8. 如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$∠ ADC$的平分线与边$AB$相交于点$P$，$E$是$PD$的中点。若$AD = 4$，$CD = 6$，则$EO$的长为()。

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

8. A

9. 如图，小区内有一块边长为$8m$的等边三角形空地$ABC$，$E$，$F$，$G$分别为$AB$，$AC$，$BC$的中点。物业负责人计划将四边形$EFGB$改造为小花园，则小花园的面积为$m^{2}$。

9. $8\sqrt{3}$

10. 如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$分别为$AB$，$AC$的中点，点$H$在线段$CE$上，连接$BH$，$G$，$F$分别为$BH$，$CH$的中点。
(1) 求证：四边形$DEFG$为平行四边形；
(2) 若$DG ⊥ BH$，$BD = 3$，$EF = 2$，求线段$BG$的长度。

10. (1) 证明：
∵ $D$，$E$ 分别为 $AB$，$AC$ 的中点，
∴ $DE // BC$，$DE = \frac{1}{2}BC$。
∵ $G$，$F$ 分别为 $BH$，$CH$ 的中点，
∴ $GF // BC$，$GF = \frac{1}{2}BC$。
∴ $GF // DE$，$GF = DE$。
∴四边形 $DEFG$ 为平行四边形。
(2) 解：
∵四边形 $DEFG$ 为平行四边形，
∴ $DG = EF = 2$。
∵ $DG ⊥ BH$，
∴ $∠DGB = 90°$。
∵ $BD = 3$，
∴ $BG = \sqrt{BD^2 - DG^2} = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{5}$。

11. 如图，在梯形$ABCD$中，$AD // BC$，$∠ B = 90°$，$AD = 4$，$BC = 10$，$∠ C = 60°$，则$CD =$。

11. 12

12. 【提出命题】如图，在四边形$ABCD$中，$∠ A = ∠ C$，$∠ ABC = ∠ ADC$，求证：四边形$ABCD$是平行四边形。
小明提供了如下解答过程。

证明：如图，连接$BD$。
$\because ∠ 1 + ∠ 3 = 180° - ∠ A$，$∠ 2 + ∠ 4 = 180° - ∠ C$，$∠ A = ∠ C$，
$\therefore ∠ 1 + ∠ 3 = ∠ 2 + ∠ 4$。
$\because ∠ ABC = ∠ ADC$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ 4$，$∠ 2 = ∠ 3$。
$\therefore AB // CD$，$AD // BC$。
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)。
【反思交流】
(1) 请问小明的解法正确吗？如果有错，请写出正确的证明过程。
(2) 用语言叙述上述命题：。
【运用探究】下列条件中，能判定四边形$ABCD$是平行四边形的是()。
A. $∠ A : ∠ B : ∠ C : ∠ D = 1 : 2 : 3 : 4$
B. $∠ A : ∠ B : ∠ C : ∠ D = 1 : 3 : 1 : 3$
C. $∠ A : ∠ B : ∠ C : ∠ D = 2 : 3 : 3 : 2$
D. $∠ A : ∠ B : ∠ C : ∠ D = 1 : 1 : 3 : 3$

12. 【反思交流】(1) 解：正确。
(2) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
【运用探究】B