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某建筑工地需要用一种边长为 30 cm 的正六边形地砖铺设小区街道的地面,你能画出这种正六边形地砖的平面图形吗？你能计算出它的周长和面积吗？
答案
解：
画法：
1. 任取一点O为圆心，30 cm长为半径作圆；
2. 正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，在圆上顺次画出6个$60°$的圆心角，得到圆周的6个等分点；
3. 顺次连接这6个等分点，即可得到边长为30 cm的正六边形。
周长计算：
正六边形六条边长度相等，因此周长：
$C = 6 × 30 = 180\ \mathrm{cm}$
面积计算：
正六边形的半径等于边长，可被过中心的半径分割为6个全等的、边长为30 cm的等边三角形。
等边三角形的高（即正六边形的边心距）为：
$h = \sqrt{30^2 - (\frac{30}{2})^2} = 15\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
单个等边三角形的面积为$\frac{1}{2} × 30 × 15\sqrt{3} = 225\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
因此正六边形的总面积：
$S = 6 × 225\sqrt{3} = 1350\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
答：该正六边形地砖周长为180 cm，面积为$1350\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
画法：
1. 任取一点O为圆心，30 cm长为半径作圆；
2. 正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，在圆上顺次画出6个$60°$的圆心角，得到圆周的6个等分点；
3. 顺次连接这6个等分点，即可得到边长为30 cm的正六边形。
周长计算：
正六边形六条边长度相等，因此周长：
$C = 6 × 30 = 180\ \mathrm{cm}$
面积计算：
正六边形的半径等于边长，可被过中心的半径分割为6个全等的、边长为30 cm的等边三角形。
等边三角形的高（即正六边形的边心距）为：
$h = \sqrt{30^2 - (\frac{30}{2})^2} = 15\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
单个等边三角形的面积为$\frac{1}{2} × 30 × 15\sqrt{3} = 225\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
因此正六边形的总面积：
$S = 6 × 225\sqrt{3} = 1350\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
答：该正六边形地砖周长为180 cm，面积为$1350\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
解题时首先结合正多边形与圆的关联性质思考：正六边形的外接圆半径等于其边长，中心角为$60°$，因此可以通过等分圆周的方法完成作图。计算周长时，直接利用正六边形六条边长度相等的特点计算即可；计算面积时，可将正六边形拆分为6个全等的等边三角形，先通过勾股定理求出等边三角形的高，算出单个三角形面积后乘6就能得到正六边形的总面积。
【解析】
正六边形画法：
1. 任取一点$O$为圆心，以$30\ \mathrm{cm}$长为半径作圆；
2. 正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，在圆上顺次画出6个$60°$的圆心角，得到圆周上的6个等分点；
3. 顺次连接这6个等分点，即可得到边长为$30\ \mathrm{cm}$的正六边形。
周长计算：
正六边形6条边长度相等，因此周长：
$C=6×30=180\ \mathrm{cm}$
面积计算：
正六边形的外接圆半径等于边长，可被过中心的半径分割为6个全等的、边长为$30\ \mathrm{cm}$的等边三角形。
等边三角形的高（即正六边形的边心距）由勾股定理得：
$h=\sqrt{30^2-(\frac{30}{2})^2}=15\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
单个等边三角形的面积为：
$S_1=\frac{1}{2}×30×15\sqrt{3}=225\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
因此正六边形的总面积：
$S=6×225\sqrt{3}=1350\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
能画出该正六边形地砖的平面图形，画法见上述步骤；地砖周长为$180\ \mathrm{cm}$，面积为$1350\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
正多边形的画法、正六边形的性质、图形割补求面积
【点评】
本题结合生活实际场景考查正六边形的作图与相关计算，解题核心是掌握正六边形边长等于外接圆半径的特点，熟练运用将正多边形拆解为全等三角形求解面积的方法，能有效锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合正多边形与圆的关联性质思考：正六边形的外接圆半径等于其边长，中心角为$60°$，因此可以通过等分圆周的方法完成作图。计算周长时，直接利用正六边形六条边长度相等的特点计算即可；计算面积时，可将正六边形拆分为6个全等的等边三角形，先通过勾股定理求出等边三角形的高，算出单个三角形面积后乘6就能得到正六边形的总面积。
【解析】
正六边形画法：
1. 任取一点$O$为圆心，以$30\ \mathrm{cm}$长为半径作圆；
2. 正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，在圆上顺次画出6个$60°$的圆心角，得到圆周上的6个等分点；
3. 顺次连接这6个等分点，即可得到边长为$30\ \mathrm{cm}$的正六边形。
周长计算：
正六边形6条边长度相等，因此周长：
$C=6×30=180\ \mathrm{cm}$
面积计算：
正六边形的外接圆半径等于边长，可被过中心的半径分割为6个全等的、边长为$30\ \mathrm{cm}$的等边三角形。
等边三角形的高（即正六边形的边心距）由勾股定理得：
$h=\sqrt{30^2-(\frac{30}{2})^2}=15\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
单个等边三角形的面积为：
$S_1=\frac{1}{2}×30×15\sqrt{3}=225\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
因此正六边形的总面积：
$S=6×225\sqrt{3}=1350\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
能画出该正六边形地砖的平面图形，画法见上述步骤；地砖周长为$180\ \mathrm{cm}$，面积为$1350\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
正多边形的画法、正六边形的性质、图形割补求面积
【点评】
本题结合生活实际场景考查正六边形的作图与相关计算，解题核心是掌握正六边形边长等于外接圆半径的特点，熟练运用将正多边形拆解为全等三角形求解面积的方法，能有效锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
知识点1）用量角器等分圆周的方法画多边形
由于同圆中相等的圆心角所对的弧
知识点2）用尺规作图法作正多边形
对于一些特殊的正多边形，可以用圆规和直尺作图。
（1）正四边形、正八边形。
用尺规作两条互相垂直的直径可以四等分圆周，顺次连接各分点作出正四边形。再逐次平分各边所对的弧就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。
（2）正六边形、正三角形、正十二边形。
正六边形的边长等于半径，在半径为R的圆上，从某一点开始，依次以R为半径画弧，就可以把圆六等分，顺次连接各分点就得到半径为R的正六边形，进而可以作出正三角形，正十二边形等。
由于同圆中相等的圆心角所对的弧
相等
，因此作相等的圆心角（即等分顶点在圆心的周角）就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形。知识点2）用尺规作图法作正多边形
对于一些特殊的正多边形，可以用圆规和直尺作图。
（1）正四边形、正八边形。
用尺规作两条互相垂直的直径可以四等分圆周，顺次连接各分点作出正四边形。再逐次平分各边所对的弧就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。
（2）正六边形、正三角形、正十二边形。
正六边形的边长等于半径，在半径为R的圆上，从某一点开始，依次以R为半径画弧，就可以把圆六等分，顺次连接各分点就得到半径为R的正六边形，进而可以作出正三角形，正十二边形等。
答案
相等
解析
【分析】
本题考查正多边形画法的核心原理，解题时需回忆同圆中圆心角与弧的对应关系：要通过等分圆心角的方式等分圆周，依据的是同圆内圆心角和其所对弧的对应性质，只要明确相等的圆心角对应的弧的特征即可得出答案。
【解析】
根据圆的基本性质：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。我们绘制正多边形时，就是利用这一性质，将顶点在圆心的周角等分为n份，每份圆心角对应相等的弧，即可将圆周n等分，顺次连接各分点就能得到正n边形，因此空缺处应填“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
弧与圆心角的关系；正多边形与圆
【点评】
本题为基础概念题，侧重考察对圆的基本性质的识记和正多边形画法原理的理解，难度较低，掌握相关基础定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查正多边形画法的核心原理，解题时需回忆同圆中圆心角与弧的对应关系：要通过等分圆心角的方式等分圆周，依据的是同圆内圆心角和其所对弧的对应性质，只要明确相等的圆心角对应的弧的特征即可得出答案。
【解析】
根据圆的基本性质：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。我们绘制正多边形时，就是利用这一性质，将顶点在圆心的周角等分为n份，每份圆心角对应相等的弧，即可将圆周n等分，顺次连接各分点就能得到正n边形，因此空缺处应填“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
弧与圆心角的关系；正多边形与圆
【点评】
本题为基础概念题，侧重考察对圆的基本性质的识记和正多边形画法原理的理解，难度较低，掌握相关基础定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
例 尺规作图:作等边三角形ABC,使其是$\odot O$的内接三角形.
作法:在$\odot O$中作直径AD,作半径OD的垂
直平分线交$\odot O$于点B和点C,连接AC,AB即可.
如图所示,$△ ABC$即为所求.
作法:在$\odot O$中作直径AD,作半径OD的垂
直平分线交$\odot O$于点B和点C,连接AC,AB即可.
如图所示,$△ ABC$即为所求.
答案
解：
作法
1. 作$\odot O$的直径$AD$；
2. 作半径$OD$的垂直平分线，交$\odot O$于点$B$、$C$；
3. 连接$AB$、$AC$、$BC$，$△ ABC$即为所求。
---
证明
连接$OB$，设$BC$与$OD$交于点$E$。
$\because$ 直线$BC$是$OD$的垂直平分线，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OD$，$BC⊥ OD$。
$\because OB=OD$，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OB$。
在$\mathrm{Rt}△ OBE$中，$∠ OEB=90°$，$OE=\frac{1}{2}OB$，
$\therefore ∠ BOE=60°$。
同理可得$∠ COE=60°$，
$\therefore ∠ BOC=120°$。
又$\because ∠ AOB=180°-∠ BOE=120°$，$∠ AOC=180°-∠ COE=120°$，
$\therefore ∠ AOB=∠ BOC=∠ AOC=120°$，
$\therefore AB=BC=AC$，
$\therefore △ ABC$是等边三角形，且内接于$\odot O$。
作法
1. 作$\odot O$的直径$AD$；
2. 作半径$OD$的垂直平分线，交$\odot O$于点$B$、$C$；
3. 连接$AB$、$AC$、$BC$，$△ ABC$即为所求。
---
证明
连接$OB$，设$BC$与$OD$交于点$E$。
$\because$ 直线$BC$是$OD$的垂直平分线，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OD$，$BC⊥ OD$。
$\because OB=OD$，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OB$。
在$\mathrm{Rt}△ OBE$中，$∠ OEB=90°$，$OE=\frac{1}{2}OB$，
$\therefore ∠ BOE=60°$。
同理可得$∠ COE=60°$，
$\therefore ∠ BOC=120°$。
又$\because ∠ AOB=180°-∠ BOE=120°$，$∠ AOC=180°-∠ COE=120°$，
$\therefore ∠ AOB=∠ BOC=∠ AOC=120°$，
$\therefore AB=BC=AC$，
$\therefore △ ABC$是等边三角形，且内接于$\odot O$。
解析
【分析】
要作$\odot O$的内接等边三角形，首先需满足三个顶点都在$\odot O$上，且三边长度相等。根据圆的性质，同圆中相等的圆心角所对的弦相等，因此只需构造三个均为$120°$的相等圆心角，即可得到三条等长的弦，也就是等边三角形的三边。具体思考路径：先作直径得到$180°$的平角，再通过作半径$OD$的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得到直角三角形中直角边等于斜边的一半，推出$60°$的圆心角，进而得到相邻顶点间的圆心角均为$120°$，确定三个顶点位置后即可得到所求的等边三角形。
【解析】
作法
1. 作$\odot O$的直径$AD$；
2. 作半径$OD$的垂直平分线，交$\odot O$于点$B$、$C$；
3. 连接$AB$、$AC$、$BC$，$△ ABC$即为所求。
证明
连接$OB$，设$BC$与$OD$交于点$E$。
$\because$ 直线$BC$是$OD$的垂直平分线，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OD$，$BC⊥ OD$。
$\because OB=OD$（同圆的半径相等），
$\therefore OE=\frac{1}{2}OB$。
在$\mathrm{Rt}△ OBE$中，$∠ OEB=90°$，$OE=\frac{1}{2}OB$，
$\therefore ∠ BOE=60°$。
同理可得$∠ COE=60°$，
$\therefore ∠ BOC=120°$。
又$\because ∠ AOB=180°-∠ BOE=120°$，$∠ AOC=180°-∠ COE=120°$，
$\therefore ∠ AOB=∠ BOC=∠ AOC=120°$，
$\therefore AB=BC=AC$（同圆中相等的圆心角所对的弦相等），
$\therefore △ ABC$是等边三角形，且内接于$\odot O$。
【答案】
解：
作法
1. 作$\odot O$的直径$AD$；
2. 作半径$OD$的垂直平分线，交$\odot O$于点$B$、$C$；
3. 连接$AB$、$AC$、$BC$，$△ ABC$即为所求。
---
证明
连接$OB$，设$BC$与$OD$交于点$E$。
$\because$ 直线$BC$是$OD$的垂直平分线，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OD$，$BC⊥ OD$。
$\because OB=OD$，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OB$。
在$\mathrm{Rt}△ OBE$中，$∠ OEB=90°$，$OE=\frac{1}{2}OB$，
$\therefore ∠ BOE=60°$。
同理可得$∠ COE=60°$，
$\therefore ∠ BOC=120°$。
又$\because ∠ AOB=180°-∠ BOE=120°$，$∠ AOC=180°-∠ COE=120°$，
$\therefore ∠ AOB=∠ BOC=∠ AOC=120°$，
$\therefore AB=BC=AC$，
$\therefore △ ABC$是等边三角形，且内接于$\odot O$。
【知识点】
1. 垂直平分线尺规作图
2. 圆心角与弦的关系
3. 等边三角形判定
【点评】
本题将尺规作图与几何证明相结合，既考查了垂直平分线等基本作图技能，又融合了直角三角形边角性质、圆的基本性质、等边三角形判定等核心知识，要求学生不仅会操作，还要理解作图背后的原理，能有效提升逻辑推理能力和知识综合应用能力。
【难度系数】
0.6
要作$\odot O$的内接等边三角形，首先需满足三个顶点都在$\odot O$上，且三边长度相等。根据圆的性质，同圆中相等的圆心角所对的弦相等，因此只需构造三个均为$120°$的相等圆心角，即可得到三条等长的弦，也就是等边三角形的三边。具体思考路径：先作直径得到$180°$的平角，再通过作半径$OD$的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得到直角三角形中直角边等于斜边的一半，推出$60°$的圆心角，进而得到相邻顶点间的圆心角均为$120°$，确定三个顶点位置后即可得到所求的等边三角形。
【解析】
作法
1. 作$\odot O$的直径$AD$；
2. 作半径$OD$的垂直平分线，交$\odot O$于点$B$、$C$；
3. 连接$AB$、$AC$、$BC$，$△ ABC$即为所求。
证明
连接$OB$，设$BC$与$OD$交于点$E$。
$\because$ 直线$BC$是$OD$的垂直平分线，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OD$，$BC⊥ OD$。
$\because OB=OD$（同圆的半径相等），
$\therefore OE=\frac{1}{2}OB$。
在$\mathrm{Rt}△ OBE$中，$∠ OEB=90°$，$OE=\frac{1}{2}OB$，
$\therefore ∠ BOE=60°$。
同理可得$∠ COE=60°$，
$\therefore ∠ BOC=120°$。
又$\because ∠ AOB=180°-∠ BOE=120°$，$∠ AOC=180°-∠ COE=120°$，
$\therefore ∠ AOB=∠ BOC=∠ AOC=120°$，
$\therefore AB=BC=AC$（同圆中相等的圆心角所对的弦相等），
$\therefore △ ABC$是等边三角形，且内接于$\odot O$。
【答案】
解：
作法
1. 作$\odot O$的直径$AD$；
2. 作半径$OD$的垂直平分线，交$\odot O$于点$B$、$C$；
3. 连接$AB$、$AC$、$BC$，$△ ABC$即为所求。
---
证明
连接$OB$，设$BC$与$OD$交于点$E$。
$\because$ 直线$BC$是$OD$的垂直平分线，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OD$，$BC⊥ OD$。
$\because OB=OD$，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OB$。
在$\mathrm{Rt}△ OBE$中，$∠ OEB=90°$，$OE=\frac{1}{2}OB$，
$\therefore ∠ BOE=60°$。
同理可得$∠ COE=60°$，
$\therefore ∠ BOC=120°$。
又$\because ∠ AOB=180°-∠ BOE=120°$，$∠ AOC=180°-∠ COE=120°$，
$\therefore ∠ AOB=∠ BOC=∠ AOC=120°$，
$\therefore AB=BC=AC$，
$\therefore △ ABC$是等边三角形，且内接于$\odot O$。
【知识点】
1. 垂直平分线尺规作图
2. 圆心角与弦的关系
3. 等边三角形判定
【点评】
本题将尺规作图与几何证明相结合，既考查了垂直平分线等基本作图技能，又融合了直角三角形边角性质、圆的基本性质、等边三角形判定等核心知识，要求学生不仅会操作，还要理解作图背后的原理，能有效提升逻辑推理能力和知识综合应用能力。
【难度系数】
0.6
