6. 圆柱内的沙子占圆柱的$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$，倒入()内正好倒满。(单位：cm)

①

1. 计算沙子体积：圆柱体积$V_{柱}=π(\frac{9}{2})^2×9$，沙子占圆柱的$\frac{1}{3}$，故$V_{沙}=\frac{1}{3}π(\frac{9}{2})^2×9$。
2. 计算各圆锥体积：
①号圆锥：$V_1=\frac{1}{3}π(\frac{9}{2})^2×9$，与$V_{沙}$相等；
②号圆锥：$V_2=\frac{1}{3}π(\frac{9}{2})^2×6$，$V_2＜V_{沙}$；
③号圆锥：$V_3=\frac{1}{3}π(\frac{6}{2})^2×9=27π$，$V_3＜V_{沙}$。
3. 综上，沙子倒入①号圆锥正好倒满。

7. 一个棱长为2cm的正方体，如图挖掉一个棱长为1cm的小正方体后，它的表面积()。

①比原来大
②比原来小
③不变
④不能确定

③

观察图形可知，在大正方体的角上挖去小正方体后，原正方体表面减少3个1×1的小正方形面，同时新露出3个1×1的小正方形面，减少的面积与新增的面积相等，因此它的表面积和原正方体表面积相比不变。

四、求下面图形中阴影部分的面积。
1.

2. 正方形的周长是16dm。

1.
半径：$20÷2=10(\mathrm{cm})$
半圆面积：$3.14×10^2÷2=157(\mathrm{cm}^2)$
三角形面积：$20×10÷2=100(\mathrm{cm}^2)$
阴影面积：$157-100=57(\mathrm{cm}^2)$
答：阴影部分的面积是$57\mathrm{cm}^2$。
---
2.
正方形边长：$16÷4=4(\mathrm{dm})$
正方形面积：$4×4=16(\mathrm{dm}^2)$
圆的半径：$4÷2=2(\mathrm{dm})$
圆的面积：$3.14×2^2=12.56(\mathrm{dm}^2)$
阴影面积：$16-12.56=3.44(\mathrm{dm}^2)$
答：阴影部分的面积是$3.44\mathrm{dm}^2$。

【分析】
1. 观察图形可知，阴影部分的面积等于直径为20cm的半圆面积减去底为20cm、高为半圆半径的三角形面积。解题时先求出半圆的半径，再分别计算半圆和三角形的面积，最后用半圆面积减去三角形面积得到阴影面积。
2. 已知正方形周长，先根据正方形周长公式求出边长，阴影部分的面积等于正方形面积减去内部最大圆的面积，接着分别计算正方形和圆的面积，最后用正方形面积减去圆的面积即可得到阴影面积。
【解析】
1.
半径：$20÷2=10(\mathrm{cm})$
半圆面积：$3.14×10^2÷2=157(\mathrm{cm}^2)$
三角形面积：$20×10÷2=100(\mathrm{cm}^2)$
阴影面积：$157-100=57(\mathrm{cm}^2)$
答：阴影部分的面积是$57\mathrm{cm}^2$。
2.
正方形边长：$16÷4=4(\mathrm{dm})$
正方形面积：$4×4=16(\mathrm{dm}^2)$
圆的半径：$4÷2=2(\mathrm{dm})$
圆的面积：$3.14×2^2=12.56(\mathrm{dm}^2)$
阴影面积：$16-12.56=3.44(\mathrm{dm}^2)$
答：阴影部分的面积是$3.44\mathrm{dm}^2$。
【答案】
1. 阴影部分的面积是$\boldsymbol{57\mathrm{cm}^2}$；
2. 阴影部分的面积是$\boldsymbol{3.44\mathrm{dm}^2}$。
【知识点】
1. 圆的面积计算
2. 三角形面积计算
3. 正方形面积计算
【点评】
这两道题均通过“差量法”计算不规则阴影部分面积，核心是明确阴影部分与半圆、三角形、正方形、圆这些规则图形的面积关系，需熟练掌握各类规则图形的周长、面积公式，准确梳理计算逻辑。
【难度系数】
0.6

五、计算下面图形的体积。(单位：cm)

第一个图形（长方体）：
$9×6×2=108$（$\mathrm{cm}^3$）
第二个图形（圆柱与圆锥组合体）：
$3.14×(8÷2)^2×15 + \frac{1}{3}×3.14×(8÷2)^2×6$
$=3.14×16×15 + \frac{1}{3}×3.14×16×6$
$=753.6 + 100.48$
$=854.08$（$\mathrm{cm}^3$）
答：第一个图形的体积是$\boldsymbol{108\ \mathrm{cm}^3}$，第二个图形的体积是$\boldsymbol{854.08\ \mathrm{cm}^3}$。

【分析】
首先看第一个图形是长方体，长方体的体积公式为长×宽×高，只需将图中给出的长9cm、宽6cm、高2cm代入公式即可算出体积。
第二个图形是圆柱和圆锥的组合体，组合体的体积等于圆柱体积与圆锥体积之和。先根据底面直径8cm算出底面半径，再分别利用圆柱体积公式（底面积×高）和圆锥体积公式（$\frac{1}{3}$×底面积×高）计算出各自的体积，最后相加得到组合体的总体积。
【解析】
1. 计算长方体的体积：
根据长方体体积公式$V = a×b×h$（其中$a$为长，$b$为宽，$h$为高），代入数值：
$9×6×2=108$（$\mathrm{cm}^3$）
2. 计算圆柱与圆锥组合体的体积：
先求底面半径：$8÷2=4$（$\mathrm{cm}$）
圆柱体积：$3.14×4^2×15 = 3.14×16×15 = 753.6$（$\mathrm{cm}^3$）
圆锥体积：$\frac{1}{3}×3.14×4^2×6 = \frac{1}{3}×3.14×16×6 = 100.48$（$\mathrm{cm}^3$）
组合体体积：$753.6 + 100.48 = 854.08$（$\mathrm{cm}^3$）
答：第一个图形的体积是$\boldsymbol{108\ \mathrm{cm}^3}$，第二个图形的体积是$\boldsymbol{854.08\ \mathrm{cm}^3}$。
【答案】
第一个图形体积为$\boldsymbol{108\ \mathrm{cm}^3}$，第二个图形体积为$\boldsymbol{854.08\ \mathrm{cm}^3}$。
【知识点】
长方体体积计算、圆柱体积计算、圆锥体积计算
【点评】
本题考查常见立体图形的体积计算，需要熟练掌握长方体、圆柱、圆锥的体积公式，对于组合体要学会拆分成熟悉的基本立体图形，分别计算体积后再求和，解题时注意数值代入的准确性。
【难度系数】
0.8

六、一个立体图形从上面看到的形状是，从左面看到的形状是。要搭这样的立体图形，至少要用多少个小正方体？最多可以用多少个小正方体？

4 + 1 = 5（个）
4 + 3 = 7（个）
答：至少要用5个小正方体，最多可以用7个小正方体。

【分析】
首先，根据从上面看到的形状，可确定底层的小正方体数量为4个（上面看到的布局对应底层每个位置至少有1个小正方体）。接着，从左面看到的形状说明该立体图形有两层，存在上层小正方体。
计算最少数量时：上层只需在底层任意一个位置放置1个小正方体，就能满足左面看到的两层形状，总数为底层数量加上层最少的1个。
计算最多数量时：结合左面视图，上层最多可在底层的3个位置各放1个小正方体，总数为底层数量加上层最多的3个。
【解析】
1. 确定底层小正方体数量：由从上面看到的形状可知，底层至少有4个小正方体。
2. 计算最少需要的小正方体数量：
因为从左面看到的形状显示立体图形有两层，上层最少放1个小正方体，所以总数为：
$4 + 1 = 5$（个）
3. 计算最多需要的小正方体数量：
上层最多可在底层的3个位置各放1个小正方体，所以总数为：
$4 + 3 = 7$（个）
答：至少要用5个小正方体，最多可以用7个小正方体。
【答案】
至少要用5个小正方体，最多可以用7个小正方体。
【知识点】
观察立体图形、三视图的应用
【点评】
本题考查对立体图形三视图的理解与运用，需要结合不同方向的视图分析小正方体的数量范围，锻炼学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6