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【例5】(数学文化)第十四届国际数学教育大会(ICME - 14)会徽的主题图案有着丰富的数学文化元素,展现了我国古代数学的文化魅力,如图所示,其右下方是用八卦符号来计数的,这个数是由四个二进制数组成的. 根据如图所示的会徽,回答下列问题：
(1)写出用八卦符号表示的四个二进制数；
(2)把(1)中的二进制数分别转换为十进制数,得到的这个四位数是______,将这个四位数看作一个八进制数,将这个八进制数转换为十进制数；
(3)结合(2)中最后得到的十进制数,说说第十四届国际数学教育大会(ICME - 14)会徽的主题图案中蕴含的意义.
(1)写出用八卦符号表示的四个二进制数；
(2)把(1)中的二进制数分别转换为十进制数,得到的这个四位数是______,将这个四位数看作一个八进制数,将这个八进制数转换为十进制数；
(3)结合(2)中最后得到的十进制数,说说第十四届国际数学教育大会(ICME - 14)会徽的主题图案中蕴含的意义.
答案
解:
(1)011 111 100 101；
(2)3745，$3745=3× 8^{3}+7× 8^{2}+4× 8^{1}+5× 8^{0}=2021$；
(3)用八卦符号的记数，表示第十四届国际数学教育大会在2021年召开.
(1)011 111 100 101；
(2)3745，$3745=3× 8^{3}+7× 8^{2}+4× 8^{1}+5× 8^{0}=2021$；
(3)用八卦符号的记数，表示第十四届国际数学教育大会在2021年召开.
解析
【分析】
解决本题首先要明确八卦符号的计数规则：完整的横线（阳爻）代表1，断开的横线（阴爻）代表0，每个八卦符号对应一个三位二进制数。解题步骤如下：1. 先将会徽中四个八卦符号分别转换为三位二进制数，完成第一问；2. 按照“二进制转十进制时，每一位数字乘对应2的幂次（从右往左幂次从0开始递增）”的规则，将四个二进制数分别转为十进制数，拼接得到四位数，再按照八进制转十进制的规则（每一位数字乘对应8的幂次，从右往左幂次从0开始递增）计算结果，完成第二问；3. 结合大会的召开时间分析即可完成第三问。
【解析】
(1) 根据八卦计数规则，阳爻记1、阴爻记0，从左到右四个八卦符号对应的三位二进制数依次为：011、111、100、101。
(2) 分别将四个二进制数转换为十进制数：
第一个：$011_{(2)}=0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 0+2+1=3$
第二个：$111_{(2)}=1×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 4+2+1=7$
第三个：$100_{(2)}=1×2^2 + 0×2^1 + 0×2^0 = 4+0+0=4$
第四个：$101_{(2)}=1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 = 4+0+1=5$
将得到的四个十进制数拼接，得到四位数3745。
再将八进制数3745转换为十进制数：
$3745_{(8)}=3×8^3 + 7×8^2 + 4×8^1 + 5×8^0$
$=3×512 +7×64 +4×8 +5×1$
$=1536 + 448 +32 +5 = 2021$
(3) 计算得到的十进制数是2021，说明第十四届国际数学教育大会是在2021年召开的，会徽用八卦计数的方式体现了会议的召开年份，展现了我国古代数学文化。
【答案】
(1) 011，111，100，101；
(2) 3745，转换为十进制数结果为2021；
(3) 会徽用八卦记数的方式表示第十四届国际数学教育大会在2021年召开。
【知识点】
二进制转十进制，八进制转十进制，进位制的应用
【点评】
本题结合优秀传统数学文化设计问题，既考查了不同进位制之间的转换方法，又能让学生感受我国古代数学的魅力，体会数学在实际生活中的应用价值，兼具知识性和趣味性。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确八卦符号的计数规则：完整的横线（阳爻）代表1，断开的横线（阴爻）代表0，每个八卦符号对应一个三位二进制数。解题步骤如下：1. 先将会徽中四个八卦符号分别转换为三位二进制数，完成第一问；2. 按照“二进制转十进制时，每一位数字乘对应2的幂次（从右往左幂次从0开始递增）”的规则，将四个二进制数分别转为十进制数，拼接得到四位数，再按照八进制转十进制的规则（每一位数字乘对应8的幂次，从右往左幂次从0开始递增）计算结果，完成第二问；3. 结合大会的召开时间分析即可完成第三问。
【解析】
(1) 根据八卦计数规则，阳爻记1、阴爻记0，从左到右四个八卦符号对应的三位二进制数依次为：011、111、100、101。
(2) 分别将四个二进制数转换为十进制数：
第一个：$011_{(2)}=0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 0+2+1=3$
第二个：$111_{(2)}=1×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 4+2+1=7$
第三个：$100_{(2)}=1×2^2 + 0×2^1 + 0×2^0 = 4+0+0=4$
第四个：$101_{(2)}=1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 = 4+0+1=5$
将得到的四个十进制数拼接，得到四位数3745。
再将八进制数3745转换为十进制数：
$3745_{(8)}=3×8^3 + 7×8^2 + 4×8^1 + 5×8^0$
$=3×512 +7×64 +4×8 +5×1$
$=1536 + 448 +32 +5 = 2021$
(3) 计算得到的十进制数是2021，说明第十四届国际数学教育大会是在2021年召开的，会徽用八卦计数的方式体现了会议的召开年份，展现了我国古代数学文化。
【答案】
(1) 011，111，100，101；
(2) 3745，转换为十进制数结果为2021；
(3) 会徽用八卦记数的方式表示第十四届国际数学教育大会在2021年召开。
【知识点】
二进制转十进制，八进制转十进制，进位制的应用
【点评】
本题结合优秀传统数学文化设计问题，既考查了不同进位制之间的转换方法，又能让学生感受我国古代数学的魅力，体会数学在实际生活中的应用价值，兼具知识性和趣味性。
【难度系数】
0.7
5. 小华设计了一个n进制数43,换算成十进制数是23,求n的值.
答案
解:依题意,有$4× n^{1}+3× n^{0}=23$,解得$n=5$. 故n的值是5.
解析
【分析】解题时首先要明确n进制数转十进制数的计算规则：n进制数从右往左，第1位数字乘$n^0$，第2位数字乘$n^1$，以此类推，所有乘积相加的和就是对应的十进制数。本题中n进制数为43，我们可以根据转换规则列出关于n的一元一次方程，再解方程得到n的值，最后验证n要大于数中最大的数位数字4即可。
【解析】
解：依题意，根据n进制转十进制的规则可列方程：
$4× n^1 + 3× n^0 = 23$
化简得 $4n + 3 = 23$
移项计算得 $4n = 20$
解得 $n = 5$
验证：5＞4，符合n进制的基数大于数位最大数字的要求，结果成立。
【答案】n的值是5
【知识点】
1. 进位制换算
2. 一元一次方程求解
【点评】本题是进位制的基础应用题型，解题关键是掌握不同进制转十进制的运算规则，结合方程求解即可，计算难度较低，注意验证进制基数的合理性就能避免出错。
【难度系数】
0.7
【解析】
解：依题意，根据n进制转十进制的规则可列方程：
$4× n^1 + 3× n^0 = 23$
化简得 $4n + 3 = 23$
移项计算得 $4n = 20$
解得 $n = 5$
验证：5＞4，符合n进制的基数大于数位最大数字的要求，结果成立。
【答案】n的值是5
【知识点】
1. 进位制换算
2. 一元一次方程求解
【点评】本题是进位制的基础应用题型，解题关键是掌握不同进制转十进制的运算规则，结合方程求解即可，计算难度较低，注意验证进制基数的合理性就能避免出错。
【难度系数】
0.7
6. (跨学科题)数字的进制应用在不同的领域中发挥着重要的作用. 无论是十进制、二进制、八进制还是十六进制,每种进制都有其独特的优势和适用场景. 当你要给你的网页添加颜色时,有时,你能够直接使用该颜色的名称,但是大多情况下,你只能使用十六进制代码来使用这些颜色(浏览器能够理解这些代码). 三原色(红、绿、蓝)的十六进制代码如下：
红色(red)：FF0000；
绿色(green)：008000；
蓝色(blue)：0000FF.
已知十六进制数与十进制数间对应关系如下：
|十进制|0|1|2|3|4|5|6|7|
|十六进制|0|1|2|3|4|5|6|7|
|十进制|8|9|10|11|12|13|14|15|
|十六进制|8|9|A|B|C|D|E|F|
请借助计算器,把上面三种颜色的代码转换为十进制代码.
红色(red)：FF0000；
绿色(green)：008000；
蓝色(blue)：0000FF.
已知十六进制数与十进制数间对应关系如下：
|十进制|0|1|2|3|4|5|6|7|
|十六进制|0|1|2|3|4|5|6|7|
|十进制|8|9|10|11|12|13|14|15|
|十六进制|8|9|A|B|C|D|E|F|
请借助计算器,把上面三种颜色的代码转换为十进制代码.
答案
解:红色(red)：FF0000：$15× 16^{5}+15× 16^{4}+0× 16^{3}+0× 16^{2}+0× 16^{1}+0× 16^{0}=16711680$；绿色(green)：008000：$0× 16^{5}+0× 16^{4}+8× 16^{3}+0× 16^{2}+0× 16^{1}+0× 16^{0}=32768$；蓝色(blue)：0000FF：$0× 16^{5}+0× 16^{4}+0× 16^{3}+0× 16^{2}+15× 16^{1}+15× 16^{0}=255$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确十六进制转十进制的计算规则：十六进制数的每一位对应不同的权重，从右往左数，最右侧第一位的权重是$16^0$，每向左移动一位，权重的指数加1。解题步骤分为三步：第一步对照题目给出的对应表，把十六进制的字符转换为对应的十进制数字；第二步将每个数位的十进制数值乘对应位的权重；第三步把所有乘积相加，即可得到最终的十进制数。本题的三个颜色代码均为6位十六进制数，从左到右对应权重依次为$16^5$、$16^4$、$16^3$、$16^2$、$16^1$、$16^0$，分别代入规则计算即可。
【解析】
解：十六进制转十进制规则：将每个数位的数值乘以该位对应的16的幂次（从右往左幂次从0开始递增），再将所有结果相加，其中十六进制的F对应十进制的15。
1. 红色（FF0000）转换：
$\begin{aligned}&15× 16^{5}+15× 16^{4}+0× 16^{3}+0× 16^{2}+0× 16^{1}+0× 16^{0}\\=&15×1048576 + 15×65536\\=&15728640+983040\\=&16711680\end{aligned}$
2. 绿色（008000）转换：
$\begin{aligned}&0× 16^{5}+0× 16^{4}+8× 16^{3}+0× 16^{2}+0× 16^{1}+0× 16^{0}\\=&8×4096\\=&32768\end{aligned}$
3. 蓝色（0000FF）转换：
$\begin{aligned}&0× 16^{5}+0× 16^{4}+0× 16^{3}+0× 16^{2}+15× 16^{1}+15× 16^{0}\\=&240+15\\=&255\end{aligned}$
【答案】
红色：16711680；绿色：32768；蓝色：255
【知识点】
1. 十六进制转十进制 2. 乘方运算 3. 有理数混合运算
【点评】
本题结合网页颜色代码的实际应用场景考查进制转换知识，既需要准确掌握十六进制与十进制的数值对应关系，也需要熟练运用乘方和四则运算规则，能帮助学生理解数学在跨学科场景中的实用价值。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确十六进制转十进制的计算规则：十六进制数的每一位对应不同的权重，从右往左数，最右侧第一位的权重是$16^0$，每向左移动一位，权重的指数加1。解题步骤分为三步：第一步对照题目给出的对应表，把十六进制的字符转换为对应的十进制数字；第二步将每个数位的十进制数值乘对应位的权重；第三步把所有乘积相加，即可得到最终的十进制数。本题的三个颜色代码均为6位十六进制数，从左到右对应权重依次为$16^5$、$16^4$、$16^3$、$16^2$、$16^1$、$16^0$，分别代入规则计算即可。
【解析】
解：十六进制转十进制规则：将每个数位的数值乘以该位对应的16的幂次（从右往左幂次从0开始递增），再将所有结果相加，其中十六进制的F对应十进制的15。
1. 红色（FF0000）转换：
$\begin{aligned}&15× 16^{5}+15× 16^{4}+0× 16^{3}+0× 16^{2}+0× 16^{1}+0× 16^{0}\\=&15×1048576 + 15×65536\\=&15728640+983040\\=&16711680\end{aligned}$
2. 绿色（008000）转换：
$\begin{aligned}&0× 16^{5}+0× 16^{4}+8× 16^{3}+0× 16^{2}+0× 16^{1}+0× 16^{0}\\=&8×4096\\=&32768\end{aligned}$
3. 蓝色（0000FF）转换：
$\begin{aligned}&0× 16^{5}+0× 16^{4}+0× 16^{3}+0× 16^{2}+15× 16^{1}+15× 16^{0}\\=&240+15\\=&255\end{aligned}$
【答案】
红色：16711680；绿色：32768；蓝色：255
【知识点】
1. 十六进制转十进制 2. 乘方运算 3. 有理数混合运算
【点评】
本题结合网页颜色代码的实际应用场景考查进制转换知识，既需要准确掌握十六进制与十进制的数值对应关系，也需要熟练运用乘方和四则运算规则，能帮助学生理解数学在跨学科场景中的实用价值。
【难度系数】
0.7
