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5. 如图,在同一平面内,将边长相等的正六边形、正方形的一边重合,则∠1的度数为
30°
.答案
5. $30°$
解析
【分析】
要求∠1的度数，首先需要分别求出正六边形和正方形的内角度数，二者有一边重合，因此∠1的度数等于正六边形的内角度数减去正方形的内角度数。解题时先利用正多边形内角和公式计算正六边形的每个内角，再结合正方形内角为90°，作差即可得到结果。
【解析】
根据正多边形内角和公式：$n$边形内角和为$(n-2)×180°$，
正六边形的每个内角度数为：$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，
正方形的每个内角度数为$90°$，
由于正六边形与正方形一边重合，因此$∠1=120° - 90°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
正多边形内角计算、角的和差运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查正多边形内角的计算方法，只要熟练掌握正多边形内角和公式，就能快速得出答案，计算时注意不要记错内角和公式即可。
【难度系数】
0.8
要求∠1的度数，首先需要分别求出正六边形和正方形的内角度数，二者有一边重合，因此∠1的度数等于正六边形的内角度数减去正方形的内角度数。解题时先利用正多边形内角和公式计算正六边形的每个内角，再结合正方形内角为90°，作差即可得到结果。
【解析】
根据正多边形内角和公式：$n$边形内角和为$(n-2)×180°$，
正六边形的每个内角度数为：$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，
正方形的每个内角度数为$90°$，
由于正六边形与正方形一边重合，因此$∠1=120° - 90°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
正多边形内角计算、角的和差运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查正多边形内角的计算方法，只要熟练掌握正多边形内角和公式，就能快速得出答案，计算时注意不要记错内角和公式即可。
【难度系数】
0.8
6. 如图,以正六边形ABCDEF的顶点C为旋转中心顺时针旋转,使得新正六边形A'B'CD'E'F'的顶点E'落在直线BC上,则正六边形ABCDEF至少旋转的度数为 (
A.$60°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$30°$
B
)A.$60°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$30°$
答案
6. B
解析
【分析】
解决本题首先要明确正六边形的内角特征，再结合旋转的性质确定最小旋转角。第一步先利用正多边形内角公式计算正六边形的内角度数，第二步根据等腰三角形性质求出CE与CD的夹角，最后得到边CE与BC的夹角，就是需要顺时针旋转的最小角度。
【解析】
1. 计算正六边形的内角度数：根据正$n$边形内角公式$\frac{(n-2)×180°}{n}$，代入$n=6$得正六边形每个内角为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，因此$∠ BCD=∠ CDE=120°$。
2. 求$∠ DCE$的度数：正六边形边长相等，故$CD=DE$，$△ CDE$是等腰三角形，根据三角形内角和可得$∠ DCE=\frac{180°-∠ CDE}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
3. 确定旋转角：旋转中心为点C，顺时针旋转后点E的对应点$E'$落在直线BC上，因此最小旋转角为$∠ BCE=∠ BCD-∠ DCE=120°-30°=90°$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形的性质；旋转的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是正多边形与旋转结合的基础题，核心是理解旋转角的定义，结合正多边形内角、等腰三角形的角度计算即可求解，解题时注意结合图形判断角的和差关系。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确正六边形的内角特征，再结合旋转的性质确定最小旋转角。第一步先利用正多边形内角公式计算正六边形的内角度数，第二步根据等腰三角形性质求出CE与CD的夹角，最后得到边CE与BC的夹角，就是需要顺时针旋转的最小角度。
【解析】
1. 计算正六边形的内角度数：根据正$n$边形内角公式$\frac{(n-2)×180°}{n}$，代入$n=6$得正六边形每个内角为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，因此$∠ BCD=∠ CDE=120°$。
2. 求$∠ DCE$的度数：正六边形边长相等，故$CD=DE$，$△ CDE$是等腰三角形，根据三角形内角和可得$∠ DCE=\frac{180°-∠ CDE}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
3. 确定旋转角：旋转中心为点C，顺时针旋转后点E的对应点$E'$落在直线BC上，因此最小旋转角为$∠ BCE=∠ BCD-∠ DCE=120°-30°=90°$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形的性质；旋转的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是正多边形与旋转结合的基础题，核心是理解旋转角的定义，结合正多边形内角、等腰三角形的角度计算即可求解，解题时注意结合图形判断角的和差关系。
【难度系数】
0.7
7. 如图,正五边形ABCDE内接于$\odot O$,过点A作$\odot O$的切线交对角线DB的延长线于点F,则下列结论不成立的是（
A.$AE// BD$
B.$AB=BF$
C.$AF// CD$
D.$DF=\sqrt{3}AF$
D
）A.$AE// BD$
B.$AB=BF$
C.$AF// CD$
D.$DF=\sqrt{3}AF$
答案
7. D
解析
【分析】
要判断各选项是否成立，先利用正五边形性质求出各内角度数、每段弧对应的圆周角度数，再结合切线性质、平行线判定、等腰三角形判定逐一验证：
1. 先计算正五边形基础属性：正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，每个内角为$108°$，每边对应的弧度数为$72°$，对应圆周角为$36°$。
2. 逐个验证选项：A选项利用同旁内角互补证平行；B选项利用弦切角定理和等腰三角形等角对等边判断；C选项利用同位角相等证平行；D选项通过边长计算验证是否成立。
【解析】
步骤1：计算正五边形基础角度
正五边形ABCDE每个内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，每条边对应的圆周角为$\frac{360°}{5}÷2=36°$。
步骤2：验证选项A
在$△ BCD$中，$BC=CD$，$∠ BCD=108°$，
∴$∠ CDB=∠ CBD=\frac{180°-108°}{2}=36°$，
∴$∠ EDB=∠ CDE-∠ CDB=108°-36°=72°$，
∵$∠ AED+∠ EDB=108°+72°=180°$，同旁内角互补，
∴$AE// BD$，A成立。
步骤3：验证选项B
∵AF是$\odot O$的切线，由弦切角定理得$∠ FAB=∠ ADB=36°$，
$∠ ABD=∠ ABC-∠ CBD=108°-36°=72°$，
∴$∠ ABF=180°-72°=108°$，
在$△ AFB$中，$∠ F=180°-∠ FAB-∠ ABF=180°-36°-108°=36°$，
∴$∠ F=∠ FAB$，
∴$AB=BF$，B成立。
步骤4：验证选项C
∵$∠ F=36°$，$∠ CDB=36°$，
∴$∠ F=∠ CDB$，同位角相等，
∴$AF// CD$，C成立。
步骤5：验证选项D
设$AB=a$，则$BF=a$，正五边形对角线$BD=\frac{\sqrt{5}+1}{2}a$，
∴$DF=BF+BD=a+\frac{\sqrt{5}+1}{2}a=\frac{\sqrt{5}+3}{2}a\approx2.618a$，
在$△ AFB$中由正弦定理得$AF\approx1.618a$，$\sqrt{3}AF\approx2.802a≠ DF$，故D不成立。
【答案】
D
【知识点】
正多边形的性质，切线的性质，平行线的判定
【点评】
本题综合考查正多边形性质、圆的切线性质、平行线与等腰三角形的判定，解题时需逐一推导各选项，熟练掌握基础几何性质即可快速判断。
【难度系数】
0.6
要判断各选项是否成立，先利用正五边形性质求出各内角度数、每段弧对应的圆周角度数，再结合切线性质、平行线判定、等腰三角形判定逐一验证：
1. 先计算正五边形基础属性：正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，每个内角为$108°$，每边对应的弧度数为$72°$，对应圆周角为$36°$。
2. 逐个验证选项：A选项利用同旁内角互补证平行；B选项利用弦切角定理和等腰三角形等角对等边判断；C选项利用同位角相等证平行；D选项通过边长计算验证是否成立。
【解析】
步骤1：计算正五边形基础角度
正五边形ABCDE每个内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，每条边对应的圆周角为$\frac{360°}{5}÷2=36°$。
步骤2：验证选项A
在$△ BCD$中，$BC=CD$，$∠ BCD=108°$，
∴$∠ CDB=∠ CBD=\frac{180°-108°}{2}=36°$，
∴$∠ EDB=∠ CDE-∠ CDB=108°-36°=72°$，
∵$∠ AED+∠ EDB=108°+72°=180°$，同旁内角互补，
∴$AE// BD$，A成立。
步骤3：验证选项B
∵AF是$\odot O$的切线，由弦切角定理得$∠ FAB=∠ ADB=36°$，
$∠ ABD=∠ ABC-∠ CBD=108°-36°=72°$，
∴$∠ ABF=180°-72°=108°$，
在$△ AFB$中，$∠ F=180°-∠ FAB-∠ ABF=180°-36°-108°=36°$，
∴$∠ F=∠ FAB$，
∴$AB=BF$，B成立。
步骤4：验证选项C
∵$∠ F=36°$，$∠ CDB=36°$，
∴$∠ F=∠ CDB$，同位角相等，
∴$AF// CD$，C成立。
步骤5：验证选项D
设$AB=a$，则$BF=a$，正五边形对角线$BD=\frac{\sqrt{5}+1}{2}a$，
∴$DF=BF+BD=a+\frac{\sqrt{5}+1}{2}a=\frac{\sqrt{5}+3}{2}a\approx2.618a$，
在$△ AFB$中由正弦定理得$AF\approx1.618a$，$\sqrt{3}AF\approx2.802a≠ DF$，故D不成立。
【答案】
D
【知识点】
正多边形的性质，切线的性质，平行线的判定
【点评】
本题综合考查正多边形性质、圆的切线性质、平行线与等腰三角形的判定，解题时需逐一推导各选项，熟练掌握基础几何性质即可快速判断。
【难度系数】
0.6
8. 如图,用若干个全等的正五边形排成圆环状,图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列,共需要正五边形的个数是
10
. 答案
8. 10
解析
【分析】
要计算完成圆环排列需要的正五边形个数，首先需求出每个正五边形对应的圆心角度数，再用周角360°除以该圆心角即可得到总个数。解题思路如下：①先利用正多边形内角公式计算正五边形的内角度数；②结合平角定义求出图中等腰三角形的底角度数；③利用三角形内角和求出圆心角的度数；④用周角除以单个圆心角得到正五边形总个数。
【解析】
解：1. 计算正五边形的内角度数：
正n边形内角和公式为$(n-2)×180°$，则正五边形每个内角的度数为：
$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
2. 计算等腰三角形的底角度数：
由平角为$180°$，可得图中等腰三角形的底角为：
$180°-108°=72°$
3. 计算单个圆心角的度数：
根据三角形内角和为$180°$，可得两个正五边形对应的圆心角为：
$180°-72°×2=36°$
4. 计算正五边形总个数：
圆环一周为周角$360°$，则总个数为：
$360°÷36°=10$
【答案】
10
【知识点】
正多边形内角计算；三角形内角和；周角的性质
【点评】
本题是正多边形与圆结合的典型题型，解题关键是通过正五边形内角推导出对应的圆心角度数，能够锻炼学生对多边形相关性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
要计算完成圆环排列需要的正五边形个数，首先需求出每个正五边形对应的圆心角度数，再用周角360°除以该圆心角即可得到总个数。解题思路如下：①先利用正多边形内角公式计算正五边形的内角度数；②结合平角定义求出图中等腰三角形的底角度数；③利用三角形内角和求出圆心角的度数；④用周角除以单个圆心角得到正五边形总个数。
【解析】
解：1. 计算正五边形的内角度数：
正n边形内角和公式为$(n-2)×180°$，则正五边形每个内角的度数为：
$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
2. 计算等腰三角形的底角度数：
由平角为$180°$，可得图中等腰三角形的底角为：
$180°-108°=72°$
3. 计算单个圆心角的度数：
根据三角形内角和为$180°$，可得两个正五边形对应的圆心角为：
$180°-72°×2=36°$
4. 计算正五边形总个数：
圆环一周为周角$360°$，则总个数为：
$360°÷36°=10$
【答案】
10
【知识点】
正多边形内角计算；三角形内角和；周角的性质
【点评】
本题是正多边形与圆结合的典型题型，解题关键是通过正五边形内角推导出对应的圆心角度数，能够锻炼学生对多边形相关性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
9. 如图，M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P.
(1)求证：△ABM≌△BCN；
(2)求∠APN的度数.
(1)求证：△ABM≌△BCN；
(2)求∠APN的度数.
答案
9. (1)略
(2)$\because △ ABM ≌ △ BCN,$
$\therefore ∠ MBP= ∠ BAP.$
$\because ∠ MBP+ ∠ BMP+ ∠ BPM=180°,$
$∠ BAP+ ∠ BMA+ ∠ MBA=180°,$
$\therefore ∠ BPM= ∠ MBA.$
$\because ∠ BPM= ∠ APN,$
$\therefore ∠ APN= ∠ MBA=\frac{(5-2)×180°}{5}=108°.$
(2)$\because △ ABM ≌ △ BCN,$
$\therefore ∠ MBP= ∠ BAP.$
$\because ∠ MBP+ ∠ BMP+ ∠ BPM=180°,$
$∠ BAP+ ∠ BMA+ ∠ MBA=180°,$
$\therefore ∠ BPM= ∠ MBA.$
$\because ∠ BPM= ∠ APN,$
$\therefore ∠ APN= ∠ MBA=\frac{(5-2)×180°}{5}=108°.$
解析
【分析】
（1）要证明△ABM≌△BCN，首先结合正五边形的性质可得：正五边形各边相等、各内角相等，因此能得到AB=BC，∠ABM=∠C，再结合题目给出的BM=CN，刚好满足SAS的全等判定条件，即可完成证明。
（2）要求∠APN的度数，可先利用全等三角形的性质得到对应角相等，再通过三角形内角和、对顶角的性质进行角度等量代换，可推出∠APN等于正五边形的内角度数，最后利用多边形内角和公式计算正五边形的内角即可得到结果。
【解析】
（1）证明：
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC，∠ABM=∠C，
在△ABM和△BCN中：
$\{\begin{array}{l}AB=BC\\ ∠ ABM=∠ C\\ BM=CN\end{array} $
∴△ABM≌△BCN（SAS）。
（2）解：
∵△ABM≌△BCN，
∴∠MBP=∠BAP，
∵∠MBP+∠BMP+∠BPM=180°，∠BAP+∠BMA+∠MBA=180°，且∠BMP=∠BMA是公共角，
∴∠BPM=∠MBA，
又
∵∠BPM=∠APN（对顶角相等），
∴∠APN=∠MBA，
∵正五边形的每个内角度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，
∴∠APN=108°。
【答案】
（1）证明见上述过程；
（2）$\boxed{108°}$
【知识点】
正多边形的性质，全等三角形的判定与性质，多边形内角和公式
【点评】
本题属于正多边形与三角形全等的综合基础题，解题关键是利用正多边形的性质得到全等所需的边、角条件，再通过角度等量代换将待求角转化为正多边形的内角，侧重对基础性质和等量代换能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△ABM≌△BCN，首先结合正五边形的性质可得：正五边形各边相等、各内角相等，因此能得到AB=BC，∠ABM=∠C，再结合题目给出的BM=CN，刚好满足SAS的全等判定条件，即可完成证明。
（2）要求∠APN的度数，可先利用全等三角形的性质得到对应角相等，再通过三角形内角和、对顶角的性质进行角度等量代换，可推出∠APN等于正五边形的内角度数，最后利用多边形内角和公式计算正五边形的内角即可得到结果。
【解析】
（1）证明：
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC，∠ABM=∠C，
在△ABM和△BCN中：
$\{\begin{array}{l}AB=BC\\ ∠ ABM=∠ C\\ BM=CN\end{array} $
∴△ABM≌△BCN（SAS）。
（2）解：
∵△ABM≌△BCN，
∴∠MBP=∠BAP，
∵∠MBP+∠BMP+∠BPM=180°，∠BAP+∠BMA+∠MBA=180°，且∠BMP=∠BMA是公共角，
∴∠BPM=∠MBA，
又
∵∠BPM=∠APN（对顶角相等），
∴∠APN=∠MBA，
∵正五边形的每个内角度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，
∴∠APN=108°。
【答案】
（1）证明见上述过程；
（2）$\boxed{108°}$
【知识点】
正多边形的性质，全等三角形的判定与性质，多边形内角和公式
【点评】
本题属于正多边形与三角形全等的综合基础题，解题关键是利用正多边形的性质得到全等所需的边、角条件，再通过角度等量代换将待求角转化为正多边形的内角，侧重对基础性质和等量代换能力的考查。
【难度系数】
0.7
10. 如图,已知等边三角形$ABC$内接于$\odot O$,$BD$为圆内接正十二边形的一边,$CD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$,求$\odot O$的半径.
答案
10. $\odot O$的半径为5 cm.
提示:连接OB,OC,OD. 由BC为等边三角形ABC的一边知,$∠ BOC = 120°$. 由BD为圆内接正十二边形的一边知, $∠ BOD = 30°$, 故$∠ COD=90°$. 又因为 $CD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$,于是根据勾股定理即可求解.
提示:连接OB,OC,OD. 由BC为等边三角形ABC的一边知,$∠ BOC = 120°$. 由BD为圆内接正十二边形的一边知, $∠ BOD = 30°$, 故$∠ COD=90°$. 又因为 $CD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$,于是根据勾股定理即可求解.
解析
【分析】
遇到正多边形内接于圆的问题，通常通过连接圆心与正多边形顶点（作半径），利用正多边形的中心角性质求解。本题已知等边三角形、正十二边形内接于同一个圆，首先连接OB、OC、OD，分别求出∠BOC、∠BOD的度数，进而得到∠COD的度数，判断△COD的形状，再结合已知CD的长度用勾股定理即可求出半径。
【解析】
解：连接OB、OC、OD，设$\odot O$的半径为$r$。
1. 计算$∠ BOC$的度数：
∵等边$△ ABC$内接于$\odot O$，正$n$边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，
∴$∠ BOC=\frac{360°}{3}=120°$。
2. 计算$∠ BOD$的度数：
∵BD为圆内接正十二边形的一边，
∴$∠ BOD=\frac{360°}{12}=30°$。
3. 推导$∠ COD$的度数，判断三角形形状：
$∠ COD=∠ BOC-∠ BOD=120°-30°=90°$，
∵OC、OD均为$\odot O$的半径，
∴$OC=OD=r$，即$△ COD$为等腰直角三角形。
4. 利用勾股定理求半径：
根据勾股定理可得$OC^2+OD^2=CD^2$，代入$CD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$得：
$r^2+r^2=(5\sqrt{2})^2$
$2r^2=50$
$r^2=25$
解得$r=5$（半径为正数，舍去负根）。
【答案】
$\odot O$的半径为$\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
正多边形与圆，圆心角计算，勾股定理
【点评】
本题是正多边形与圆结合的典型计算题，解题的关键是正确连接辅助线，准确计算不同正多边形对应的中心角，判断出等腰直角三角形后结合勾股定理计算即可，解题思路清晰，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
遇到正多边形内接于圆的问题，通常通过连接圆心与正多边形顶点（作半径），利用正多边形的中心角性质求解。本题已知等边三角形、正十二边形内接于同一个圆，首先连接OB、OC、OD，分别求出∠BOC、∠BOD的度数，进而得到∠COD的度数，判断△COD的形状，再结合已知CD的长度用勾股定理即可求出半径。
【解析】
解：连接OB、OC、OD，设$\odot O$的半径为$r$。
1. 计算$∠ BOC$的度数：
∵等边$△ ABC$内接于$\odot O$，正$n$边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，
∴$∠ BOC=\frac{360°}{3}=120°$。
2. 计算$∠ BOD$的度数：
∵BD为圆内接正十二边形的一边，
∴$∠ BOD=\frac{360°}{12}=30°$。
3. 推导$∠ COD$的度数，判断三角形形状：
$∠ COD=∠ BOC-∠ BOD=120°-30°=90°$，
∵OC、OD均为$\odot O$的半径，
∴$OC=OD=r$，即$△ COD$为等腰直角三角形。
4. 利用勾股定理求半径：
根据勾股定理可得$OC^2+OD^2=CD^2$，代入$CD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$得：
$r^2+r^2=(5\sqrt{2})^2$
$2r^2=50$
$r^2=25$
解得$r=5$（半径为正数，舍去负根）。
【答案】
$\odot O$的半径为$\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
正多边形与圆，圆心角计算，勾股定理
【点评】
本题是正多边形与圆结合的典型计算题，解题的关键是正确连接辅助线，准确计算不同正多边形对应的中心角，判断出等腰直角三角形后结合勾股定理计算即可，解题思路清晰，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
