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1. (★) 在 $△ ABC$ 中，$∠ C = 90^{\circ}$，$AB = 3$，则 $AB^{2}+BC^{2}+AC^{2}$ 的值为 【 】
A.24
B.18
C.12
D.9
A.24
B.18
C.12
D.9
答案
B
解析
在$Rt△ABC$中，由勾股定理得$BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}=3^{2} = 9$，所以$AB^{2}+BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}+(BC^{2}+AC^{2})=9 + 9=18$。
2. (★) 有三条线段，它们的长分别为 $a = 3\mathrm{cm}$，$b = 4\mathrm{cm}$，$c = 5\mathrm{cm}$。计算 $a^{2}+b^{2}$ 和 $c^{2}$ 的值，得到 $a^{2}+b^{2} =$ ，$c^{2} =$ 。根据计算结果可得出的结论是 。作 $△ ABC$，使 $BC = a$，$AC = b$，$AB = c$，用量角器度量 $∠ C$ 的度数，量得 $∠ C$ 的度数为 。
答案
25；25；$a^2 + b^2 = c^2$；90°
解析
计算$a^2 + b^2$：$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$；计算$c^2$：$5^2 = 25$；结论：$a^2 + b^2 = c^2$；度量$∠C$的度数为$90°$。
3. (★) (1) 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 $a$，$b$，$c$ 满足 ，那么这个三角形是 三角形。
(2) 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，如 $6$，$8$，；$5$，$12$，；等等。
(2) 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，如 $6$，$8$，；$5$，$12$，；等等。
答案
(1)$a^2 + b^2 = c^2$；直角；(2)$10$；$13$
解析
(1)根据勾股定理逆定理的定义，若三角形三边长$a$，$b$，$c$满足$a^2 + b^2 = c^2$（$c$为最长边），则该三角形为直角三角形。
(2)对于勾股数，$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，所以第一个空为$10$；$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，所以第二个空为$13$。
(2)对于勾股数，$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，所以第一个空为$10$；$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，所以第二个空为$13$。
4. (★) 已知 $a$，$b$，$c$ 是 $△ ABC$ 的三边长，且 $c = 5$，$a$，$b$ 满足关系式 $\sqrt{a - 4}+(b - 3)^{2} = 0$，则 $△ ABC$ 的形状为 。
答案
直角三角形
解析
因为$\sqrt{a - 4} + (b - 3)^2 = 0$，且$\sqrt{a - 4} ≥ 0$，$(b - 3)^2 ≥ 0$，所以$a - 4 = 0$，$b - 3 = 0$，解得$a = 4$，$b = 3$。又因为$c = 5$，且$3^2 + 4^2 = 5^2$，即$a^2 + b^2 = c^2$，所以$△ ABC$是直角三角形。
5. (★) 下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是 【 】
A.$5$，$12$，$13$
B.$8$，$15$，$17$
C.$3$，$4$，$7$
D.$6$，$8$，$10$
A.$5$，$12$，$13$
B.$8$，$15$，$17$
C.$3$，$4$，$7$
D.$6$，$8$，$10$
答案
C
解析
根据勾股定理的逆定理，若三条线段满足 $a^2 + b^2 = c^2$（其中 $c$ 为最长边），则这三条线段能组成直角三角形，对各选项逐一验证：
选项A：因为 $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，所以能组成直角三角形。
选项B：因为 $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$，所以能组成直角三角形。
选项C：因为 $3 + 4 = 7$，不满足三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，且 $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25≠7^2$，所以不能组成直角三角形。
选项D：因为 $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，所以能组成直角三角形。
选项A：因为 $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，所以能组成直角三角形。
选项B：因为 $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$，所以能组成直角三角形。
选项C：因为 $3 + 4 = 7$，不满足三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，且 $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25≠7^2$，所以不能组成直角三角形。
选项D：因为 $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，所以能组成直角三角形。
6. (★) 下列各组数是勾股数的是 【 】
A.$10$，$15$，$18$
B.$7$，$24$，$25$
C.$0.3$，$0.4$，$0.5$
D.$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{10}$
A.$10$，$15$，$18$
B.$7$，$24$，$25$
C.$0.3$，$0.4$，$0.5$
D.$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{10}$
答案
B
解析
勾股数是指满足勾股定理 $a^2 + b^2 = c^2$ 的正整数组合。
选项A：$10^2 + 15^2 = 100 + 225 = 325 ≠ 18^2 = 324$，不满足；
选项B：$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$，满足，且均为正整数；
选项C：$0.3, 0.4, 0.5$ 不是正整数，不符合勾股数定义；
选项D：$\frac{1}{6}, \frac{1}{8}, \frac{1}{10}$ 不是正整数，不符合勾股数定义。
选项A：$10^2 + 15^2 = 100 + 225 = 325 ≠ 18^2 = 324$，不满足；
选项B：$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$，满足，且均为正整数；
选项C：$0.3, 0.4, 0.5$ 不是正整数，不符合勾股数定义；
选项D：$\frac{1}{6}, \frac{1}{8}, \frac{1}{10}$ 不是正整数，不符合勾股数定义。
7. (★) 在 $△ ABC$ 中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$ 的对边分别是 $a$，$b$，$c$，若三边关系为 $a^{2}+c^{2} = b^{2}$，则 是直角。
答案
∠B
解析
在△ABC中，已知三边关系为$a^{2}+c^{2}=b^{2}$，根据勾股定理的逆定理，若三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，且第三边所对的角是直角。因为$b$是$∠B$的对边，所以$∠B$是直角。
8. (★★) 如图，$∠ BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC = 4$，$BD = 7$，$DC = 9$，则 $∠ DBA$ 的度数为 。
答案
45°
解析
以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立坐标系，A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)。设D(x,y)，由BD=7得(x-4)²+y²=49，由DC=9得x²+(y-4)²=81。联立方程解得x=y+4，代入得2y²-8y-65=0，取y=(4-√146)/2（负值），则x=y+4，向量BD=(y,y)，斜率为1，故∠DBA=45°。
9. (★★) 已知两线段的长分别是 $5\mathrm{cm}$，$3\mathrm{cm}$，则第三条线段长是 $\mathrm{cm}$ 时，这三条线段构成直角三角形。
答案
$4$或$\sqrt{34}$
解析
本题可根据勾股定理来求解第三条线段的长度。设第三条线段长为$x cm$，由于不确定第三条线段是直角三角形的斜边还是直角边，所以需要分两种情况进行讨论。
情况一：当$x$为斜边时
根据勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
已知两条线段的长分别是$5cm$，$3cm$，此时$5$和$3$为直角边，$x$为斜边，则可列出方程$x^{2}=5^{2} + 3^{2}$，即$x^{2}=25 + 9 = 34$，因为$x$为线段长度，大于$0$，所以对$x^{2}=34$两边同时开平方可得$x=\sqrt{34}$。
情况二：当$5$为斜边时
此时$x$和$3$为直角边，根据勾股定理可列出方程$5^{2}=x^{2}+3^{2}$，即$x^{2}=25 - 9 = 16$，因为$x$为线段长度，大于$0$，所以对$x^{2}=16$两边同时开平方可得$x = 4$。
综上，第三条线段长为$4$或$\sqrt{34}$时，这三条线段构成直角三角形。
情况一：当$x$为斜边时
根据勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
已知两条线段的长分别是$5cm$，$3cm$，此时$5$和$3$为直角边，$x$为斜边，则可列出方程$x^{2}=5^{2} + 3^{2}$，即$x^{2}=25 + 9 = 34$，因为$x$为线段长度，大于$0$，所以对$x^{2}=34$两边同时开平方可得$x=\sqrt{34}$。
情况二：当$5$为斜边时
此时$x$和$3$为直角边，根据勾股定理可列出方程$5^{2}=x^{2}+3^{2}$，即$x^{2}=25 - 9 = 16$，因为$x$为线段长度，大于$0$，所以对$x^{2}=16$两边同时开平方可得$x = 4$。
综上，第三条线段长为$4$或$\sqrt{34}$时，这三条线段构成直角三角形。
10. (★★) 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ C = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$BC = 4$，$DE$ 是 $△ ABD$ 的边 $AB$ 上的高，且 $AD = \sqrt{5}$，$BD = 2\sqrt{5}$。
(1) 试判断 $△ ABD$ 的形状，并说明理由；
(2) 求 $DE$ 的长。
(1) 试判断 $△ ABD$ 的形状，并说明理由；
(2) 求 $DE$ 的长。
答案
(1)
$AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$。
因为 $AD = \sqrt{5}$，$BD = 2\sqrt{5}$，所以$AD^{2} + BD^{2} = 5 + 20 = 25 = AB^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，$△ ABD$ 是直角三角形，且 $∠ ADB = 90^{\circ}$。
(2)
因为 $S_{△ ABD} = \frac{1}{2}AD · BD = \frac{1}{2} × \sqrt{5} × 2\sqrt{5} = 5$。
又因为 $S_{△ ABD} = \frac{1}{2}AB · DE = \frac{1}{2} × 5 × DE$。
所以 $\frac{1}{2} × 5 × DE = 5$，解得 $DE = 2$。
$AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$。
因为 $AD = \sqrt{5}$，$BD = 2\sqrt{5}$，所以$AD^{2} + BD^{2} = 5 + 20 = 25 = AB^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，$△ ABD$ 是直角三角形，且 $∠ ADB = 90^{\circ}$。
(2)
因为 $S_{△ ABD} = \frac{1}{2}AD · BD = \frac{1}{2} × \sqrt{5} × 2\sqrt{5} = 5$。
又因为 $S_{△ ABD} = \frac{1}{2}AB · DE = \frac{1}{2} × 5 × DE$。
所以 $\frac{1}{2} × 5 × DE = 5$，解得 $DE = 2$。
