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1. 六边形结构在中国古建筑中被广泛应用，象征着“六合”和“六顺”之意，常被用于家居配饰和建筑装饰中。图①是一个正六边形窗户图案，则图②中正六边形 $ABCDEF$ 的内角和为。
答案
720°
解析
根据多边形内角和公式：$(n-2)×180°$，其中$n$为多边形的边数。正六边形有6条边，即$n=6$，所以内角和为$(6-2)×180°=4×180°=720°$。
2. 若一个多边形的内角和与它的外角和的比为 $7:2$，则这个多边形是边形。
答案
九
解析
设多边形的边数为$n$，根据多边形的内角和公式，其内角和为$(n - 2) × 180^{\circ}$，多边形的外角和恒为$360^{\circ}$。
由题意得$\frac{(n - 2)×180^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{7}{2}$，
即$(n - 2)×180^{\circ}=\frac{7}{2}×360^{\circ}$，
$(n - 2)×180^{\circ}=1260^{\circ}$，
$n - 2 = 7$，
解得$n = 9$。
由题意得$\frac{(n - 2)×180^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{7}{2}$，
即$(n - 2)×180^{\circ}=\frac{7}{2}×360^{\circ}$，
$(n - 2)×180^{\circ}=1260^{\circ}$，
$n - 2 = 7$，
解得$n = 9$。
3. 一片树叶在显微镜下的细胞图片如图，一个细胞可近似看成一个多边形，则该多边形的内角和是。
答案
720°
解析
由图可知该多边形为六边形，根据多边形内角和公式：$(n-2)×180°$（其中$n$为边数），可得内角和为$(6-2)×180° = 720°$。
4. 如图，以正五边形 $ABCDE$ 的边 $CD$ 为边向内作正方形 $CDFG$，则 $∠ BCG$ 的度数为。
答案
18°
解析
正五边形内角和为$(5-2)×180^{\circ}=540^{\circ}$，每个内角为$540^{\circ}÷5=108^{\circ}$，故$∠ BCD=108^{\circ}$。正方形$CDFG$中，$∠ DCG=90^{\circ}$。因为正方形向内作，所以$CG$在$∠ BCD$内部，$∠ BCG=∠ BCD - ∠ DCG=108^{\circ}-90^{\circ}=18^{\circ}$。
5. 已知一个多边形的内角和是外角和的 $3$ 倍。
(1)求这个多边形的边数；
(2)若这个多边形是正多边形，则该正多边形的一个内角的度数是。
(1)求这个多边形的边数；
(2)若这个多边形是正多边形，则该正多边形的一个内角的度数是。
答案
(1)设多边形的边数为$n$，
根据多边形的内角和公式，其内角和为$(n - 2) × 180^{\circ}$，
多边形的外角和总是$360^{\circ}$，
根据题意，有：
$(n - 2) × 180^{\circ} = 3 × 360^{\circ}$，
$n - 2 = 6$，
$n = 8$，
答：这个多边形的边数为8。
(2)正多边形的每个内角的度数为：
$\frac{(n - 2) × 180^{\circ}}{n} = \frac{(8 - 2) × 180^{\circ}}{8} = 135^{\circ}$，
答：这个正多边形的一个内角的度数为$135^{\circ}$。
根据多边形的内角和公式，其内角和为$(n - 2) × 180^{\circ}$，
多边形的外角和总是$360^{\circ}$，
根据题意，有：
$(n - 2) × 180^{\circ} = 3 × 360^{\circ}$，
$n - 2 = 6$，
$n = 8$，
答：这个多边形的边数为8。
(2)正多边形的每个内角的度数为：
$\frac{(n - 2) × 180^{\circ}}{n} = \frac{(8 - 2) × 180^{\circ}}{8} = 135^{\circ}$，
答：这个正多边形的一个内角的度数为$135^{\circ}$。
6. 提升题 在四边形 $ABCD$ 中，$∠ A=98^{\circ}$，$∠ D=140^{\circ}$。
(1)如图①，若 $∠ B=∠ C$，则 $∠ B=$。
(2)如图②，作 $∠ BCD$ 的平分线 $CE$，交 $AB$ 于点 $E$。若 $CE// AD$，求 $∠ B$ 的度数。
(1)如图①，若 $∠ B=∠ C$，则 $∠ B=$。
(2)如图②，作 $∠ BCD$ 的平分线 $CE$，交 $AB$ 于点 $E$。若 $CE// AD$，求 $∠ B$ 的度数。
答案
(1) 61°
(2) ∵ CE//AD，∠D=140°，
∴ ∠D + ∠DCE = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠DCE = 180° - 140° = 40°.
∵ CE平分∠BCD，
∴ ∠BCD = 2∠DCE = 80°.
∵ 四边形内角和为360°，∠A=98°，∠D=140°，
∴ ∠B = 360° - ∠A - ∠D - ∠BCD = 360° - 98° - 140° - 80° = 42°.
故∠B=42°.
(2) ∵ CE//AD，∠D=140°，
∴ ∠D + ∠DCE = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠DCE = 180° - 140° = 40°.
∵ CE平分∠BCD，
∴ ∠BCD = 2∠DCE = 80°.
∵ 四边形内角和为360°，∠A=98°，∠D=140°，
∴ ∠B = 360° - ∠A - ∠D - ∠BCD = 360° - 98° - 140° - 80° = 42°.
故∠B=42°.
