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(1) 7 的算术平方根为；
(2) 面积为 $ S $ 的正方形的边长为；
(3) 一个物体从高处落到地面所用的时间 $ t(\mathrm{s}) $ 与开始落下时的高度 $ h(\mathrm{m}) $ 满足关系 $ h = 5t^{2} $，如果用含有 $ h $ 的式子表示 $ t $，那么 $ t = $.
在上面的问题中，这些式子有什么共同特征？
(2) 面积为 $ S $ 的正方形的边长为；
(3) 一个物体从高处落到地面所用的时间 $ t(\mathrm{s}) $ 与开始落下时的高度 $ h(\mathrm{m}) $ 满足关系 $ h = 5t^{2} $，如果用含有 $ h $ 的式子表示 $ t $，那么 $ t = $.
在上面的问题中，这些式子有什么共同特征？
答案
(1) $\sqrt{7}$
(2) $\sqrt{S}$
(3) $\sqrt{\dfrac{h}{5}}$
共同特征：都表示一个非负数的算术平方根，且被开方数都是非负数。
(2) $\sqrt{S}$
(3) $\sqrt{\dfrac{h}{5}}$
共同特征：都表示一个非负数的算术平方根，且被开方数都是非负数。
例 1 下列式子中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
① $ \sqrt{-(-3)} $；② $ \sqrt[3]{2} $；③ $ \sqrt{-3} $；④ $ \sqrt{x^{2}+1} $.
① $ \sqrt{-(-3)} $；② $ \sqrt[3]{2} $；③ $ \sqrt{-3} $；④ $ \sqrt{x^{2}+1} $.
答案
①$ \sqrt{-(-3)}=\sqrt{3}$，是二次根式，因为被开方数为正数（$-(-3)=3＞ 0$），符合二次根式定义。
②$ \sqrt[3]{2} $，不是二次根式，因为根指数为$3$，二次根式根指数为$2$。
③$ \sqrt{-3} $，不是二次根式，因为被开方数为负数（$-3 ＜ 0$），在实数范围内无意义。
④$ \sqrt{x^{2}+1} $，是二次根式，因为$x^{2}≥0$，所以$x^{2}+1≥1＞ 0$，被开方数恒为正数，符合二次根式定义。
综上，①④是二次根式；②③不是二次根式。
②$ \sqrt[3]{2} $，不是二次根式，因为根指数为$3$，二次根式根指数为$2$。
③$ \sqrt{-3} $，不是二次根式，因为被开方数为负数（$-3 ＜ 0$），在实数范围内无意义。
④$ \sqrt{x^{2}+1} $，是二次根式，因为$x^{2}≥0$，所以$x^{2}+1≥1＞ 0$，被开方数恒为正数，符合二次根式定义。
综上，①④是二次根式；②③不是二次根式。
例 2 $ x $ 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) $ \sqrt{x + 1} $； (2) $ \frac{1}{\sqrt{x}} $； (3) $ \sqrt{(x - 1)^{2}} $.
(1) $ \sqrt{x + 1} $； (2) $ \frac{1}{\sqrt{x}} $； (3) $ \sqrt{(x - 1)^{2}} $.
答案
(1)要使$\sqrt{x + 1}$有意义，则：
$x + 1 ≥ 0$，
解得：
$x ≥ - 1$。
(2)要使$\frac{1}{\sqrt{x}}$有意义，则分母不能为0且根号内部非负，即：
$x ＞ 0$。
(3)要使$\sqrt{(x - 1)^{2}}$有意义，则：
因为任何实数的平方都是非负的，所以$(x - 1)^{2} ≥ 0$对所有实数x都成立。
所以$x$取任意实数。
$x + 1 ≥ 0$，
解得：
$x ≥ - 1$。
(2)要使$\frac{1}{\sqrt{x}}$有意义，则分母不能为0且根号内部非负，即：
$x ＞ 0$。
(3)要使$\sqrt{(x - 1)^{2}}$有意义，则：
因为任何实数的平方都是非负的，所以$(x - 1)^{2} ≥ 0$对所有实数x都成立。
所以$x$取任意实数。
(1) 下列式子中，正确的是().
A.$ (\sqrt{-3})^{2} = 3 $
B.$ (\sqrt{-3})^{2} = -3 $
C.$ (-\sqrt{3})^{2} = 3 $
D.$ (-\sqrt{3})^{2} = -3 $
A.$ (\sqrt{-3})^{2} = 3 $
B.$ (\sqrt{-3})^{2} = -3 $
C.$ (-\sqrt{3})^{2} = 3 $
D.$ (-\sqrt{3})^{2} = -3 $
答案
C
解析
根据二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，所以$\sqrt{-3}$无意义，则选项A、B错误；$(-\sqrt{3})^{2}=(-1)^{2}×(\sqrt{3})^{2}=1×3 = 3$，所以选项C正确，选项D错误。
(2) 要使式子 $ \sqrt{x - 3} $ 在实数范围内有意义，$ x $ 的取值范围是().
A.$ x ＞ 3 $
B.$ x ≥ 3 $
C.$ x ＞ -3 $
D.$ x ≥ -3 $
A.$ x ＞ 3 $
B.$ x ≥ 3 $
C.$ x ＞ -3 $
D.$ x ≥ -3 $
答案
B
解析
根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，即 $x - 3 ≥ 0$，解得 $x ≥ 3$。
