4. 如图，某款国产水陆两用挖掘机的机械臂可绕 $ O $ 点转动，开始时机械臂伸直且静止，$ O $、$ A $、$ B $ 三点在同一直线上，$ OA = 10\ \mathrm{m} $，$ AB = 0.5\ \mathrm{m} $，机械臂和斗铲整体的重心在 $ A $ 点；机械臂控制斗铲装取质量为 $ 1\ \mathrm{t} $ 的沙石后，机械臂、斗铲和伸缩杆缓慢运动到如图所示的位置时静止，这时机械臂、斗铲和沙石整体的重心在 $ B $ 点。已知伸缩杆先后两次对机械臂的支持力（支持力垂直于机械臂）之比为 $ 5:7 $，则机械臂和斗铲的总质量是多少？

4. 设机械臂和斗铲的总质量为$m_{0}$，沙石的质量为$m_{\mathrm{沙}}$，未装沙石静止时，$m_{0}gl_{1}=Fl_{2}$。
装沙石后，静止在图示位置时，$(m_{0}+m_{\mathrm{沙}})gl'_{1}=F'l_{2}$，又$\frac{F}{F'}=\frac{5}{7}$，$\frac{l_{1}}{l'_{1}}=\frac{OA}{OA+AB}=\frac{10}{10.5}$，
联立解得$m_{0}=3\ \mathrm{t}$。

【分析】
本题考查杠杆平衡条件的应用，解题思路如下：
1. 确定支点为O点，分别对“未装沙石”和“装沙石后”两种静止状态的机械臂应用杠杆平衡条件；
2. 未装沙石时，阻力是机械臂和斗铲的总重力，阻力臂与OA成正比；装沙石后，阻力是总重力（机械臂、斗铲和沙石的重力之和），阻力臂与OB（OA+AB）成正比；
3. 由于伸缩杆的支持力始终垂直于机械臂，因此两次的动力臂相同；
4. 结合已知的支持力之比、阻力臂的比例关系，联立杠杆平衡方程，即可求解机械臂和斗铲的总质量。
【解析】
设机械臂和斗铲的总质量为$m_{0}$，沙石的质量$m_{\mathrm{沙}}=1\ \mathrm{t}$，设动力臂为$l_{2}$。
1. 未装沙石时，根据杠杆平衡条件$F_1l_1=F_2l_2$，阻力为机械臂和斗铲的总重力$G_0=m_0g$，阻力臂与$OA$成正比，可得：
$m_{0}g · OA = F · l_{2}$ ①
2. 装取沙石后，总重力$G_{\mathrm{总}}=(m_{0}+m_{\mathrm{沙}})g$，阻力臂与$OA+AB$成正比，根据杠杆平衡条件：
$(m_{0}+m_{\mathrm{沙}})g · (OA+AB) = F' · l_{2}$ ②
3. 已知$\frac{F}{F'}=\frac{5}{7}$，$\frac{OA}{OA+AB}=\frac{10\ \mathrm{m}}{10\ \mathrm{m}+0.5\ \mathrm{m}}=\frac{10}{10.5}$，将①②两式相除，可得：
$\frac{m_{0} · OA}{(m_{0}+m_{\mathrm{沙}}) · (OA+AB)}=\frac{F}{F'}$
代入已知数据：
$\frac{m_{0} × 10}{(m_{0}+1\ \mathrm{t}) × 10.5}=\frac{5}{7}$
4. 解方程：
$7×10m_0=5×10.5×(m_0+1\ \mathrm{t})$
$70m_0=52.5m_0+52.5\ \mathrm{t}$
$17.5m_0=52.5\ \mathrm{t}$
解得：$m_0=3\ \mathrm{t}$
【答案】
$3\ \mathrm{t}$
【知识点】
杠杆平衡条件
【点评】
本题结合实际工程机械考查杠杆平衡条件的应用，关键是准确分析两次状态下的阻力、阻力臂，利用比例关系简化计算，体现了物理知识在生产生活中的实际应用。
【难度系数】
0.6