直线的距离中垂线段最短，可知当OC⊥AB时，OC取得最小值，此时由垂径定理得C是AB的中点，$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{9}{2}$。
在Rt△OCA中，OA=OD（均为⊙O的半径），由勾股定理得：$AC^2=OA^2-OC^2=OD^2-OC^2$，
因此$CD^2=AC^2$，即$CD=AC=\frac{9}{2}$。
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，最值问题
【点评】
本题属于圆中典型的最值问题，解题核心是利用勾股定理将CD的最值转化为OC的最值，结合垂线段最短的性质和垂径定理求解，侧重考查转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
首先观察图形可得△OCD是直角三角形，结合勾股定理可将CD用半径OD和线段OC表示；因为OD是圆的半径为定值，因此要使CD最大，只需OC最小即可；根据点到直线的距离垂线段最短，可知OC的最小值是圆心O到弦AB的垂线段长度，此时C为AB中点，再结合垂径定理和勾股定理即可求出CD的最大值。
【解析】
连接OD，
∵CD⊥OC，
∴∠OCD=90°，△OCD为直角三角形，
由勾股定理得：$CD^2=OD^2-OC^2$，即$CD=\sqrt{OD^2-OC^2}$。
∵OD是⊙O的半径，为定值，
∴要使CD取最大值，需使OC取最小值。
根据点到直线的距离中垂线段最短，可知当OC⊥AB时，OC取得最小值，此时由垂径定理得C是AB的中点，$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{9}{2}$。
在Rt△OCA中，OA=OD（均为⊙O的半径），由勾股定理得：$AC^2=OA^2-OC^2=OD^2-OC^2$，
因此$CD^2=AC^2$，即$CD=AC=\frac{9}{2}$。
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，最值问题
【点评】
本题属于圆中典型的最值问题，解题核心是利用勾股定理将CD的最值转化为OC的最值，结合垂线段最短的性质和垂径定理求解，侧重考查转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
4.如图,在平面直角坐标系$xOy$中,以原点$O$为圆心的圆过点$A(5,0)$,直线$y=kx-2k+2(k≠0)$与$\odot O$交于$B,C$两点,则弦$BC$长度的最小值为
$2\sqrt{17}$
.答案
4.$2\sqrt{17}$
解析
【分析】
首先确定⊙O的半径为5，再对直线解析式变形，找出直线恒过的定点D(2,2)。根据圆的弦长公式：弦长=2√(半径²-圆心到直线的距离²)，半径固定时，圆心到直线的距离越大，弦长越短。由于直线始终过定点D，圆心到直线的最大距离就是线段OD的长度（当直线与OD垂直时取到），最后代入计算即可得到最短弦长。
【解析】
1. 求⊙O的半径：
∵⊙O以原点O为圆心，且过点A(5,0)，
∴⊙O的半径$r=OA=5$。
2. 确定直线恒过的定点：
将直线解析式$y=kx-2k+2$变形为$y=k(x-2)+2$，
可知无论k取何非零值，当$x=2$时，$y=2$恒成立，即直线恒过定点$D(2,2)$。
3. 计算OD的长度：
由两点间距离公式得$OD=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
4. 分析最短弦长的位置：
根据垂径定理，弦BC的长度可表示为$BC=2\sqrt{r^2-d^2}$，其中d为圆心O到直线BC的距离。
∵直线始终过点D，
∴O到直线的距离$d≤OD$，当且仅当$OD⊥BC$时，d取最大值$2\sqrt{2}$，此时弦BC的长度最小。
5. 计算最小弦长：
将$r=5$，$d_{max}=2\sqrt{2}$代入弦长公式得：
$BC_{min}=2\sqrt{5^2-(2\sqrt{2})^2}=2\sqrt{25-8}=2\sqrt{17}$。
【答案】
$2\sqrt{17}$
【知识点】
直线过定点判定；垂径定理；弦长最值计算
【点评】
本题是圆中最值问题的常考题型，解题核心是从动直线中找到不变的定点，再结合圆的性质推导弦长最小的情况，考查了数形结合思想和对圆相关性质的灵活运用。
【难度系数】
0.6
首先确定⊙O的半径为5，再对直线解析式变形，找出直线恒过的定点D(2,2)。根据圆的弦长公式：弦长=2√(半径²-圆心到直线的距离²)，半径固定时，圆心到直线的距离越大，弦长越短。由于直线始终过定点D，圆心到直线的最大距离就是线段OD的长度（当直线与OD垂直时取到），最后代入计算即可得到最短弦长。
【解析】
1. 求⊙O的半径：
∵⊙O以原点O为圆心，且过点A(5,0)，
∴⊙O的半径$r=OA=5$。
2. 确定直线恒过的定点：
将直线解析式$y=kx-2k+2$变形为$y=k(x-2)+2$，
可知无论k取何非零值，当$x=2$时，$y=2$恒成立，即直线恒过定点$D(2,2)$。
3. 计算OD的长度：
由两点间距离公式得$OD=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
4. 分析最短弦长的位置：
根据垂径定理，弦BC的长度可表示为$BC=2\sqrt{r^2-d^2}$，其中d为圆心O到直线BC的距离。
∵直线始终过点D，
∴O到直线的距离$d≤OD$，当且仅当$OD⊥BC$时，d取最大值$2\sqrt{2}$，此时弦BC的长度最小。
5. 计算最小弦长：
将$r=5$，$d_{max}=2\sqrt{2}$代入弦长公式得：
$BC_{min}=2\sqrt{5^2-(2\sqrt{2})^2}=2\sqrt{25-8}=2\sqrt{17}$。
【答案】
$2\sqrt{17}$
【知识点】
直线过定点判定；垂径定理；弦长最值计算
【点评】
本题是圆中最值问题的常考题型，解题核心是从动直线中找到不变的定点，再结合圆的性质推导弦长最小的情况，考查了数形结合思想和对圆相关性质的灵活运用。
【难度系数】
0.6
5. 如图，MN是半径为0.5的$\odot O$的直径，点A在$\odot O$上，$∠ AMN=30°$，B为$\overset{\frown}{AN}$的中点，P是直径MN上一动点，则$PA+PB$的最小值为（
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.1
D.2
A
）A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.1
D.2
答案
5.A
解析
【分析】
这是圆中最短路径问题，结合“将军饮马”模型解题：①利用轴对称性质，作其中一个点关于直径MN的对称点，将PA+PB转化为两点之间的线段长度（两点之间线段最短，此时值最小）；②结合圆周角定理、弧与圆心角的关系求出对应圆心角的度数；③最后用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
作点A关于直径MN的对称点A'，由圆的对称性可知A'在$\odot O$上，连接A'B交MN于点P，此时$PA+PB=PA'+PB=A'B$，即$PA+PB$的最小值为$A'B$的长度。
连接$OA$、$OA'$、$OB$：
1. 由圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ AMN=30°$，因此$∠ AON=2×30°=60°$。
2. 因为A和A'关于MN对称，所以$∠ A'ON=∠ AON=60°$。
3. 因为B为$\overset{\frown}{AN}$的中点，所以$∠ BON=\frac{1}{2}∠ AON=30°$。
因此$∠ A'OB=∠ A'ON+∠ BON=60°+30°=90°$。
已知$\odot O$半径为0.5，所以$OA'=OB=0.5$，在$Rt△ A'OB$中，由勾股定理得：
$A'B=\sqrt{OA'^2+OB^2}=\sqrt{0.5^2+0.5^2}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
即$PA+PB$的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
轴对称最短路径；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题是圆与最短路径结合的典型题型，解题核心是通过轴对称将两条线段的和转化为可直接计算的定长线段，再结合圆的角度相关性质求解，能很好地考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
这是圆中最短路径问题，结合“将军饮马”模型解题：①利用轴对称性质，作其中一个点关于直径MN的对称点，将PA+PB转化为两点之间的线段长度（两点之间线段最短，此时值最小）；②结合圆周角定理、弧与圆心角的关系求出对应圆心角的度数；③最后用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
作点A关于直径MN的对称点A'，由圆的对称性可知A'在$\odot O$上，连接A'B交MN于点P，此时$PA+PB=PA'+PB=A'B$，即$PA+PB$的最小值为$A'B$的长度。
连接$OA$、$OA'$、$OB$：
1. 由圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ AMN=30°$，因此$∠ AON=2×30°=60°$。
2. 因为A和A'关于MN对称，所以$∠ A'ON=∠ AON=60°$。
3. 因为B为$\overset{\frown}{AN}$的中点，所以$∠ BON=\frac{1}{2}∠ AON=30°$。
因此$∠ A'OB=∠ A'ON+∠ BON=60°+30°=90°$。
已知$\odot O$半径为0.5，所以$OA'=OB=0.5$，在$Rt△ A'OB$中，由勾股定理得：
$A'B=\sqrt{OA'^2+OB^2}=\sqrt{0.5^2+0.5^2}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
即$PA+PB$的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
轴对称最短路径；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题是圆与最短路径结合的典型题型，解题核心是通过轴对称将两条线段的和转化为可直接计算的定长线段，再结合圆的角度相关性质求解，能很好地考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
6.如图,已知$\odot O$的半径为5,AB是$\odot O$的弦,$AB=8$,Q为AB中点,P是圆上的一点(不与点A,B重合),连接PQ,则PQ的最大值为 (
A.6
B.7
C.8
D.9
C
)A.6
B.7
C.8
D.9
答案
6.C
解析
【分析】
要求PQ的最大值，首先明确Q是圆内的定点，圆上一点到圆内定点的最大距离为定点到圆心的距离加上圆的半径，当点P、圆心O、点Q三点共线且O在P、Q之间时取到最大值。因此第一步先利用垂径定理求出OQ的长度：连接OQ、OB，由垂径定理可知OQ垂直AB，且BQ为AB的一半，再在直角三角形OBQ中用勾股定理计算OQ，最后结合半径即可求出PQ的最大值。
【解析】
连接OQ、OB，
∵O为⊙O的圆心，Q是弦AB的中点，AB=8，
∴根据垂径定理可得：OQ⊥AB，$BQ=\frac{1}{2}AB=4$，
在$Rt△ OBQ$中，OB为⊙O的半径，OB=5，
由勾股定理得：$OQ=\sqrt{OB^2 - BQ^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$，
∵P是⊙O上的点，OP=5，
∴当P、O、Q三点共线，且O位于P、Q之间时，PQ取得最大值，最大值为$OP + OQ=5+3=8$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆中最值
【点评】
本题是圆中最值的典型考题，解题关键是掌握“圆上一点到圆内定点的最大距离为定点到圆心的距离加半径”的规律，结合垂径定理和勾股定理即可求解，解题时需注意区分最值对应的三点共线位置。
【难度系数】
0.7
要求PQ的最大值，首先明确Q是圆内的定点，圆上一点到圆内定点的最大距离为定点到圆心的距离加上圆的半径，当点P、圆心O、点Q三点共线且O在P、Q之间时取到最大值。因此第一步先利用垂径定理求出OQ的长度：连接OQ、OB，由垂径定理可知OQ垂直AB，且BQ为AB的一半，再在直角三角形OBQ中用勾股定理计算OQ，最后结合半径即可求出PQ的最大值。
【解析】
连接OQ、OB，
∵O为⊙O的圆心，Q是弦AB的中点，AB=8，
∴根据垂径定理可得：OQ⊥AB，$BQ=\frac{1}{2}AB=4$，
在$Rt△ OBQ$中，OB为⊙O的半径，OB=5，
由勾股定理得：$OQ=\sqrt{OB^2 - BQ^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$，
∵P是⊙O上的点，OP=5，
∴当P、O、Q三点共线，且O位于P、Q之间时，PQ取得最大值，最大值为$OP + OQ=5+3=8$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆中最值
【点评】
本题是圆中最值的典型考题，解题关键是掌握“圆上一点到圆内定点的最大距离为定点到圆心的距离加半径”的规律，结合垂径定理和勾股定理即可求解，解题时需注意区分最值对应的三点共线位置。
【难度系数】
0.7
7.将一块含$45°$角的直角三角板和一块量角器按如图所示位置摆放(三角板顶点A与量角器$0°$刻度处重合)，量角器与三角板交于点D，经测量知$AD=18\ \mathrm{cm}$，点E为AD的中点，点F为$\overset{\frown}{AD}$上一动点，则EF的最小值为（
A.$9\ \mathrm{cm}$
B.$9\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
C.$(9\sqrt{2}-9)\mathrm{cm}$
D.$\dfrac{9\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{cm}$
C
）A.$9\ \mathrm{cm}$
B.$9\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
C.$(9\sqrt{2}-9)\mathrm{cm}$
D.$\dfrac{9\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{cm}$
答案
7.C
解析
【分析】
本题属于圆中动点最值问题，解题思路如下：首先确定动点F的轨迹是量角器对应的以AB为直径的半圆，根据圆的性质，圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去圆的半径。第一步先结合直径所对圆周角为直角、三角板的45°角，判定△ADB为等腰直角三角形，求出半圆的半径；第二步利用三角形中位线定理求出定点E到圆心的距离；最后代入“点到圆心距离减半径”即可得到EF的最小值。
【解析】
设量角器所在半圆的圆心为O，连接OD、OE、OF。
1. 因为AB是量角器的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得$∠ ADB=90°$。
2. 已知三角板为含45°的直角三角板，因此$∠ DAB=45°$，则$△ ADB$为等腰直角三角形。已知$AD=18\ \mathrm{cm}$，故$BD=AD=18\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{18^2+18^2}=18\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，因此半圆的半径$OF=OA=\frac{1}{2}AB=9\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
3. 因为E是AD中点，O是AB中点，所以OE是$△ ABD$的中位线，根据三角形中位线定理，$OE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×18=9\ \mathrm{cm}$。
4. 对弧$AD$上的动点F，根据三角形三边关系，$EF≥ OF-OE$，当且仅当O、E、F三点共线时取等号，因此EF的最小值为$9\sqrt{2}-9\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
圆的最值问题，圆周角定理，三角形中位线定理
【点评】
本题核心是明确动点的轨迹为圆弧，结合圆的性质和三角形相关定理求解，需要熟练掌握直径所对圆周角的特征、中位线定理以及圆外点到圆上点的最短距离的计算逻辑。
【难度系数】
0.6
本题属于圆中动点最值问题，解题思路如下：首先确定动点F的轨迹是量角器对应的以AB为直径的半圆，根据圆的性质，圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去圆的半径。第一步先结合直径所对圆周角为直角、三角板的45°角，判定△ADB为等腰直角三角形，求出半圆的半径；第二步利用三角形中位线定理求出定点E到圆心的距离；最后代入“点到圆心距离减半径”即可得到EF的最小值。
【解析】
设量角器所在半圆的圆心为O，连接OD、OE、OF。
1. 因为AB是量角器的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得$∠ ADB=90°$。
2. 已知三角板为含45°的直角三角板，因此$∠ DAB=45°$，则$△ ADB$为等腰直角三角形。已知$AD=18\ \mathrm{cm}$，故$BD=AD=18\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{18^2+18^2}=18\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，因此半圆的半径$OF=OA=\frac{1}{2}AB=9\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
3. 因为E是AD中点，O是AB中点，所以OE是$△ ABD$的中位线，根据三角形中位线定理，$OE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×18=9\ \mathrm{cm}$。
4. 对弧$AD$上的动点F，根据三角形三边关系，$EF≥ OF-OE$，当且仅当O、E、F三点共线时取等号，因此EF的最小值为$9\sqrt{2}-9\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
圆的最值问题，圆周角定理，三角形中位线定理
【点评】
本题核心是明确动点的轨迹为圆弧，结合圆的性质和三角形相关定理求解，需要熟练掌握直径所对圆周角的特征、中位线定理以及圆外点到圆上点的最短距离的计算逻辑。
【难度系数】
0.6
