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1. 如图，在$□ ABCD$中，$∠ A = 45°$，$AD = \sqrt{2}$，$M$，$N$分别是边$AB$，$BC$上的动点，连接$DN$，$MN$。若$E$，$F$分别为$DN$，$MN$的中点，连接$EF$，则$EF$的最小值是()。
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$1$
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$1$
答案
A
解析
1. 连接$DM$，因为$E$、$F$分别为$DN$、$MN$的中点，根据三角形中位线定理，得$EF=\frac{1}{2}DM$。
2. 根据垂线段最短，当$DM⊥ AB$时，$DM$取得最小值。
3. 在$Rt△ ADM$中，$∠ A=45°$，$AD=\sqrt{2}$，此为等腰直角三角形，计算得$DM=AD·\sin45°=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$。
4. 因此$EF$的最小值为$\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$。
2. 根据垂线段最短，当$DM⊥ AB$时，$DM$取得最小值。
3. 在$Rt△ ADM$中，$∠ A=45°$，$AD=\sqrt{2}$，此为等腰直角三角形，计算得$DM=AD·\sin45°=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$。
4. 因此$EF$的最小值为$\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$。
2. 如图，在正方形$ABCD$中，$AB = 4$，$E$，$F$分别为边$AB$，$BC$的中点，连接$AF$，$DE$。若$G$，$H$分别为$DE$，$AF$的中点，连接$GH$，则$GH$的长是()。
A.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B.$1$
C.$\sqrt{2}$
D.$2$
A.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B.$1$
C.$\sqrt{2}$
D.$2$
答案
C
解析
1. 以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
2. 由正方形ABCD的边长AB=4，得A(0,0)，B(4,0)，C(4,4)，D(0,4)。
3. 因E，F分别为AB，BC的中点，故E(2,0)，F(4,2)。
4. 根据中点坐标公式：
DE的端点为D(0,4)、E(2,0)，得G点坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{4+0}{2})=(1,2)$；
AF的端点为A(0,0)、F(4,2)，得H点坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{0+2}{2})=(2,1)$。
5. 由勾股定理计算GH的长度：
$GH=\sqrt{(2-1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$。
2. 由正方形ABCD的边长AB=4，得A(0,0)，B(4,0)，C(4,4)，D(0,4)。
3. 因E，F分别为AB，BC的中点，故E(2,0)，F(4,2)。
4. 根据中点坐标公式：
DE的端点为D(0,4)、E(2,0)，得G点坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{4+0}{2})=(1,2)$；
AF的端点为A(0,0)、F(4,2)，得H点坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{0+2}{2})=(2,1)$。
5. 由勾股定理计算GH的长度：
$GH=\sqrt{(2-1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$。
3. 如图，$AD$为$△ BAC$的外角平分线，$BD ⊥ AD$，垂足为$D$，$E$为$BC$的中点，$DE = 5$，$AC = 3$，则$AB$的长为。
答案
7
解析
延长BD交CA的延长线于点F。
1. 因为AD平分∠BAF，BD⊥AD，且AD=AD，可证△ADB≌△ADF（ASA），得出AB=AF，D为BF的中点；
2. 由于E为BC的中点，所以DE是△BCF的中位线，根据三角形中位线定理，可得$DE=\frac{1}{2}CF$；
3. 已知$DE=5$，则$CF=2×5=10$，又$AC=3$，所以$AF=CF-AC=10-3=7$，因此$AB=AF=7$。
1. 因为AD平分∠BAF，BD⊥AD，且AD=AD，可证△ADB≌△ADF（ASA），得出AB=AF，D为BF的中点；
2. 由于E为BC的中点，所以DE是△BCF的中位线，根据三角形中位线定理，可得$DE=\frac{1}{2}CF$；
3. 已知$DE=5$，则$CF=2×5=10$，又$AC=3$，所以$AF=CF-AC=10-3=7$，因此$AB=AF=7$。
4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A = 60°$，$AC ＞ AB ＞ 2$，点$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，且$BD = CE = 2$，连接$DE$，$M$是$DE$的中点，$N$是$BC$的中点，则线段$MN$的长是。
答案
$\sqrt{3}$
解析
连接BE，取BE的中点P，连接PM、PN。
1. 因为M是DE的中点，P是BE的中点，所以PM是△BDE的中位线，因此$PM// BD$，且$PM=\frac{1}{2}BD=1$；
2. 因为N是BC的中点，P是BE的中点，所以PN是△BCE的中位线，因此$PN// CE$，且$PN=\frac{1}{2}CE=1$；
3. 由$∠ A=60°$，$PM// AB$，$PN// AC$，可得$∠ MPN=180°-∠ A=120°$；
4. 过点P作$PQ⊥ MN$于Q，因为$PM=PN=1$，$∠ MPN=120°$，所以$∠ PMQ=30°$，则$PQ=\frac{1}{2}PM=\frac{1}{2}$。在Rt△PMQ中，由勾股定理得$MQ=\sqrt{PM^2-PQ^2}=\sqrt{1^2-(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$MN=2MQ=\sqrt{3}$。
1. 因为M是DE的中点，P是BE的中点，所以PM是△BDE的中位线，因此$PM// BD$，且$PM=\frac{1}{2}BD=1$；
2. 因为N是BC的中点，P是BE的中点，所以PN是△BCE的中位线，因此$PN// CE$，且$PN=\frac{1}{2}CE=1$；
3. 由$∠ A=60°$，$PM// AB$，$PN// AC$，可得$∠ MPN=180°-∠ A=120°$；
4. 过点P作$PQ⊥ MN$于Q，因为$PM=PN=1$，$∠ MPN=120°$，所以$∠ PMQ=30°$，则$PQ=\frac{1}{2}PM=\frac{1}{2}$。在Rt△PMQ中，由勾股定理得$MQ=\sqrt{PM^2-PQ^2}=\sqrt{1^2-(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$MN=2MQ=\sqrt{3}$。
5. 如图，$AF$，$BE$是$△ ABC$的两条中线，$AF$交$BE$于点$P$。
(1) 求证$AP = 2PF$。
(2) 若$AF ⊥ BE$，$AC = 8$，$BC = 6$，求$AB$的长。
(1) 求证$AP = 2PF$。
(2) 若$AF ⊥ BE$，$AC = 8$，$BC = 6$，求$AB$的长。
答案
(1) 证明：
连接EF，
∵AF，BE是△ABC的两条中线，
∴E为AC中点，F为BC中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF//AB，且EF = $\frac{1}{2}$AB，
∴∠PEF = ∠PBA，∠PFE = ∠PAB，
∴△PEF∽△PBA（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AP}{PF} = \frac{AB}{EF} = 2$，
∴AP = 2PF。
(2) 解：
设PF = x，PE = y，由(1)知AP = 2x，BP = 2y，
∵AF⊥BE，
∴∠APE = ∠BPF = 90°，
∵AC = 8，BE是中线，
∴AE = $\frac{1}{2}$AC = 4，
在Rt△APE中，由勾股定理得：
$(2x)^2 + y^2 = 4^2$，即$4x^2 + y^2 = 16$ ①，
∵BC = 6，AF是中线，
∴BF = $\frac{1}{2}$BC = 3，
在Rt△BPF中，由勾股定理得：
$(2y)^2 + x^2 = 3^2$，即$x^2 + 4y^2 = 9$ ②，
① + ②得：$5x^2 + 5y^2 = 25$，
∴$x^2 + y^2 = 5$，
在Rt△APB中，由勾股定理得：
AB² = $(2x)^2 + (2y)^2 = 4(x^2 + y^2) = 4×5 = 20$，
∴AB = $2\sqrt{5}$。
连接EF，
∵AF，BE是△ABC的两条中线，
∴E为AC中点，F为BC中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF//AB，且EF = $\frac{1}{2}$AB，
∴∠PEF = ∠PBA，∠PFE = ∠PAB，
∴△PEF∽△PBA（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AP}{PF} = \frac{AB}{EF} = 2$，
∴AP = 2PF。
(2) 解：
设PF = x，PE = y，由(1)知AP = 2x，BP = 2y，
∵AF⊥BE，
∴∠APE = ∠BPF = 90°，
∵AC = 8，BE是中线，
∴AE = $\frac{1}{2}$AC = 4，
在Rt△APE中，由勾股定理得：
$(2x)^2 + y^2 = 4^2$，即$4x^2 + y^2 = 16$ ①，
∵BC = 6，AF是中线，
∴BF = $\frac{1}{2}$BC = 3，
在Rt△BPF中，由勾股定理得：
$(2y)^2 + x^2 = 3^2$，即$x^2 + 4y^2 = 9$ ②，
① + ②得：$5x^2 + 5y^2 = 25$，
∴$x^2 + y^2 = 5$，
在Rt△APB中，由勾股定理得：
AB² = $(2x)^2 + (2y)^2 = 4(x^2 + y^2) = 4×5 = 20$，
∴AB = $2\sqrt{5}$。
