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8. 如图,在菱形$ABCD$中,$E,F$分别是$AB,BC$的中点.
求证:$DE=DF$.
求证:$DE=DF$.
答案
8. 证明：$\because$四边形$ABCD$是菱形
$\therefore AB=CB=AD=CD,∠ A=∠ C$.
$\because E,F$分别是边$AB,BC$的中点，
$\therefore AE=CF$.
在$△ ADE$和$△ CDF$中，
$\begin{cases}AD=CD,\\∠ A=∠ C,\\AE=CF,\end{cases}$
$\therefore△ ADE≌△ CDF(\mathrm{SAS})$,
$\therefore DE=DF$.
$\therefore AB=CB=AD=CD,∠ A=∠ C$.
$\because E,F$分别是边$AB,BC$的中点，
$\therefore AE=CF$.
在$△ ADE$和$△ CDF$中，
$\begin{cases}AD=CD,\\∠ A=∠ C,\\AE=CF,\end{cases}$
$\therefore△ ADE≌△ CDF(\mathrm{SAS})$,
$\therefore DE=DF$.
9. 如图,在平面直角坐标系中,菱形$ABCD$的边长为$13$,点$B$的坐标是$(8,12)$,点$D$的坐标是$(8,2)$,则点$A$的坐标是
$(-4,7)$
.答案
9. $(-4,7)$
10. 中国结寓意团圆、美满,它以独特的东方神韵体现了中国人民的智慧和深厚的文化底蕴.徐明家有一个菱形中国结装饰,如图,测得$BD=12\ \mathrm{cm}$,$AB=10\ \mathrm{cm}$,直线$EF⊥ AB$交两对边于点$E,F$,则线段$EF$的长为
$9.6 \mathrm{cm}$
.答案
10. $9.6 \mathrm{cm}$
11. 如图,在菱形$ABCD$中,$∠ BAD=120°$,$AB=4$,$M,N$分别为$BC,CD$边上的两点,点$P$为对角线$BD$上一点,则$PM+PN$的最小值为
$2\sqrt{3}$
.答案
11. $2\sqrt{3}$
12. 如图,在菱形$ABCD$中,对角线$AC,BD$相交于点$O$,$AB=5$,$AC=6$,过点$D$作$AC$的平行线交$BC$的延长线于点$E$.
(1)求证:$AC=DE$;
(2)求$△ BDE$的面积.
(1)求证:$AC=DE$;
(2)求$△ BDE$的面积.
答案
12. (1)证明：$\because$在菱形$ABCD$中，$AD// BC$，
$\therefore AD// CE$.
又$\because DE// AC$，
$\therefore$四边形$ACED$为平行四边形，
$\therefore AC=DE$.
(2)$\because$在菱形$ABCD$中，$AC$与$BD$为对角线，
$\therefore AC⊥ BD$.
$\because DE// AC$，
$\therefore∠ BDE=∠ BOC=90°$，
$\because AB=5,AC=6$，
$\therefore AO=3$，
$\therefore OB=\sqrt{AB^2 - OA^2}=4$，
$\therefore BD=2OB=8$.
$\because DE=AC=6$，
$\therefore S_{△ BDE}=\frac{1}{2}×6×8=24$.
$\therefore AD// CE$.
又$\because DE// AC$，
$\therefore$四边形$ACED$为平行四边形，
$\therefore AC=DE$.
(2)$\because$在菱形$ABCD$中，$AC$与$BD$为对角线，
$\therefore AC⊥ BD$.
$\because DE// AC$，
$\therefore∠ BDE=∠ BOC=90°$，
$\because AB=5,AC=6$，
$\therefore AO=3$，
$\therefore OB=\sqrt{AB^2 - OA^2}=4$，
$\therefore BD=2OB=8$.
$\because DE=AC=6$，
$\therefore S_{△ BDE}=\frac{1}{2}×6×8=24$.
