6. 如图,二次函数$y = -x^{2}+2x + m$的图像与$x$轴的一个交点为$A(3,0)$,另一个交点为$B$,且与$y$轴交于点$C$.
(1) 求$m$的值.
(2) 求点$B$的坐标.
(3) 在该函数的图像上是否存在点$D$(不与点$C$重合),使$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ABC}$? 若存在,求点$D$的坐标;若不存在,请说明理由.

(第6题)

解：​(1)​将点​A(3，​​0)​代入得$​-3^2+2×3+m=0​$
∴​m=3​
​(2)​∵二次函数$​y=-x^2+2x+3​$的对称轴为直线​x=1​
∴另外一个交点为​B(-1，​​0)​
​(3)​以​AB​为底，若$​S_{△ABD}=S_{△ABC}​$
则点​C、​​D​到直线​AB​的距离相等
若设​D(x，​​y)，​则​y=±3​
当​y=3​时，$​-x^2+2x+3=3，$​解得$​x_{1}=0、$$​​x_{2}=2​$
∴$​D_{1}(2，$​​3)​
当​y=-3​时，$​-x^2+2x+3=-3，$​解得$​x_{3}=1+\sqrt{7}、$$​​x_{4}=1-\sqrt{7}​$
∴$​D_{2}(1+\sqrt{7}，$​​-3)、$​​D_{3}(1-\sqrt{7}，$​​-3)​
综上所述，点​D​的坐标为$​D_{1}(2，$​​3)、$​​D_{2}(1+ \sqrt{7}，$​​-3)、$​​D_{3}(1- \sqrt{7}，$​​-3)​

7. 设二次函数$y_{1}=a(x - x_{1})(x - x_{2})(a\neq0,x_{1}\neq x_{2})$的图像与一次函数$y_{2}=dx + e(d\neq0)$的图像交于点$(x_{1},0)$,若函数$y = y_{1}+y_{2}$的图像与$x$轴仅有一个交点,则().

A.$a(x_{1}-x_{2}) = d$
B.$a(x_{2}-x_{1}) = d$
C.$a(x_{1}-x_{2})^{2}=d$
D.$a(x_{1}+x_{2})^{2}=d$

B

8. 在平面直角坐标系中求两条直线的交点坐标,只需将两条直线相应的函数表达式联立方程组(或令函数值$y$相等),方程组的解就是交点的坐标. 同样,求抛物线与直线的交点坐标,可以类比求直线与直线的交点坐标的方法进行. 如,求函数$y = x^{2}-1$和$y=\frac{5}{2}x+\frac{1}{2}$的图像的交点坐标,可以令$x^{2}-1=\frac{5}{2}x+\frac{1}{2}$,求得的$x$的值就是交点的横坐标;可以联立方程组$\begin{cases}y = x^{2}-1,\\y=\frac{5}{2}x+\frac{1}{2},\end{cases}$该方程组的解就是交点的坐标. 根据以上信息,解决下列问题:已知函数$y_{1}=-x^{2}+2x + 3$和$y_{2}=-x + 3$.
(1) 这两个函数的图像有交点吗? 若有,求出交点坐标;若没有,请说明理由.
(2) 直接写出函数值$y_{1}$大于函数值$y_{2}$时$x$的取值范围.

解：​(1)​由题意可联立方程组$​\begin{cases}{y_{1}=-x^2+2x+3}\\{y_{2}=-x+3}\end{cases}​$
$​-x^2+2x+3=-x+3​$
$​x^2-3x=0​$
$​x_1= 0 ，$$​​x_2=3​$
令​x=0，$​​y_{1}=y_{2}=3；$​令​x=3，$​​y_{1}=y_{2}=0​$
∴这两个函数的图像有交点，交点坐标为​(0，​​3)、​​(3，​​0)​
​(2)0＜x＜3​