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8. 如图，正五边形 $ ABCDE $ 的边 $ AB $，$ DC $ 的延长线交于点 $ F $，则 $ ∠ F $ 的大小为
36
度。答案
8. 36
9. 平行四边形的一组邻边长分别为 $ 3 $，$ 4 $，一条对角线长为 $ n $。若 $ n $ 为整数，则 $ n $ 的值可以为
$ 2 $（或 $ 3 $ 或 $ 4 $ 或 $ 5 $ 或 $ 6 $）
。(写出一个即可)答案
9. $ 2 $（或 $ 3 $ 或 $ 4 $ 或 $ 5 $ 或 $ 6 $）
10. 如图，在 $ □ ABCD $ 中，$ ∠ BCD $ 的平分线交 $ AB $ 于点 $ E $，若 $ AD = 2 $，则 $ BE = $
2
。答案
10. 2
11. 如图，$ E $ 是平行四边形 $ ABCD $ 的边 $ CD $ 的中点，连结 $ AE $ 并延长交 $ BC $ 的延长线于点 $ F $，$ AD = 5 $。求证：$ △ ADE ≌ △ FCE $，并求 $ BF $ 的长。
答案
解：
∵四边形 $ A B C D $ 是平行四边形，
∴ $ B C // A D $，$ B C = A D = 5 $，
∴ $ ∠ D = ∠ F C E $。
∵ $ E $ 是 $ C D $ 的中点，
∴ $ D E = C E $。
在 $ △ A D E $ 和 $ △ F C E $ 中，
$ \{ \begin{array} { l } { ∠ D = ∠ F C E , } \\ { D E = C E , } \\ { ∠ A E D = ∠ F E C , } \end{array} $
∴ $ △ A D E ≌ △ F C E ( \mathrm { ASA } ) $，
∴ $ F C = A D = 5 $，
∴ $ B F = B C + F C = 5 + 5 = 10 $。
∵四边形 $ A B C D $ 是平行四边形，
∴ $ B C // A D $，$ B C = A D = 5 $，
∴ $ ∠ D = ∠ F C E $。
∵ $ E $ 是 $ C D $ 的中点，
∴ $ D E = C E $。
在 $ △ A D E $ 和 $ △ F C E $ 中，
$ \{ \begin{array} { l } { ∠ D = ∠ F C E , } \\ { D E = C E , } \\ { ∠ A E D = ∠ F E C , } \end{array} $
∴ $ △ A D E ≌ △ F C E ( \mathrm { ASA } ) $，
∴ $ F C = A D = 5 $，
∴ $ B F = B C + F C = 5 + 5 = 10 $。
12. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ ABC = 90° $，$ DH $ 垂直平分 $ AB $ 交 $ AC $ 于点 $ E $，连结 $ BE $，$ CD $，且 $ CD = CE $。
(1) 如图 1，求证：四边形 $ BCDE $ 是平行四边形。
(2) 如图 2，点 $ F $ 在 $ AB $ 上，且 $ BF = BC $，连结 $ BD $，若 $ BD $ 平分 $ ∠ ABC $，试判断 $ DF $ 与 $ AC $ 的位置关系，并证明你的结论。
(1) 如图 1，求证：四边形 $ BCDE $ 是平行四边形。
(2) 如图 2，点 $ F $ 在 $ AB $ 上，且 $ BF = BC $，连结 $ BD $，若 $ BD $ 平分 $ ∠ ABC $，试判断 $ DF $ 与 $ AC $ 的位置关系，并证明你的结论。
答案
解：(1)证明：
∵ $ D H $ 垂直平分 $ A B $ 交 $ A C $ 于点 $ E $，
∴ $ A E = B E $，$ ∠ A H E = ∠ B H E = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ ∠ A = ∠ A B E $，$ ∠ A + ∠ A E H = ∠ A B E + ∠ B E H = 90 ^ { \circ } $。
∵ $ ∠ A B C = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ ∠ A + ∠ A C B = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ ∠ A E H = ∠ A C B = ∠ B E H $。
∵ $ C E = C D $，
∴ $ ∠ D = ∠ C E D $。
∵ $ ∠ A E H = ∠ C E D $，
∴ $ ∠ D = ∠ B E H $，$ ∠ C E D = ∠ A C B $，
∴ $ B E // C D $，$ B C // E D $，
∴四边形 $ B C D E $ 是平行四边形。
(2)$ D F ⊥ A C $。
证明：
∵四边形 $ B C D E $ 是平行四边形，
∴ $ D E = B C $。
∵ $ B C = B F $，
∴ $ B F = D E $。
∵ $ B D $ 平分 $ ∠ A B C $，$ ∠ A B C = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ ∠ H B D = 45 ^ { \circ } $。
∵ $ ∠ B H D = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ ∠ H B D = ∠ H D B = 45 ^ { \circ } $，
∴ $ D H = B H = A H $，
∴ $ D H - D E = B H - B F $，
∴ $ H E = H F $。
在 $ △ D H F $ 和 $ △ A H E $ 中，
$ \because \{ \begin{array} { l } { D H = A H , } \\ { ∠ D H F = ∠ A H E , } \\ { H F = H E , } \end{array} $
∴ $ △ D H F ≌ △ A H E ( \mathrm { SAS } ) $，
∴ $ ∠ A = ∠ F D H $。
∵ $ ∠ A + ∠ A E H = 90 ^ { \circ } $，$ ∠ D E C = ∠ A E H $，
∴ $ ∠ F D H + ∠ D E C = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ ∠ E G D = 180 ^ { \circ } - 90 ^ { \circ } = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ D F ⊥ A C $。
∵ $ D H $ 垂直平分 $ A B $ 交 $ A C $ 于点 $ E $，
∴ $ A E = B E $，$ ∠ A H E = ∠ B H E = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ ∠ A = ∠ A B E $，$ ∠ A + ∠ A E H = ∠ A B E + ∠ B E H = 90 ^ { \circ } $。
∵ $ ∠ A B C = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ ∠ A + ∠ A C B = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ ∠ A E H = ∠ A C B = ∠ B E H $。
∵ $ C E = C D $，
∴ $ ∠ D = ∠ C E D $。
∵ $ ∠ A E H = ∠ C E D $，
∴ $ ∠ D = ∠ B E H $，$ ∠ C E D = ∠ A C B $，
∴ $ B E // C D $，$ B C // E D $，
∴四边形 $ B C D E $ 是平行四边形。
(2)$ D F ⊥ A C $。
证明：
∵四边形 $ B C D E $ 是平行四边形，
∴ $ D E = B C $。
∵ $ B C = B F $，
∴ $ B F = D E $。
∵ $ B D $ 平分 $ ∠ A B C $，$ ∠ A B C = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ ∠ H B D = 45 ^ { \circ } $。
∵ $ ∠ B H D = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ ∠ H B D = ∠ H D B = 45 ^ { \circ } $，
∴ $ D H = B H = A H $，
∴ $ D H - D E = B H - B F $，
∴ $ H E = H F $。
在 $ △ D H F $ 和 $ △ A H E $ 中，
$ \because \{ \begin{array} { l } { D H = A H , } \\ { ∠ D H F = ∠ A H E , } \\ { H F = H E , } \end{array} $
∴ $ △ D H F ≌ △ A H E ( \mathrm { SAS } ) $，
∴ $ ∠ A = ∠ F D H $。
∵ $ ∠ A + ∠ A E H = 90 ^ { \circ } $，$ ∠ D E C = ∠ A E H $，
∴ $ ∠ F D H + ∠ D E C = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ ∠ E G D = 180 ^ { \circ } - 90 ^ { \circ } = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ D F ⊥ A C $。
