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1. 将 $3a(x - y)-9b(x - y)$ 用提公因式法因式分解，应提的公因式是()
A.$3a - b$
B.$x - y$
C.$3(x - y)$
D.$3a + b$
A.$3a - b$
B.$x - y$
C.$3(x - y)$
D.$3a + b$
答案
C
解析
多项式$3a(x - y)-9b(x - y)$中，系数$3$和$-9$的最大公约数是$3$，两项都含有因式$(x - y)$，所以公因式是$3(x - y)$。
2. 将 $6a^{2}b(x - y)^{2}+8ab^{2}(x - y)^{3}$ 因式分解，应提取的公因式是()
A.$2ab(x - y)^{2}$
B.$48ab(x - y)^{2}$
C.$48ab(x - y)^{3}$
D.$2ab(x - y)^{3}$
A.$2ab(x - y)^{2}$
B.$48ab(x - y)^{2}$
C.$48ab(x - y)^{3}$
D.$2ab(x - y)^{3}$
答案
A
解析
首先分别观察系数、字母部分以及多项式部分，
系数：$6$和$8$的最大公约数为$2$。
字母$a$，$a^{2}$和$a$的最低次幂是$a$，
字母$b$，$b$和$b^{2}$的最低次幂是$b$，
对于$(x - y)$部分，$(x - y)^{2}$和$(x - y)^{3}$，取次数最低的为$(x - y)^{2}$，
所以公因式为$2ab(x - y)^{2}$。
系数：$6$和$8$的最大公约数为$2$。
字母$a$，$a^{2}$和$a$的最低次幂是$a$，
字母$b$，$b$和$b^{2}$的最低次幂是$b$，
对于$(x - y)$部分，$(x - y)^{2}$和$(x - y)^{3}$，取次数最低的为$(x - y)^{2}$，
所以公因式为$2ab(x - y)^{2}$。
3. 多项式 $m^{2}(a - 2)+m(2 - a)$ 因式分解的结果为()
A.$(a - 2)(m^{2}+m)$
B.$(a - 2)(m^{2}-m)$
C.$m(a - 2)(m - 1)$
D.$m(a - 2)(m + 1)$
A.$(a - 2)(m^{2}+m)$
B.$(a - 2)(m^{2}-m)$
C.$m(a - 2)(m - 1)$
D.$m(a - 2)(m + 1)$
答案
C
解析
本题可先将多项式中两项变形，使它们出现公因式，再提取公因式进行因式分解。
步骤一：变形多项式
观察多项式$m^{2}(a - 2)+m(2 - a)$，发现$2 - a$与$a - 2$互为相反数，即$2 - a=-(a - 2)$，那么原多项式可化为$m^{2}(a - 2)-m(a - 2)$。
步骤二：提取公因式
在多项式$m^{2}(a - 2)-m(a - 2)$中，每一项都含有公因式$m(a - 2)$，提取公因式可得：
$m^{2}(a - 2)-m(a - 2)=m(a - 2)(m - 1)$
步骤一：变形多项式
观察多项式$m^{2}(a - 2)+m(2 - a)$，发现$2 - a$与$a - 2$互为相反数，即$2 - a=-(a - 2)$，那么原多项式可化为$m^{2}(a - 2)-m(a - 2)$。
步骤二：提取公因式
在多项式$m^{2}(a - 2)-m(a - 2)$中，每一项都含有公因式$m(a - 2)$，提取公因式可得：
$m^{2}(a - 2)-m(a - 2)=m(a - 2)(m - 1)$
4. 若 $(p - q)^{2}-(q - p)^{3}=(q - p)^{2}E$，则 $E=$。
答案
$1 - q + p$
解析
因为$(p - q)^{2} = (q - p)^{2}$，所以原式可化为$(q - p)^{2} - (q - p)^{3}$。提取公因式$(q - p)^{2}$，得$(q - p)^{2}[1 - (q - p)] = (q - p)^{2}(1 - q + p)$，故$E = 1 - q + p$。
5. 把下列各式因式分解：
(1)$3a(x - y)-(x - y)$；
(2)$a(m - 2)+b(2 - m)$；
(3)$mn(m - n)-m(n - m)^{2}$。
(1)$3a(x - y)-(x - y)$；
(2)$a(m - 2)+b(2 - m)$；
(3)$mn(m - n)-m(n - m)^{2}$。
答案
(1)解：
原式$= (x - y)(3a - 1)$。
(2)首先，根据添括号法则，原式可以变形为：
$a(m - 2) - b(m - 2)$
接着，提取公因式$(m - 2)$，得到：
原式$= (m - 2)(a - b)$。
(3)首先，根据添括号法则把$(n - m ) ^2$变为$(m - n ) ^2$，原式可以变形为：
$mn(m - n) - m(m - n)^{2}$
接着，提取公因式$m(m - n)$，得到：
原式$= m(m - n)\lbrack n - (m - n)\rbrack$
$= m(m - n)(2n - m)$。
原式$= (x - y)(3a - 1)$。
(2)首先，根据添括号法则，原式可以变形为：
$a(m - 2) - b(m - 2)$
接着，提取公因式$(m - 2)$，得到：
原式$= (m - 2)(a - b)$。
(3)首先，根据添括号法则把$(n - m ) ^2$变为$(m - n ) ^2$，原式可以变形为：
$mn(m - n) - m(m - n)^{2}$
接着，提取公因式$m(m - n)$，得到：
原式$= m(m - n)\lbrack n - (m - n)\rbrack$
$= m(m - n)(2n - m)$。
6. 因式分解：$a^{2}-ab + ac - bc$。
答案
$a^{2}-ab + ac - bc$
$=(a^{2}-ab)+(ac - bc)$
$=a(a - b)+c(a - b)$
$=(a - b)(a + c)$
结论：$(a - b)(a + c)$
$=(a^{2}-ab)+(ac - bc)$
$=a(a - b)+c(a - b)$
$=(a - b)(a + c)$
结论：$(a - b)(a + c)$
7. 先因式分解，再计算求值：
(1)$4n(m - 2)-3n(m - 2)^{2}$，其中 $n = 1.5$，$m = 6$；
(2)$(a - 2)^{2}-6(2 - a)$，其中 $a = - 2$。
(1)$4n(m - 2)-3n(m - 2)^{2}$，其中 $n = 1.5$，$m = 6$；
(2)$(a - 2)^{2}-6(2 - a)$，其中 $a = - 2$。
答案
(1) 原式 = n(m - 2)[4 - 3(m - 2)] = n(m - 2)(4 - 3m + 6) = n(m - 2)(10 - 3m)
当 n = 1.5，m = 6 时，原式 = 1.5×(6 - 2)×(10 - 3×6) = 1.5×4×(-8) = -48
(2) 原式 = (a - 2)² + 6(a - 2) = (a - 2)(a - 2 + 6) = (a - 2)(a + 4)
当 a = -2 时，原式 = (-2 - 2)×(-2 + 4) = (-4)×2 = -8
当 n = 1.5，m = 6 时，原式 = 1.5×(6 - 2)×(10 - 3×6) = 1.5×4×(-8) = -48
(2) 原式 = (a - 2)² + 6(a - 2) = (a - 2)(a - 2 + 6) = (a - 2)(a + 4)
当 a = -2 时，原式 = (-2 - 2)×(-2 + 4) = (-4)×2 = -8
8. 提升题 已知 $a + b = 5$，$ab = 7$，求 $a^{2}b + ab^{2}-a - b$ 的值。
答案
30
解析
$a^{2}b + ab^{2}-a - b$
$=ab(a + b)-(a + b)$
$=(a + b)(ab - 1)$
当$a + b = 5$，$ab = 7$时，
原式$=5×(7 - 1)$
$=5×6$
$=30$
$=ab(a + b)-(a + b)$
$=(a + b)(ab - 1)$
当$a + b = 5$，$ab = 7$时，
原式$=5×(7 - 1)$
$=5×6$
$=30$
