例1 计算：
(1)$(2m-3n)^{2}$；
(2)$(2m+3n)^{2}$；
(3)$(-2m+3n)^{2}$；
(4)$(-2m-3n)^{2}$；
(5)$(x+\dfrac{1}{x})^{2}$；
(6)$(x-\dfrac{1}{x})^{2}$.

(1)$(2m-3n)^{2}=(2m)^{2}-2×2m×3n+(3n)^{2}=4m^{2}-12mn+9n^{2}$；
(2)$(2m+3n)^{2}=(2m)^{2}+2×2m×3n+(3n)^{2}=4m^{2}+12mn+9n^{2}$；
(3)$(-2m+3n)^{2}=(-2m)^{2}+2×(-2m)×3n+(3n)^{2}=4m^{2}-12mn+9n^{2}$；
(4)$(-2m-3n)^{2}=(-2m)^{2}-2×(-2m)×3n+(3n)^{2}=4m^{2}+12mn+9n^{2}$；
(5)$(x+\dfrac{1}{x})^{2}=x^{2}+2× x×\dfrac{1}{x}+(\dfrac{1}{x})^{2}=x^{2}+2+\dfrac{1}{x^{2}}$；
(6)$(x-\dfrac{1}{x})^{2}=x^{2}-2× x×\dfrac{1}{x}+(\dfrac{1}{x})^{2}=x^{2}-2+\dfrac{1}{x^{2}}$.

例2 已知a，b为实数，且满足$ab＞0$，$a+b=2$.当$a-b$为整数时，求ab的值.
训练与提高

因为$a + b = 2$，所以$(a + b)^2 = 4$，即$a^2 + 2ab + b^2 = 4$。
设$k = a - b$（$k$为整数），则$(a - b)^2 = k^2$，即$a^2 - 2ab + b^2 = k^2$。
两式相减得：$(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = 4 - k^2$，化简得$4ab = 4 - k^2$，故$ab = \frac{4 - k^2}{4}$。
因为$ab ＞ 0$，所以$\frac{4 - k^2}{4} ＞ 0$，即$4 - k^2 ＞ 0$，$k^2 ＜ 4$。
又因为$k$为整数，所以$k^2 = 0$或$k^2 = 1$。
当$k^2 = 0$时，$k = 0$，$ab = \frac{4 - 0}{4} = 1$；
当$k^2 = 1$时，$k = \pm1$，$ab = \frac{4 - 1}{4} = \frac{3}{4}$。
综上，$ab$的值为$1$或$\frac{3}{4}$。

1. 在下列式子中，能用完全平方公式计算的是 ()

A.$(a+1)(1-a)$
B.$(-a+b)(a-b)$
C.$(a+1)(a+2)$
D.$(-a-b)(a-b)$

B

完全平方公式为$(m\pm n)^2 = m^2 \pm 2mn + n^2$，其特点是两个相同的二项式相乘。
A选项$(a + 1)(1 - a)=-(a + 1)(a - 1)$，是平方差公式，不符合；
B选项$(-a + b)(a - b)=-(a - b)(a - b)=-(a - b)^2$，符合完全平方公式形式；
C选项$(a + 1)(a + 2)$是多项式乘多项式，不符合；
D选项$(-a - b)(a - b)=-(a + b)(a - b)$，是平方差公式，不符合。

2. 已知$a+\dfrac{1}{a}=3$，则$a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}}$的值为 ()

A.9
B.7
C.11
D.6

B

由已知$a+\dfrac{1}{a}=3$，两边平方得$(a + \dfrac{1}{a})^2 = 3^2$，根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2 + 2mn + n^2$，这里$m = a$，$n=\dfrac{1}{a}$，则$a^{2}+2× a×\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^{2}} = 9$，即$a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}}+2 = 9$，移项可得$a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}}=9 - 2=7$。