登录
例2 计算：
(1)$-6x^{2}y(a - b)^{3}· \frac{1}{3}xy^{2}(b - a)^{2}$；
(2)$(-2× 10^{3})× (2.5× 10^{5})^{2}$。
(1)$-6x^{2}y(a - b)^{3}· \frac{1}{3}xy^{2}(b - a)^{2}$；
(2)$(-2× 10^{3})× (2.5× 10^{5})^{2}$。
答案
(1)
首先，将系数相乘：$-6 × \frac{1}{3} = -2$；
接着，根据$ (a - b)^{3} ·(b - a)^{2} = (a - b)^{3} ·(a - b)^{2} = (a - b)^{5}$，将 $x$ 的指数相加：$x^{2} · x = x^{3}$；
然后，将 $y$ 的指数相加：$y · y^{2} = y^{3}$；
最后，综合上述结果，得：
原式$= -2x^{3}y^{3}(a - b)^{5}$；
(2)
首先，计算 $ (2.5×10^{5})^{2}$：
根据$(a× b)^n=a^n× b^n$，将 $2.5$ 的平方计算为 $6.25$，$10^{5}$ 的平方为 $10^{10}$，所以，$ (2.5×10^{5})^{2} = 6.25 × 10^{10}$；
接着，$-2× 6.25 = -12.5$；
然后，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，将 $10^{3}$ 与 $10^{10}$ 相乘得到 $10^{13}$；
所以，原式可以表示为：
$ -12.5 × 10^{13}$；
最后，将其转换为标准的科学记数法：
$ -12.5 × 10^{13} = -1.25 × 10^{14}$；
所以，本题答案为：$-1.25 × 10^{14}$。
首先，将系数相乘：$-6 × \frac{1}{3} = -2$；
接着，根据$ (a - b)^{3} ·(b - a)^{2} = (a - b)^{3} ·(a - b)^{2} = (a - b)^{5}$，将 $x$ 的指数相加：$x^{2} · x = x^{3}$；
然后，将 $y$ 的指数相加：$y · y^{2} = y^{3}$；
最后，综合上述结果，得：
原式$= -2x^{3}y^{3}(a - b)^{5}$；
(2)
首先，计算 $ (2.5×10^{5})^{2}$：
根据$(a× b)^n=a^n× b^n$，将 $2.5$ 的平方计算为 $6.25$，$10^{5}$ 的平方为 $10^{10}$，所以，$ (2.5×10^{5})^{2} = 6.25 × 10^{10}$；
接着，$-2× 6.25 = -12.5$；
然后，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，将 $10^{3}$ 与 $10^{10}$ 相乘得到 $10^{13}$；
所以，原式可以表示为：
$ -12.5 × 10^{13}$；
最后，将其转换为标准的科学记数法：
$ -12.5 × 10^{13} = -1.25 × 10^{14}$；
所以，本题答案为：$-1.25 × 10^{14}$。
1. 下列说法中正确的有()
① 单项式必须是同类项才能相乘；② 几个单项式的积仍是单项式；③ 几个单项式的和仍是单项式；④ 几个单项式相乘，有一个因式为 0，积一定为 0.
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
① 单项式必须是同类项才能相乘；② 几个单项式的积仍是单项式；③ 几个单项式的和仍是单项式；④ 几个单项式相乘，有一个因式为 0，积一定为 0.
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
B
解析
①单项式相乘不要求必须是同类项，任何单项式之间都可以相乘，所以①错误；
②几个单项式相乘的结果仍然是单项式，符合单项式乘单项式的规则，所以②正确；
③几个单项式的和可能是多项式，不一定是单项式，例如$2x + 3y$，所以③错误；
④几个单项式相乘，若其中一个因式为0，则积为0，这是乘法的基本性质，所以④正确。
综上，正确的有②④，共2个。
②几个单项式相乘的结果仍然是单项式，符合单项式乘单项式的规则，所以②正确；
③几个单项式的和可能是多项式，不一定是单项式，例如$2x + 3y$，所以③错误；
④几个单项式相乘，若其中一个因式为0，则积为0，这是乘法的基本性质，所以④正确。
综上，正确的有②④，共2个。
2. $(-7x)· \frac{4}{7}x^{2}y$的运算结果是()
A.$-4x^{2}y$
B.$-4x^{3}y$
C.$4x^{2}y$
D.$4x^{3}y$
A.$-4x^{2}y$
B.$-4x^{3}y$
C.$4x^{2}y$
D.$4x^{3}y$
答案
B
解析
根据单项式乘单项式的运算法则，先将系数相乘，再将同底数的幂相乘，对于只在一个单项式中含有的字母，直接作为积的一个因式。
系数相乘：$(-7)×\frac{4}{7}=-4$，
同底数幂相乘：$x· x^{2}=x^{1 + 2}=x^{3}$，
$y$照写，所以$(-7x)·\frac{4}{7}x^{2}y=-4x^{3}y$。
系数相乘：$(-7)×\frac{4}{7}=-4$，
同底数幂相乘：$x· x^{2}=x^{1 + 2}=x^{3}$，
$y$照写，所以$(-7x)·\frac{4}{7}x^{2}y=-4x^{3}y$。
3. $(ax^{2})· (a^{2}x)=$；$(-3x^{3}y)· (-x^{4})(-y^{3})=$。
答案
第一题：
$(ax^{2}) · (a^{2}x)$
$= a · a^{2} · x^{2} · x$
$= a^{1+2} · x^{2+1}$
$= a^{3}x^{3}$
第二题：
$(-3x^{3}y) · (-x^{4}) · (-y^{3})$
$= (-3) · (-1) · (-1) · x^{3} · x^{4} · y · y^{3}$
$= -3x^{7}y^{4}$
故答案为：$a^{3}x^{3}$；$-3x^{7}y^{4}$。
$(ax^{2}) · (a^{2}x)$
$= a · a^{2} · x^{2} · x$
$= a^{1+2} · x^{2+1}$
$= a^{3}x^{3}$
第二题：
$(-3x^{3}y) · (-x^{4}) · (-y^{3})$
$= (-3) · (-1) · (-1) · x^{3} · x^{4} · y · y^{3}$
$= -3x^{7}y^{4}$
故答案为：$a^{3}x^{3}$；$-3x^{7}y^{4}$。
4. $(-2xy^{2})·$( )$=8x^{3}y^{2}z$；( )$· (x^{2}y)^{2}=-x^{5}y^{3}$。
答案
第一个空：设所求单项式为A，由题意得A = 8x³y²z ÷ (-2xy²)。系数：8 ÷ (-2) = -4；x的指数：3 - 1 = 2；y的指数：2 - 2 = 0（省略）；z的指数：1。故A = -4x²z。
第二个空：先计算(x²y)² = x⁴y²，设所求单项式为B，由题意得B = -x⁵y³ ÷ x⁴y²。系数：-1 ÷ 1 = -1；x的指数：5 - 4 = 1；y的指数：3 - 2 = 1。故B = -xy。
-4x²z；-xy
第二个空：先计算(x²y)² = x⁴y²，设所求单项式为B，由题意得B = -x⁵y³ ÷ x⁴y²。系数：-1 ÷ 1 = -1；x的指数：5 - 4 = 1；y的指数：3 - 2 = 1。故B = -xy。
-4x²z；-xy
5. 计算：
(1)$3x^{2}y· 2x^{2}$；
(2)$(5ab^{2})· (-2a^{2}bc)$；
(3)$(-5a^{2}b)· (-3a)$；
(4)$(-2x^{m}y^{n})· (-x^{3}y^{n})· (-5xy^{3})$。
(1)$3x^{2}y· 2x^{2}$；
(2)$(5ab^{2})· (-2a^{2}bc)$；
(3)$(-5a^{2}b)· (-3a)$；
(4)$(-2x^{m}y^{n})· (-x^{3}y^{n})· (-5xy^{3})$。
答案
(1)
$3x^{2}y· 2x^{2}$
$=(3×2)×(x^{2}· x^{2})× y$
$ = 6x^{4}y$
(2)
$(5ab^{2})·(-2a^{2}bc)$
$=[5×(-2)]×(a· a^{2})×(b^{2}· b)× c$
$=-10a^{3}b^{3}c$
(3)
$(-5a^{2}b)·(-3a)$
$=[(-5)×(-3)]×(a^{2}· a)× b$
$ = 15a^{3}b$
(4)
$(-2x^{m}y^{n})·(-x^{3}y^{n})·(-5xy^{3})$
$=[(-2)×(-1)×(-5)]×(x^{m}· x^{3}· x)×(y^{n}· y^{n}· y^{3})$
$=-10x^{m + 4}y^{2n+3}$
$3x^{2}y· 2x^{2}$
$=(3×2)×(x^{2}· x^{2})× y$
$ = 6x^{4}y$
(2)
$(5ab^{2})·(-2a^{2}bc)$
$=[5×(-2)]×(a· a^{2})×(b^{2}· b)× c$
$=-10a^{3}b^{3}c$
(3)
$(-5a^{2}b)·(-3a)$
$=[(-5)×(-3)]×(a^{2}· a)× b$
$ = 15a^{3}b$
(4)
$(-2x^{m}y^{n})·(-x^{3}y^{n})·(-5xy^{3})$
$=[(-2)×(-1)×(-5)]×(x^{m}· x^{3}· x)×(y^{n}· y^{n}· y^{3})$
$=-10x^{m + 4}y^{2n+3}$
