5. 在边长为 $6$ $cm$ 的等边三角形中，其一边上的高为。

设等边三角形为 $ △ ABC $，边长 $ AB = BC = AC = 6 \, \mathrm{cm} $，作 $ AD ⊥ BC $ 于点 $ D $，则 $ AD $ 为 $ BC $ 边上的高。
在 $ \mathrm{Rt}△ ABD $ 中，$ AB = 6 \, \mathrm{cm} $，$ BD = \frac{1}{2}BC = 3 \, \mathrm{cm} $。
由勾股定理得：$ AD^2 + BD^2 = AB^2 $，即 $ AD^2 + 3^2 = 6^2 $。
解得：$ AD^2 = 36 - 9 = 27 $，$ AD = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \, \mathrm{cm} $。
因为等边三角形各边上的高相等，所以一边上的高为 $ 3\sqrt{3} \, \mathrm{cm} $。
$ 3\sqrt{3} \, \mathrm{cm} $

6. 如图，在 $△ ABC$ 中，$AB = AC = BC$，点 $D$，$E$，$F$ 分别在 $BC$，$AB$，$CA$ 边的延长线上，且 $BE = AF = CD$。求证：$△ DEF$ 是等边三角形。

已知：在△ABC中，AB=AC=BC，点D，E，F分别在BC，AB，CA边的延长线上，且BE=AF=CD。
求证：△DEF是等边三角形。
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°。
∵D，E，F分别在BC，AB，CA边的延长线上，
∴∠EBD=180°-∠ABC=120°，∠FAE=180°-∠BAC=120°，∠DCF=180°-∠ACB=120°。
设BE=AF=CD=m，AB=BC=CA=a，
则AE=AB+BE=a+m，BD=BC+CD=a+m，CF=CA+AF=a+m。
在△FAE和△EBD中：
FA=EB=m，
∠FAE=∠EBD=120°，
AE=BD=a+m，
∴△FAE≌△EBD（SAS），∴EF=ED。
在△EBD和△DCF中：
EB=DC=m，
∠EBD=∠DCF=120°，
BD=CF=a+m，
∴△EBD≌△DCF（SAS），∴ED=FD。
∴EF=ED=FD，
∴△DEF是等边三角形。

7. 如图，在等腰三角形 $ABC$ 中，$AB = AC$，$D$，$E$ 是 $△ ABC$ 内的两点，$AE$ 是 $∠ BAC$ 的平分线，$∠ D = ∠ DBC = 60^{\circ}$，点 $F$ 在 $BC$ 上，点 $E$ 在 $DF$ 上。若 $BD = 7$ $cm$，$DE = 3$ $cm$，则线段 $BC$ 的长为()。


A.$6$ $cm$
B.$8$ $cm$
C.$10$ $cm$
D.$12$ $cm$

C

延长AE交BC于点G，∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴AG⊥BC，BG=GC（等腰三角形三线合一）。
∵∠D=∠DBC=60°，∴△BDF是等边三角形（三个角为60°的三角形是等边三角形），∴BD=BF=DF=7cm。
∵DE=3cm，E在DF上，∴EF=DF-DE=7-3=4cm。
在Rt△EFG中，∠EFG=60°（等边三角形内角），∠EGF=90°，∴∠FEG=30°，∴FG=EF/2=4/2=2cm（直角三角形中30°角对边是斜边一半）。
∵BG=BF-FG=7-2=5cm，∴BC=2BG=10cm。

8. 【数学应用】如图①所示的是某超市入口的双翼闸门，其示意图如图②所示。如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点 $A$ 与 $B$ 之间的距离为 $10$ $cm$，双翼的边缘 $AC = BD = 54$ $cm$，且与闸机箱侧立面的夹角 $∠ PCA = ∠ BDQ = 30^{\circ}$。求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度。

过点A作AE⊥PC于E，过点B作BF⊥QD于F。
在Rt△ACE中，∠ACE=30°，AC=54cm，
则AE=AC·sin30°=54×1/2=27cm。
同理，在Rt△BDF中，BF=BD·sin30°=54×1/2=27cm。
当双翼收起时，可通过物体的最大宽度为AE+AB+BF=27+10+27=64cm。
64cm