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2. 计算：(1)$\sqrt{12xy} · \sqrt{\frac{x^{2}y}{3}}$；
(2)$\frac{m}{3}\sqrt{\frac{3n^{2}}{m}} · 2\sqrt{\frac{3m^{2}}{n}}$。
(2)$\frac{m}{3}\sqrt{\frac{3n^{2}}{m}} · 2\sqrt{\frac{3m^{2}}{n}}$。
答案
(1)
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，可得：
$\sqrt{12xy}·\sqrt{\frac{x^{2}y}{3}}=\sqrt{12xy·\frac{x^{2}y}{3}}$
$=\sqrt{4x^{3}y^{2}}$
$=\sqrt{4}·\sqrt{x^{2}}·\sqrt{x}·\sqrt{y^{2}}$
因为$x≥0,y≥0$，所以$= 2xy\sqrt{x}$。
(2)
同样根据二次根式乘法法则：
$\frac{m}{3}\sqrt{\frac{3n^{2}}{m}}·2\sqrt{\frac{3m^{2}}{n}}=\frac{2m}{3}\sqrt{\frac{3n^{2}}{m}·\frac{3m^{2}}{n}}$
$=\frac{2m}{3}\sqrt{9m n}$
$=\frac{2m}{3}×3\sqrt{mn}$
$= 2m\sqrt{mn}$。
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，可得：
$\sqrt{12xy}·\sqrt{\frac{x^{2}y}{3}}=\sqrt{12xy·\frac{x^{2}y}{3}}$
$=\sqrt{4x^{3}y^{2}}$
$=\sqrt{4}·\sqrt{x^{2}}·\sqrt{x}·\sqrt{y^{2}}$
因为$x≥0,y≥0$，所以$= 2xy\sqrt{x}$。
(2)
同样根据二次根式乘法法则：
$\frac{m}{3}\sqrt{\frac{3n^{2}}{m}}·2\sqrt{\frac{3m^{2}}{n}}=\frac{2m}{3}\sqrt{\frac{3n^{2}}{m}·\frac{3m^{2}}{n}}$
$=\frac{2m}{3}\sqrt{9m n}$
$=\frac{2m}{3}×3\sqrt{mn}$
$= 2m\sqrt{mn}$。
1. 下列各式正确的是()
A.$4\sqrt{5} × 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$
B.$5\sqrt{3} × 4\sqrt{2} = 20\sqrt{6}$
C.$5\sqrt{3} × 4\sqrt{2} = 20\sqrt{5}$
D.$4\sqrt{3} × 3\sqrt{2} = 75$
A.$4\sqrt{5} × 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$
B.$5\sqrt{3} × 4\sqrt{2} = 20\sqrt{6}$
C.$5\sqrt{3} × 4\sqrt{2} = 20\sqrt{5}$
D.$4\sqrt{3} × 3\sqrt{2} = 75$
答案
B
解析
A. $4\sqrt{5}×2\sqrt{5}=4×2×(\sqrt{5}×\sqrt{5})=8×5=40$，故A错误；
B. $5\sqrt{3}×4\sqrt{2}=5×4×\sqrt{3×2}=20\sqrt{6}$，故B正确；
C. 由B可知结果应为$20\sqrt{6}$，故C错误；
D. $4\sqrt{3}×3\sqrt{2}=4×3×\sqrt{3×2}=12\sqrt{6}$，故D错误。
B. $5\sqrt{3}×4\sqrt{2}=5×4×\sqrt{3×2}=20\sqrt{6}$，故B正确；
C. 由B可知结果应为$20\sqrt{6}$，故C错误；
D. $4\sqrt{3}×3\sqrt{2}=4×3×\sqrt{3×2}=12\sqrt{6}$，故D错误。
2. 等式$\sqrt{x + 1} · \sqrt{x - 1} = \sqrt{x^{2} - 1}$成立的条件是()
A.$x ≥ 1$
B.$x ≥ - 1$
C.$- 1 ≤ x ≤ 1$
D.$x ≥ 1$或$x ≤ - 1$
A.$x ≥ 1$
B.$x ≥ - 1$
C.$- 1 ≤ x ≤ 1$
D.$x ≥ 1$或$x ≤ - 1$
答案
A
解析
根据二次根式乘法法则，$\sqrt{a}· \sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立的条件是$a≥0$且$b≥0$。
在$\sqrt{x + 1}·\sqrt{x - 1}=\sqrt{x^{2}-1}$中，$x + 1≥0$且$x - 1≥0$，解$x + 1≥0$得$x≥ - 1$，解$x - 1≥0$得$x≥1$，取两者的交集，所以$x≥1$。
在$\sqrt{x + 1}·\sqrt{x - 1}=\sqrt{x^{2}-1}$中，$x + 1≥0$且$x - 1≥0$，解$x + 1≥0$得$x≥ - 1$，解$x - 1≥0$得$x≥1$，取两者的交集，所以$x≥1$。
3. 有一个数值转换器，原理如下图，则当输入的$x$为$144$时，输出的$y$是()
A.$12$
B.$2\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{2}$
A.$12$
B.$2\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{2}$
答案
C
解析
首先输入$x = 144$，取其算术平方根，$\sqrt{144}=12$，因为$12$是有理数，再将其重新作为$x$输入，取算术平方根$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，$2\sqrt{3}$是无理数，所以输出$y = 2\sqrt{3}$。
4. 下列变形中，正确的是()
A.$- 5\sqrt{\frac{1}{5}} = \sqrt{5 × \frac{1}{5}} = 1$
B.$- 5\sqrt{\frac{1}{5}} = - \sqrt{5 × \frac{1}{5}} = - 1$
C.$- 5\sqrt{\frac{1}{5}} = \sqrt{(- 5)^{2} × \frac{1}{5}} = \sqrt{5}$
D.$- 5\sqrt{\frac{1}{5}} = - \sqrt{5^{2} × \frac{1}{5}} = - \sqrt{5}$
A.$- 5\sqrt{\frac{1}{5}} = \sqrt{5 × \frac{1}{5}} = 1$
B.$- 5\sqrt{\frac{1}{5}} = - \sqrt{5 × \frac{1}{5}} = - 1$
C.$- 5\sqrt{\frac{1}{5}} = \sqrt{(- 5)^{2} × \frac{1}{5}} = \sqrt{5}$
D.$- 5\sqrt{\frac{1}{5}} = - \sqrt{5^{2} × \frac{1}{5}} = - \sqrt{5}$
答案
D
解析
根据二次根式的运算法则，当提取一个负数时，应把负数平方后放到根号内进行计算，
对于 $- 5\sqrt{\frac{1}{5}}$，
我们可以将其变形为 $- \sqrt{5^{2} × \frac{1}{5}}$，
进一步计算得 $- \sqrt{25 × \frac{1}{5}} = - \sqrt{5}$，
对比选项，发现只有D选项与我们的计算结果相符。
对于 $- 5\sqrt{\frac{1}{5}}$，
我们可以将其变形为 $- \sqrt{5^{2} × \frac{1}{5}}$，
进一步计算得 $- \sqrt{25 × \frac{1}{5}} = - \sqrt{5}$，
对比选项，发现只有D选项与我们的计算结果相符。
5. 已知$a = \sqrt{2}$，$b = \sqrt{10}$，用含$a$，$b$的代数式表示$\sqrt{20}$，这个代数式是()
A.$a + b$
B.$ab$
C.$2a$
D.$2b$
A.$a + b$
B.$ab$
C.$2a$
D.$2b$
答案
B
解析
根据题意，已知 $a = \sqrt{2}$，$b = \sqrt{10}$，需要表示 $\sqrt{20}$。
首先，将 $\sqrt{20}$ 进行因式分解，得到 $\sqrt{20} = \sqrt{2 × 10}$。
根据二次根式的乘法法则，$\sqrt{2 × 10} = \sqrt{2} × \sqrt{10}$。
将 $a$ 和 $b$ 的值代入，得到 $\sqrt{20} = a × b=ab$。
对比选项，发现这与选项 B 相符。
首先，将 $\sqrt{20}$ 进行因式分解，得到 $\sqrt{20} = \sqrt{2 × 10}$。
根据二次根式的乘法法则，$\sqrt{2 × 10} = \sqrt{2} × \sqrt{10}$。
将 $a$ 和 $b$ 的值代入，得到 $\sqrt{20} = a × b=ab$。
对比选项，发现这与选项 B 相符。
6. 观察分析下列数据：$0$，$- \sqrt{3}$，$\sqrt{6}$，$- 3$，$2\sqrt{3}$，$- \sqrt{15}$，$3\sqrt{2}$，$···$，根据数据排列的规律得到第$16$个数据应是(结果需化简)。
答案
-3√5
解析
观察数据，符号规律：n≥2时，n为偶数符号为负，n为奇数符号为正；数值部分（去符号）根号内数为0，3，6，9，…，是首项0，公差3的等差数列，第n个数根号内为3(n-1)。第n个数表达式为(-1)^(n+1)√[3(n-1)]。n=16时，符号为负，根号内3×15=45，√45=3√5，故第16个数为-3√5。
7. 若$|a - 2| + b^{2} + 4b + 4 + \sqrt{c^{2} - c + \frac{1}{4}} = 0$，则$\sqrt{b^{2}} · \sqrt{a} · \sqrt{c} =$。
答案
2
解析
由题意，$|a - 2| + b^{2} + 4b + 4 + \sqrt{c^{2} - c + \frac{1}{4}} = 0$，
将中间两项整合，得$|a - 2| + (b + 2)^{2} + \sqrt{(c - \frac{1}{2})^{2}} = 0$，
根据非负数的性质，若几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0，
即$a - 2 = 0$，$b + 2 = 0$，$c - \frac{1}{2} = 0$，
解得$a = 2$，$b = -2$，$c = \frac{1}{2}$，
将$a$，$b$，$c$的值代入$\sqrt{b^{2}} · \sqrt{a} · \sqrt{c}$，
得$\sqrt{(-2)^{2}} × \sqrt{2} × \sqrt{\frac{1}{2}} = 2 × \sqrt{2 × \frac{1}{2}} = 2 × 1 = 2$，
将中间两项整合，得$|a - 2| + (b + 2)^{2} + \sqrt{(c - \frac{1}{2})^{2}} = 0$，
根据非负数的性质，若几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0，
即$a - 2 = 0$，$b + 2 = 0$，$c - \frac{1}{2} = 0$，
解得$a = 2$，$b = -2$，$c = \frac{1}{2}$，
将$a$，$b$，$c$的值代入$\sqrt{b^{2}} · \sqrt{a} · \sqrt{c}$，
得$\sqrt{(-2)^{2}} × \sqrt{2} × \sqrt{\frac{1}{2}} = 2 × \sqrt{2 × \frac{1}{2}} = 2 × 1 = 2$，
