7. 计算。
(1)$(x^{n}+y)(x^{n}-y)$;
(2)$(a+2)(a^{2}+4)(a^{4}+16)(a-2)$;
(3)$2x(2x-1)-(2x+5)(2x-5)$;
(4)$(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)$。

(1)原式$=(x^{n})^{2}-y^{2}=x^{2n}-y^{2}$。
(2)原式$=(a-2)(a+2)(a^{2}+4)(a^{4}+16)$
$=(a^{2}-4)(a^{2}+4)(a^{4}+16)$
$=(a^{4}-16)(a^{4}+16)$
$=a^{8}-16^{2}$
$=a^{8}-256$。
(3)原式$=4x^{2}-2x-(4x^{2}-25)$
$=4x^{2}-2x-4x^{2}+25$
$=-2x+25$。
(4)原式$=(3x)^{2}-4^{2}-(6x^{2}-4x+9x-6)$
$=9x^{2}-16-6x^{2}+4x-9x+6$
$=3x^{2}-5x-10$。

8. 提升题【观察】
$(2+3)^{2}-2^{2}=7×3;$
$(4+3)^{2}-4^{2}=11×3$。
【猜想】
比任意一个偶数大3的数与这个偶数的平方差能被3整除。
【验证】
(1)$(6+3)^{2}-6^{2}$的结果是3的倍。
(2)设偶数为$2n$,请说明:比$2n$大3的数与$2n$的平方差能被3整除。
【延伸】
(3)比任意一个整数大3的数与这个整数的平方差除以6的余数是几?请说明理由。

(2)因为$(2n+3)^{2}-(2n)^{2}=4n^{2}+12n+9-4n^{2}=3(4n+3)$,
所以能被3整除。
(3)余数是3。理由如下:
设这个数为$n$,比$n$大3的数为$n+3$,
依题意,得$(n+3)^{2}-n^{2}=n^{2}+6n+9-n^{2}=6n+9=6(n+1)+3$,
所以余数是3。