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4.(2023·苏州)一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1，2，3，4，这些小球除编号外，其他都相同。
(1)搅匀后从中任意摸出1个小球，这个小球的编号是2的概率为。
(2)搅匀后从中任意摸出1个小球，记录小球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个小球。求第二次摸到的小球编号比第一次摸到的小球编号大1的概率。(用画树状图或列表的方法说明)
(1)搅匀后从中任意摸出1个小球，这个小球的编号是2的概率为。
(2)搅匀后从中任意摸出1个小球，记录小球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个小球。求第二次摸到的小球编号比第一次摸到的小球编号大1的概率。(用画树状图或列表的方法说明)
答案
(1)
$\frac{1}{4}$
(2)
列表如下：
| 第一次 \ 第二次 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|-----------------|-----|-----|-----|-----|
| 1 |(1,1)|(1,2)|(1,3)|(1,4)|
| 2 |(2,1)|(2,2)|(2,3)|(2,4)|
| 3 |(3,1)|(3,2)|(3,3)|(3,4)|
| 4 |(4,1)|(4,2)|(4,3)|(4,4)|
所有可能的结果有16种，且每种结果出现的可能性相同。
第二次摸到的小球编号比第一次大1的结果有3种，即$(1, 2)$，$(2, 3)$，$(3, 4)$。
所以，该事件的概率为$\frac{3}{16}$。
$\frac{1}{4}$
(2)
列表如下：
| 第一次 \ 第二次 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|-----------------|-----|-----|-----|-----|
| 1 |(1,1)|(1,2)|(1,3)|(1,4)|
| 2 |(2,1)|(2,2)|(2,3)|(2,4)|
| 3 |(3,1)|(3,2)|(3,3)|(3,4)|
| 4 |(4,1)|(4,2)|(4,3)|(4,4)|
所有可能的结果有16种，且每种结果出现的可能性相同。
第二次摸到的小球编号比第一次大1的结果有3种，即$(1, 2)$，$(2, 3)$，$(3, 4)$。
所以，该事件的概率为$\frac{3}{16}$。
解析
【解析】
(1) 袋子中共有4个等可能被摸到的小球，编号为2的小球只有1个，根据概率公式，所求概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 采用列表法列举所有可能的结果：
| 第一次 \ 第二次 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|-----------------|-----|-----|-----|-----|
| 1 |(1,1)|(1,2)|(1,3)|(1,4)|
| 2 |(2,1)|(2,2)|(2,3)|(2,4)|
| 3 |(3,1)|(3,2)|(3,3)|(3,4)|
| 4 |(4,1)|(4,2)|(4,3)|(4,4)|
所有等可能的结果共16种，其中第二次摸到的小球编号比第一次大1的结果有(1,2)、(2,3)、(3,4)，共3种，根据概率公式，所求概率为$\frac{3}{16}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{3}{16}$
【知识点】
古典概型计算、列表法求概率
【点评】
本题考查概率的基础计算，第(1)问为简单的古典概型问题，直接利用概率公式即可求解；第(2)问需注意是有放回摸球，通过列表法清晰列举所有等可能结果，进而求出目标事件的概率，有助于提升学生的逻辑梳理与事件列举能力。
【难度系数】
0.7
(1) 袋子中共有4个等可能被摸到的小球，编号为2的小球只有1个，根据概率公式，所求概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 采用列表法列举所有可能的结果：
| 第一次 \ 第二次 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|-----------------|-----|-----|-----|-----|
| 1 |(1,1)|(1,2)|(1,3)|(1,4)|
| 2 |(2,1)|(2,2)|(2,3)|(2,4)|
| 3 |(3,1)|(3,2)|(3,3)|(3,4)|
| 4 |(4,1)|(4,2)|(4,3)|(4,4)|
所有等可能的结果共16种，其中第二次摸到的小球编号比第一次大1的结果有(1,2)、(2,3)、(3,4)，共3种，根据概率公式，所求概率为$\frac{3}{16}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{3}{16}$
【知识点】
古典概型计算、列表法求概率
【点评】
本题考查概率的基础计算，第(1)问为简单的古典概型问题，直接利用概率公式即可求解；第(2)问需注意是有放回摸球，通过列表法清晰列举所有等可能结果，进而求出目标事件的概率，有助于提升学生的逻辑梳理与事件列举能力。
【难度系数】
0.7
5.(2023·重庆)为了解A，B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后的最长运行时间，有关人员分别随机调查了A，B两款智能玩具飞机各10架，记录下它们的最长运行时间，并对数据进行整理、描述和分析(最长运行时间用x min表示，共分为三组：合格60≤x＜70，中等70≤x＜80，优等x≥80)。下面给出了部分信息。
信息1：10架A款智能玩具飞机一次充满电后的最长运行时间(单位：min)如下：60，64，67，69，71，71，72，72，72，82。
信息2：10架B款智能玩具飞机一次充满电后的最长运行时间属于中等的数据如下：70，71，72，72，73。
信息3：A，B两款智能玩具飞机的最长运行时间的相关统计量如下表。
信息4：B款智能玩具飞机的最长运行时间扇形统计图如图所示。
根据以上信息，回答下列问题。
(1)填空：a = ，b = ，m = 。
(2)根据以上信息，你认为哪款智能玩具飞机的最长运行时间更长？请说明理由。(写出一条理由即可)
(3)若某仓库有200架A款智能玩具飞机和120架B款智能玩具飞机，则这两款智能玩具飞机的最长运行时间在中等及以上的共有多少架？
信息1：10架A款智能玩具飞机一次充满电后的最长运行时间(单位：min)如下：60，64，67，69，71，71，72，72，72，82。
信息2：10架B款智能玩具飞机一次充满电后的最长运行时间属于中等的数据如下：70，71，72，72，73。
信息3：A，B两款智能玩具飞机的最长运行时间的相关统计量如下表。
信息4：B款智能玩具飞机的最长运行时间扇形统计图如图所示。
根据以上信息，回答下列问题。
(1)填空：a = ，b = ，m = 。
(2)根据以上信息，你认为哪款智能玩具飞机的最长运行时间更长？请说明理由。(写出一条理由即可)
(3)若某仓库有200架A款智能玩具飞机和120架B款智能玩具飞机，则这两款智能玩具飞机的最长运行时间在中等及以上的共有多少架？
答案
(1)72；70.5；10
(2)A款，理由：A款的中位数71大于B款的中位数70.5。
(3)A款中等及以上数量：200×(6÷10)=120（架）；B款中等及以上数量：120×(1-40%)=72（架）；总数量：120+72=192（架）。
答：共有192架。
(2)A款，理由：A款的中位数71大于B款的中位数70.5。
(3)A款中等及以上数量：200×(6÷10)=120（架）；B款中等及以上数量：120×(1-40%)=72（架）；总数量：120+72=192（架）。
答：共有192架。
解析
【解析】
(1) ①A款数据中72出现的次数最多，故众数$a = 72$；
②B款共10架，合格组占40%即4架，中等组有5架，中位数为第5、6个数据的平均数，即$b = \frac{70 + 71}{2} = 70.5$；
③B款优等数量为$10 - 4 - 5 = 1$架，占比为$\frac{1}{10} × 100\% = 10\%$，故$m = 10$。
(2) 判断哪款最长运行时间更长，可通过中位数分析：A款的中位数71大于B款的中位数70.5，说明A款智能玩具飞机的最长运行时间更长（理由合理即可）。
(3) ①A款中等及以上的数量：$200 × \frac{6}{10} = 120$（架）；
②B款中等及以上的数量：$120 × (1 - 40\%) = 72$（架）；
③两款总数量：$120 + 72 = 192$（架）。
【答案】
(1) $72$；$70.5$；$10$
(2) A款，理由：A款的中位数71大于B款的中位数70.5（理由合理即可）
(3) 192架
【知识点】
众数与中位数的计算、用样本估计总体、扇形统计图应用
【点评】
本题考查统计核心知识，需从数据与图表中提取有效信息，运用统计量定义及样本估计总体思想解题，侧重培养数据分析能力，属于基础统计题型。
【难度系数】
0.7
(1) ①A款数据中72出现的次数最多，故众数$a = 72$；
②B款共10架，合格组占40%即4架，中等组有5架，中位数为第5、6个数据的平均数，即$b = \frac{70 + 71}{2} = 70.5$；
③B款优等数量为$10 - 4 - 5 = 1$架，占比为$\frac{1}{10} × 100\% = 10\%$，故$m = 10$。
(2) 判断哪款最长运行时间更长，可通过中位数分析：A款的中位数71大于B款的中位数70.5，说明A款智能玩具飞机的最长运行时间更长（理由合理即可）。
(3) ①A款中等及以上的数量：$200 × \frac{6}{10} = 120$（架）；
②B款中等及以上的数量：$120 × (1 - 40\%) = 72$（架）；
③两款总数量：$120 + 72 = 192$（架）。
【答案】
(1) $72$；$70.5$；$10$
(2) A款，理由：A款的中位数71大于B款的中位数70.5（理由合理即可）
(3) 192架
【知识点】
众数与中位数的计算、用样本估计总体、扇形统计图应用
【点评】
本题考查统计核心知识，需从数据与图表中提取有效信息，运用统计量定义及样本估计总体思想解题，侧重培养数据分析能力，属于基础统计题型。
【难度系数】
0.7
