(1)发现:比较$4m$与$m^2+4$的大小(填“＞”“＜”或“=”):
①当$m=3$时,$4m$ $m^2+4$;
②当$m=2$时,$4m$ $m^2+4$;
③当$m=-3$时,$4m$ $m^2+4$.
(2)论证:无论$m$取何值,判断$4m$与$m^2+4$的大小关系,并说明理由.
(3)拓展:试通过计算比较$x^2+2$与$2x^2+4x+6$的大小.

(1)①＜ ②= ③＜
(2)无论 m 取何值,总有 4m≤m²+4.
理由如下:
∵ (m²+4)-4m=(m-2)²≥0,
∴ 4m≤m²+4,
即无论 m 取何值,总有 4m≤m²+4.
(3)
∵ 2x²+4x+6-(x²+2)
=x²+4x+4
=(x+2)²≥0,
∴ 2x²+4x+6≥x²+2.

【分析】
本题考查代数式大小比较，解题思路清晰：1. 第(1)问为具体数值代入类问题，直接将给定的m值分别代入两个代数式计算结果，再比较大小即可；2. 第(2)问比较两个代数式的通用大小关系，采用作差法：将两个式子相减后配方变形为完全平方式，利用完全平方的非负性判断差的符号，即可推导得出大小关系；3. 第(3)问沿用第(2)问的作差法思路，对差进行配方，同样借助完全平方的非负性判断大小即可。
【解析】
(1) ①当$m=3$时，$4m=4×3=12$，$m^2+4=3^2+4=13$，$12＜13$，故$4m ＜ m^2+4$；
②当$m=2$时，$4m=4×2=8$，$m^2+4=2^2+4=8$，$8=8$，故$4m = m^2+4$；
③当$m=-3$时，$4m=4×(-3)=-12$，$m^2+4=(-3)^2+4=13$，$-12＜13$，故$4m ＜ m^2+4$。
(2) 无论$m$取何值，总有$4m≤ m^2+4$，理由如下：
将两个代数式作差得：$(m^2+4)-4m=m^2-4m+4=(m-2)^2$，
∵任意实数的平方均为非负数，即$(m-2)^2≥0$，
∴$(m^2+4)-4m≥0$，即$4m≤ m^2+4$。
(3) 对两个代数式作差：
$2x^2+4x+6-(x^2+2)=2x^2+4x+6-x^2-2=x^2+4x+4=(x+2)^2$，
∵$(x+2)^2≥0$，
∴$2x^2+4x+6-(x^2+2)≥0$，即$2x^2+4x+6≥ x^2+2$。
【答案】
(1)①＜ ②= ③＜
(2)无论$m$取何值，总有$4m≤ m^2+4$，理由见解析。
(3)$2x^2+4x+6≥ x^2+2$
【知识点】
作差法比较大小，完全平方的非负性，配方法
【点评】
本题侧重基础方法的考查，作差法是比较代数式大小的常用手段，结合配方法将差转化为完全平方式，利用平方的非负性判断符号即可解题，掌握该方法可以快速解决同类大小比较问题。
【难度系数】
0.8

1. 填空：
(1) $x^2 + 2x + 1 = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(2) $x^2 - 8x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$；
(3) $x^2 + 7x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(4) $x^2 - \frac{2}{5}x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$。

1.(1)1
(2)16 4
(3)$\frac{49}{4}$ $\frac{7}{2}$
(4)$\frac{1}{25}$ $\frac{1}{5}$

【分析】
本题考查完全平方公式在配方法中的应用，解题核心是牢记完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$。对于形如$x^2+px$的二次二项式，要配成完全平方式，只需补充一次项系数$p$一半的平方，即可写成$(x+\frac{p}{2})^2$的形式。解题时先定位每个式子的一次项系数，计算其一半的数值，再平方得到需要补充的常数项即可。
【解析】
根据完全平方公式的结构特征逐一求解：
(1) 一次项系数为2，它的一半为$2÷2=1$，因此补充的常数项为$1^2=1$，即$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$，横线填1；
(2) 一次项系数为-8，它的一半为$-8÷2=-4$，因此补充的常数项为$(-4)^2=16$，即$x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$，两个横线依次填16、4；
(3) 一次项系数为7，它的一半为$7÷2=\frac{7}{2}$，因此补充的常数项为$(\frac{7}{2})^2=\frac{49}{4}$，即$x^2 + 7x + \frac{49}{4} = (x + \frac{7}{2})^2$，两个横线依次填$\frac{49}{4}$、$\frac{7}{2}$；
(4) 一次项系数为$-\frac{2}{5}$，它的一半为$-\frac{2}{5}÷2=-\frac{1}{5}$，因此补充的常数项为$(-\frac{1}{5})^2=\frac{1}{25}$，即$x^2 - \frac{2}{5}x + \frac{1}{25} = (x - \frac{1}{5})^2$，两个横线依次填$\frac{1}{25}$、$\frac{1}{5}$。
【答案】
(1)1
(2)16；4
(3)$\frac{49}{4}$；$\frac{7}{2}$
(4)$\frac{1}{25}$；$\frac{1}{5}$
【知识点】
完全平方公式；配方法；整式恒等变形
【点评】
本题是配方法的基础核心题型，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键，配方法是后续学习解一元二次方程、二次函数性质等内容的重要基础，解题时要注意一次项系数的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9

2. 用配方法解方程$x^2 -4x=6$时，应该把方程两边同时（）

A.加2
B.减2
C.加4
D.减4

2.C

【分析】
首先明确配方法的核心是将方程左边转化为完全平方式，对于二次项系数为1的一元二次方程，配方规则是在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。解题时先找到本题方程的一次项系数，再计算一次项系数一半的平方，即可确定需要同时添加的数。
【解析】
解：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程时，需在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
本题方程为$x^2 -4x=6$，一次项系数为$-4$，
计算一次项系数一半的平方：$(\dfrac{-4}{2})^2=(-2)^2=4$，
因此方程两边应同时加4，配方后左边可化为完全平方式$(x-2)^2$，右边为$6+4=10$，符合配方要求。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；等式的性质
【点评】
本题是配方法解方程的基础题型，重点考查配方的基本操作，熟练掌握完全平方公式的结构特征，牢记二次项系数为1时的配方规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8

3. 用配方法解方程$x^2 +10x +7=0$时，配方正确的是（）

A.$(x+5)^2=17$
B.$(x+5)^2=3$
C.$(x+5)^2=32$
D.$(x+5)^2=18$

3.D

【分析】
解题时先回忆配方法解一元二次方程的步骤：首先把方程中的常数项移到等号右侧，再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左边凑成完全平方式，最后计算等号右侧的结果，对应选项判断即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 +10x +7=0$移项，得：
$x^2 +10x = -7$
一次项系数为10，其一半的平方为$(\frac{10}{2})^2=25$，给方程两边同时加25，得：
$x^2 +10x +25 = -7 +25$
根据完全平方公式，左边可化为$(x+5)^2$，右侧计算结果为18，即：
$(x+5)^2=18$
因此配方正确的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基础应用，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，属于基础题型，掌握方法即可快速得分。
【难度系数】
0.8

4. 解方程：
(1)$x^2 - 2x - 2 = 0$；
(2)$x^2 + 3x - 4 = 0$；
(3)$x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{3} = 0$。

4.(1)$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$
(2)$x_1=1,x_2=-4$
(3)方程无实数根

【分析】
这三道题均为一元二次方程，可采用配方法求解，解题思路统一为：①移项，将常数项移到方程右侧，左侧仅保留含x的二次项和一次项；②配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧变形为完全平方式；③整理为$(x+m)^2=n$的形式，若$n≥0$，直接开平方求解，若$n＜0$，则方程无实数根。
【解析】
(1) 解方程$x^2 - 2x - 2 = 0$
移项得：$x^2 - 2x = 2$
配方，两边加$(\frac{-2}{2})^2=1$得：$x^2 - 2x + 1 = 2 + 1$
即$(x-1)^2=3$
开平方得：$x-1=±\sqrt{3}$
解得：$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$
(2) 解方程$x^2 + 3x - 4 = 0$
移项得：$x^2 + 3x = 4$
配方，两边加$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$得：$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = 4 + \frac{9}{4}$
即$(x+\frac{3}{2})^2=\frac{25}{4}$
开平方得：$x+\frac{3}{2}=±\frac{5}{2}$
解得：$x_1=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1,x_2=-\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=-4$
(3) 解方程$x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{3} = 0$
移项得：$x^2 - \frac{2}{3}x = -\frac{1}{3}$
配方，两边加$(\frac{-\frac{2}{3}}{2})^2=\frac{1}{9}$得：$x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{9}$
即$(x-\frac{1}{3})^2=-\frac{2}{9}$
∵实数范围内平方数非负，$-\frac{2}{9}＜0$
∴方程无实数根
【答案】
(1)$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$
(2)$x_1=1,x_2=-4$
(3)方程无实数根
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根的性质
【点评】
本组题目为配方法解一元二次方程的基础训练题，核心考察配方步骤的规范性，解题时需注意一次项系数的符号，开平方前先判断右侧常数的符号，避免无意义的运算。
【难度系数】
0.8

5. 用配方法解方程$3x^2 + 4x + 1 = 0$时，可以将方程转化为（）

A.$(x+\dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{1}{9}$
B.$(x+2)^2 = 3$
C.$(x+\dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{1}{3}$
D.$(3x+\dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{1}{9}$

5.A

【分析】
要使用配方法将一元二次方程转化为完全平方的形式，需按照配方法的固定步骤思考：第一步先将二次项系数化为1，第二步把常数项移到方程右侧，第三步给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后将左侧整理为完全平方形式、右侧合并常数项即可得到结果，再对应选项判断。
【解析】
解：对原方程$3x^2 + 4x + 1 = 0$按配方法步骤变形：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以3，得
$x^2 + \dfrac{4}{3}x + \dfrac{1}{3} = 0$
2. 移项，将常数项移到方程右侧：
$x^2 + \dfrac{4}{3}x = -\dfrac{1}{3}$
3. 配方：一次项系数为$\dfrac{4}{3}$，其一半为$\dfrac{2}{3}$，平方为$(\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{4}{9}$，给方程两边同时加$\dfrac{4}{9}$，得
$x^2 + \dfrac{4}{3}x + \dfrac{4}{9} = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{9}$
4. 整理得：
左边是完全平方形式$(x+\dfrac{2}{3})^2$，右边计算得$\dfrac{-3}{9}+\dfrac{4}{9}=\dfrac{1}{9}$，即$(x+\dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{1}{9}$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基本应用，解题关键是牢记配方法的步骤，尤其注意要先将二次项系数化为1再配方，配方时需给方程两边同时加一次项系数一半的平方，避免漏加或者计算常数项时出错。
【难度系数】
0.8