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3. 一种长方体砖长24 cm，宽18 cm，厚1 cm，用这样的砖铺成一块正方形的地面。正方形的边长最小是多少厘米？至少需要几块砖？
答案
3.24和18的最小公倍数是72，所以正方形的边长是72厘米。
72÷24=3 72÷18=4 3×4=12（块）
72÷24=3 72÷18=4 3×4=12（块）
解析
【分析】
要想用这种长方体砖铺成最小的正方形地面，首先要明确：正方形的边长必须同时是砖的长（24cm）和宽（18cm）的倍数，这样才能保证砖能整齐铺满且没有空隙。因此，正方形的最小边长就是24和18的最小公倍数。求出边长后，计算所需砖数时，只需分别算出边长里包含几个砖的长、几个砖的宽，再将这两个数量相乘，就能得到总砖数。
【解析】
1. 求正方形的最小边长：
对24和18分解质因数：
$24 = 2×2×2×3$
$18 = 2×3×3$
它们的最小公倍数为$2×2×2×3×3 = 72$，即正方形的边长最小是72厘米。
2. 计算所需砖的数量：
长方向需要的砖数：$72÷24 = 3$（块）
宽方向需要的砖数：$72÷18 = 4$（块）
总砖数：$3×4 = 12$（块）
【答案】
正方形的边长最小是72厘米，至少需要12块砖。
【知识点】
最小公倍数的应用，铺砖问题
【点评】
本题考查最小公倍数在实际生活中的应用，需要学生理解铺成正方形地面时，边长与砖的长、宽之间的倍数关系，通过求最小公倍数确定最小边长，再结合整数除法计算所需砖的数量，锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要想用这种长方体砖铺成最小的正方形地面，首先要明确：正方形的边长必须同时是砖的长（24cm）和宽（18cm）的倍数，这样才能保证砖能整齐铺满且没有空隙。因此，正方形的最小边长就是24和18的最小公倍数。求出边长后，计算所需砖数时，只需分别算出边长里包含几个砖的长、几个砖的宽，再将这两个数量相乘，就能得到总砖数。
【解析】
1. 求正方形的最小边长：
对24和18分解质因数：
$24 = 2×2×2×3$
$18 = 2×3×3$
它们的最小公倍数为$2×2×2×3×3 = 72$，即正方形的边长最小是72厘米。
2. 计算所需砖的数量：
长方向需要的砖数：$72÷24 = 3$（块）
宽方向需要的砖数：$72÷18 = 4$（块）
总砖数：$3×4 = 12$（块）
【答案】
正方形的边长最小是72厘米，至少需要12块砖。
【知识点】
最小公倍数的应用，铺砖问题
【点评】
本题考查最小公倍数在实际生活中的应用，需要学生理解铺成正方形地面时，边长与砖的长、宽之间的倍数关系，通过求最小公倍数确定最小边长，再结合整数除法计算所需砖的数量，锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
4.
这两路公共汽车9时同时从同一个始发站发车，至少经过多少分钟后两路车第二次同时发车？
这两路公共汽车9时同时从同一个始发站发车，至少经过多少分钟后两路车第二次同时发车？
答案
4.12和8的最小公倍数是24，所以至少经过24分钟后两路车第二次同时发车。
解析
【分析】
要解决“至少经过多少分钟后两路车第二次同时发车”的问题，需明确：两路车再次同时发车的时间，必然是5路车发车间隔（12分钟）和6路车发车间隔（8分钟）的共同倍数，而“至少经过多少分钟”就是求这两个数的最小公倍数，因为第一次同时发车是9时，下一次同时发车的最短间隔就是它们间隔时间的最小公倍数。
【解析】
1. 分解质因数：
$8 = 2×2×2$
$12 = 2×2×3$
2. 计算最小公倍数：取两个数公有的质因数（$2×2$）和各自独有的质因数（$2$、$3$）相乘，即$2×2×2×3 = 24$，所以8和12的最小公倍数是24。
【答案】
至少经过24分钟后两路车第二次同时发车。
【知识点】
最小公倍数的应用
【点评】
本题考查最小公倍数在实际生活中的应用，核心是理解“同时发车的时间是两个发车间隔的公倍数”，通过求最小公倍数得到最短的间隔时长，需要掌握求两个数最小公倍数的方法。
【难度系数】
0.8
要解决“至少经过多少分钟后两路车第二次同时发车”的问题，需明确：两路车再次同时发车的时间，必然是5路车发车间隔（12分钟）和6路车发车间隔（8分钟）的共同倍数，而“至少经过多少分钟”就是求这两个数的最小公倍数，因为第一次同时发车是9时，下一次同时发车的最短间隔就是它们间隔时间的最小公倍数。
【解析】
1. 分解质因数：
$8 = 2×2×2$
$12 = 2×2×3$
2. 计算最小公倍数：取两个数公有的质因数（$2×2$）和各自独有的质因数（$2$、$3$）相乘，即$2×2×2×3 = 24$，所以8和12的最小公倍数是24。
【答案】
至少经过24分钟后两路车第二次同时发车。
【知识点】
最小公倍数的应用
【点评】
本题考查最小公倍数在实际生活中的应用，核心是理解“同时发车的时间是两个发车间隔的公倍数”，通过求最小公倍数得到最短的间隔时长，需要掌握求两个数最小公倍数的方法。
【难度系数】
0.8
5. 有一次甲、乙、丙兄弟三人同时回父母家看望老人。甲每4天去一次，乙每6天去一次，丙每10天去一次。
(1) 甲、丙两人至少多少天后在父母家再次见面？
(2) 乙、丙两人至少多少天后在父母家再次见面？
(3) 兄弟三人至少多少天后同时回到父母家？
(1) 甲、丙两人至少多少天后在父母家再次见面？
(2) 乙、丙两人至少多少天后在父母家再次见面？
(3) 兄弟三人至少多少天后同时回到父母家？
答案
5.（1）20天 （2）30天 （3）60天
解析
【分析】
这道题的三个小问本质都是求几个数的最小公倍数，因为兄弟两人或三人再次在父母家见面的时间，需要同时是各自去父母家周期的倍数，“至少多少天”就是求这些周期天数的最小公倍数。具体思考步骤如下：
1. 第(1)问：要找甲（4天）和丙（10天）再次见面的最少天数，就是求4和10的最小公倍数；
2. 第(2)问：同理，求乙（6天）和丙（10天）的最小公倍数；
3. 第(3)问：求甲（4天）、乙（6天）、丙（10天）三人周期天数的最小公倍数。
求最小公倍数可采用分解质因数法：把每个数分解为质因数相乘的形式，最小公倍数是所有质因数的乘积，相同质因数取出现次数最多的。
【解析】
(1) 求4和10的最小公倍数：
分解质因数：$4=2×2$，$10=2×5$
最小公倍数为：$2×2×5=20$
即甲、丙两人至少20天后在父母家再次见面。
(2) 求6和10的最小公倍数：
分解质因数：$6=2×3$，$10=2×5$
最小公倍数为：$2×3×5=30$
即乙、丙两人至少30天后在父母家再次见面。
(3) 求4、6、10的最小公倍数：
分解质因数：$4=2^2$，$6=2×3$，$10=2×5$
最小公倍数为：$2^2×3×5=4×3×5=60$
即兄弟三人至少60天后同时回到父母家。
【答案】
(1) 20天；(2) 30天；(3) 60天
【知识点】
最小公倍数的应用、分解质因数求最小公倍数
【点评】
本题考查最小公倍数在实际生活中的应用，核心是理解“再次见面的最少天数”对应周期天数的最小公倍数，掌握分解质因数求最小公倍数的方法即可解决，属于基础应用型题目，结合生活场景，题意易理解。
【难度系数】
0.7
这道题的三个小问本质都是求几个数的最小公倍数，因为兄弟两人或三人再次在父母家见面的时间，需要同时是各自去父母家周期的倍数，“至少多少天”就是求这些周期天数的最小公倍数。具体思考步骤如下：
1. 第(1)问：要找甲（4天）和丙（10天）再次见面的最少天数，就是求4和10的最小公倍数；
2. 第(2)问：同理，求乙（6天）和丙（10天）的最小公倍数；
3. 第(3)问：求甲（4天）、乙（6天）、丙（10天）三人周期天数的最小公倍数。
求最小公倍数可采用分解质因数法：把每个数分解为质因数相乘的形式，最小公倍数是所有质因数的乘积，相同质因数取出现次数最多的。
【解析】
(1) 求4和10的最小公倍数：
分解质因数：$4=2×2$，$10=2×5$
最小公倍数为：$2×2×5=20$
即甲、丙两人至少20天后在父母家再次见面。
(2) 求6和10的最小公倍数：
分解质因数：$6=2×3$，$10=2×5$
最小公倍数为：$2×3×5=30$
即乙、丙两人至少30天后在父母家再次见面。
(3) 求4、6、10的最小公倍数：
分解质因数：$4=2^2$，$6=2×3$，$10=2×5$
最小公倍数为：$2^2×3×5=4×3×5=60$
即兄弟三人至少60天后同时回到父母家。
【答案】
(1) 20天；(2) 30天；(3) 60天
【知识点】
最小公倍数的应用、分解质因数求最小公倍数
【点评】
本题考查最小公倍数在实际生活中的应用，核心是理解“再次见面的最少天数”对应周期天数的最小公倍数，掌握分解质因数求最小公倍数的方法即可解决，属于基础应用型题目，结合生活场景，题意易理解。
【难度系数】
0.7
一篮鸡蛋，若5个5个地数，最后余1个；若4个4个地数，最后也余1个；若3个3个地数，最后还是余1个。篮中至少有多少个鸡蛋？
答案
拓展园
5、4、3的最小公倍数是60。
60+1=61（个）
5、4、3的最小公倍数是60。
60+1=61（个）
解析
【分析】
这道题的关键是理解“每次数鸡蛋都余1个”的含义：如果从篮中拿走1个鸡蛋，剩下的鸡蛋数能同时被5、4、3整除，也就是剩下的鸡蛋数是5、4、3的公倍数。题目要求“至少有多少个鸡蛋”，所以我们需要先求出5、4、3的最小公倍数，再加上拿走的1个，就是篮中鸡蛋的最少数量。
【解析】
1. 求5、4、3的最小公倍数：
因为5、4、3两两互质（任意两个数的最大公因数都是1），所以它们的最小公倍数为三个数的乘积，即：
$5×4×3 = 60$
2. 计算篮中鸡蛋的最少数量：
拿走1个鸡蛋后剩余60个，因此原来的鸡蛋数量为：
$60 + 1 = 61$（个）
【答案】
61个
【知识点】
最小公倍数的应用
【点评】
这道题考查最小公倍数在实际问题中的应用，核心是通过“去余法”将带余数的问题转化为求公倍数的问题，需要理解余数与公倍数的关系，掌握两两互质的数的最小公倍数的计算方法。
【难度系数】
0.3
这道题的关键是理解“每次数鸡蛋都余1个”的含义：如果从篮中拿走1个鸡蛋，剩下的鸡蛋数能同时被5、4、3整除，也就是剩下的鸡蛋数是5、4、3的公倍数。题目要求“至少有多少个鸡蛋”，所以我们需要先求出5、4、3的最小公倍数，再加上拿走的1个，就是篮中鸡蛋的最少数量。
【解析】
1. 求5、4、3的最小公倍数：
因为5、4、3两两互质（任意两个数的最大公因数都是1），所以它们的最小公倍数为三个数的乘积，即：
$5×4×3 = 60$
2. 计算篮中鸡蛋的最少数量：
拿走1个鸡蛋后剩余60个，因此原来的鸡蛋数量为：
$60 + 1 = 61$（个）
【答案】
61个
【知识点】
最小公倍数的应用
【点评】
这道题考查最小公倍数在实际问题中的应用，核心是通过“去余法”将带余数的问题转化为求公倍数的问题，需要理解余数与公倍数的关系，掌握两两互质的数的最小公倍数的计算方法。
【难度系数】
0.3
