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1. (★)观察这些二次根式：$\sqrt{5}$，$3\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{21}}{2}$，$\frac{a\sqrt{b}}{b}$，可以发现它们有如下两个特点：(1)被开方数不含；(2)被开方数中不含。满足上述两个条件的二次根式叫作最简二次根式。
答案
（1）分母；（2）能开得尽方的因数或因式
解析
本题可根据最简二次根式的定义来确定其特点。最简二次根式需满足被开方数中不含分母且不含能开得尽方的因数或因式。对于给出的二次根式$\sqrt{5}$，$3\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{21}}{2}$，$\frac{a\sqrt{b}}{b}$，分析可得其特点：
对于特点（1），观察这些二次根式可知它们的被开方数不含分母。
对于特点（2），被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
对于特点（1），观察这些二次根式可知它们的被开方数不含分母。
对于特点（2），被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
2. (★)填空：$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=$，$\sqrt{72}=$，$\sqrt{200}=$，$\frac{\sqrt{3a}}{\sqrt{12ab}}=$。
答案
$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$6\sqrt{2}$，$10\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{b}}{2b}$
解析
1. $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
2. $\sqrt{72}=\sqrt{36×2}=\sqrt{36}×\sqrt{2}=6\sqrt{2}$
3. $\sqrt{200}=\sqrt{100×2}=\sqrt{100}×\sqrt{2}=10\sqrt{2}$
4. $\frac{\sqrt{3a}}{\sqrt{12ab}}=\sqrt{\frac{3a}{12ab}}=\sqrt{\frac{1}{4b}}=\frac{1}{2\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{b}}{2b}$
2. $\sqrt{72}=\sqrt{36×2}=\sqrt{36}×\sqrt{2}=6\sqrt{2}$
3. $\sqrt{200}=\sqrt{100×2}=\sqrt{100}×\sqrt{2}=10\sqrt{2}$
4. $\frac{\sqrt{3a}}{\sqrt{12ab}}=\sqrt{\frac{3a}{12ab}}=\sqrt{\frac{1}{4b}}=\frac{1}{2\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{b}}{2b}$
3. (★)一个圆柱的体积$V = 3\sqrt{3}$，高$h = 5\sqrt{5}$，求它的底面积$S$。
答案
解：圆柱体积公式 $ V = S · h $，则 $ S = \frac{V}{h} $。
代入 $ V = 3\sqrt{3} $，$ h = 5\sqrt{5} $，得：
$ S = \frac{3\sqrt{3}}{5\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{3} · \sqrt{5}}{5\sqrt{5} · \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{15}}{25} $
结论：底面积 $ S = \frac{3\sqrt{15}}{25} $
代入 $ V = 3\sqrt{3} $，$ h = 5\sqrt{5} $，得：
$ S = \frac{3\sqrt{3}}{5\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{3} · \sqrt{5}}{5\sqrt{5} · \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{15}}{25} $
结论：底面积 $ S = \frac{3\sqrt{15}}{25} $
4. (★)下列二次根式是最简二次根式的是【 】
A.$\sqrt{\frac{2}{3}}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{9}$
D.$\sqrt{12}$
A.$\sqrt{\frac{2}{3}}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{9}$
D.$\sqrt{12}$
答案
B
解析
最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，
A选项$\sqrt{\frac{2}{3}}$，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B选项$\sqrt{3}$，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式；
C选项$\sqrt{9}=3$，$9$能开得尽方，不是最简二次根式；
D选项$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$12$含有能开得尽方的因数$4$，不是最简二次根式。
A选项$\sqrt{\frac{2}{3}}$，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B选项$\sqrt{3}$，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式；
C选项$\sqrt{9}=3$，$9$能开得尽方，不是最简二次根式；
D选项$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$12$含有能开得尽方的因数$4$，不是最简二次根式。
5. (★)有下列二次根式：$\sqrt{5}$，$\sqrt{\frac{1}{3}}$，$-2\sqrt{a^{2}b}$，$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$。其中是最简二次根式的有【 】
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
B
解析
最简二次根式需满足两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式。
$\sqrt{5}$：5是无平方因数的整数，满足条件，是最简二次根式。
$\sqrt{\frac{1}{3}}$：被开方数为分数，可化为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，不满足整式条件，不是最简二次根式。
$-2\sqrt{a^{2}b}$：$a^{2}b$中$a^{2}$为平方因数，可化为$-2|a|\sqrt{b}$，不是最简二次根式。
$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$：$x^{2}+y^{2}$无平方因式，满足条件，是最简二次根式。
综上，$\sqrt{5}$和$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$是最简二次根式，共2个。
$\sqrt{5}$：5是无平方因数的整数，满足条件，是最简二次根式。
$\sqrt{\frac{1}{3}}$：被开方数为分数，可化为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，不满足整式条件，不是最简二次根式。
$-2\sqrt{a^{2}b}$：$a^{2}b$中$a^{2}$为平方因数，可化为$-2|a|\sqrt{b}$，不是最简二次根式。
$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$：$x^{2}+y^{2}$无平方因式，满足条件，是最简二次根式。
综上，$\sqrt{5}$和$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$是最简二次根式，共2个。
6. (★)若$\sqrt{3m - 4}$是最简二次根式，且$m$为整数，则$m$的最小值是。
答案
2
解析
要使$\sqrt{3m - 4}$是最简二次根式，则被开方数$3m - 4$不含能开得尽方的因数或因式，且$3m - 4 ≥ 0$，即$m ≥ \frac{4}{3}$。因为$m$为整数，所以$m$的最小整数为2。当$m=2$时，$3m - 4 = 2$，$\sqrt{2}$是最简二次根式。
7. (★)在$\sqrt{14}$，$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，$\sqrt{27}$，$\sqrt{m^{2}+1}$中，最简二次根式有个。
答案
3
解析
最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式。$\sqrt{14}$满足条件；$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$满足条件；$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；$\sqrt{m^{2}+1}$满足条件。故最简二次根式有3个。
8. (★★)把下列二次根式化为最简二次根式：
(1)$\sqrt{8a^{2}b^{3}}(a≥0,b≥0)$；
(2)$\sqrt{\frac{8}{5}}$；
(3)$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$；
(4)$\sqrt{\frac{3y^{3}}{2x^{2}}}(x ＞ 0)$。
(1)$\sqrt{8a^{2}b^{3}}(a≥0,b≥0)$；
(2)$\sqrt{\frac{8}{5}}$；
(3)$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$；
(4)$\sqrt{\frac{3y^{3}}{2x^{2}}}(x ＞ 0)$。
答案
(1)
$\sqrt{8a^{2}b^{3}} = \sqrt{4a^{2}b^{2} · 2b}=2ab\sqrt{2b}$。
(2)
$\sqrt{\frac{8}{5}} = \sqrt{\frac{8 × 5}{5× 5}}=\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{25}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$。
(3)
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2} × \sqrt{5}}{\sqrt{5} × \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$。
(4)
$\sqrt{\frac{3y^{3}}{2x^{2}}} =\sqrt{\frac{3y^{2}· y·2}{2x^{2}· 2}}=\frac{y\sqrt{6y}}{2x}$。
$\sqrt{8a^{2}b^{3}} = \sqrt{4a^{2}b^{2} · 2b}=2ab\sqrt{2b}$。
(2)
$\sqrt{\frac{8}{5}} = \sqrt{\frac{8 × 5}{5× 5}}=\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{25}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$。
(3)
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2} × \sqrt{5}}{\sqrt{5} × \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$。
(4)
$\sqrt{\frac{3y^{3}}{2x^{2}}} =\sqrt{\frac{3y^{2}· y·2}{2x^{2}· 2}}=\frac{y\sqrt{6y}}{2x}$。
9. (★)下列二次根式属于最简二次根式的是【 】
A.$\sqrt{8}$
B.$\sqrt{m^{2}+1}$
C.$\sqrt{x^{2}}$
D.$\sqrt{\frac{1}{2}}$
A.$\sqrt{8}$
B.$\sqrt{m^{2}+1}$
C.$\sqrt{x^{2}}$
D.$\sqrt{\frac{1}{2}}$
答案
B
解析
最简二次根式需满足被开方数不含能开得尽方的因数或式，且被开方数的因数是整数，因式是整式。
选项A：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，可化简，不是最简二次根式。
选项B：$m^{2}+1$不能再分解成能开得尽方的因式，$\sqrt{m^{2}+1}$是最简二次根式。
选项C：$\sqrt{x^{2}}=\vert x\vert$，可化简，不是最简二次根式。
选项D：$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，被开方数含分母，不是最简二次根式。
选项A：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，可化简，不是最简二次根式。
选项B：$m^{2}+1$不能再分解成能开得尽方的因式，$\sqrt{m^{2}+1}$是最简二次根式。
选项C：$\sqrt{x^{2}}=\vert x\vert$，可化简，不是最简二次根式。
选项D：$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，被开方数含分母，不是最简二次根式。
