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6. 写出下面每组分数中分母的最小公倍数。
$\frac{7}{10}$和$\frac{8}{15}$(
$\frac{7}{10}$和$\frac{8}{15}$(
30
) $\frac{3}{7}$和$\frac{7}{9}$(63
) $\frac{3}{20}$和$\frac{7}{60}$(60
)答案
6.30 63 60
解析
【分析】
要解决这道题，关键是掌握不同关系的两个数的最小公倍数求法：
1. 若两个数是互质数（只有公因数1），它们的最小公倍数就是两数的乘积；
2. 若两个数是倍数关系，较大数就是它们的最小公倍数；
3. 若两个数是一般关系，可通过分解质因数法，把两个数分解成质因数相乘的形式，最小公倍数是它们公有的质因数和各自独有的质因数的乘积。
接下来我们针对每组分数的分母，判断它们的关系，再用对应方法求解。
【解析】
1. 对于$\frac{7}{10}$和$\frac{8}{15}$，分母是10和15：
分解质因数：$10=2×5$，$15=3×5$
公有的质因数是5，15独有的质因数是3，10独有的质因数是2，所以最小公倍数为$2×3×5=30$。
2. 对于$\frac{3}{7}$和$\frac{7}{9}$，分母是7和9：
7和9只有公因数1，是互质数，所以最小公倍数为$7×9=63$。
3. 对于$\frac{3}{20}$和$\frac{7}{60}$，分母是20和60：
60是20的3倍，属于倍数关系，所以最小公倍数是较大数60。
【答案】
30；63；60
【知识点】
1. 最小公倍数求法
2. 互质数的性质
3. 倍数关系数的特征
【点评】
本题主要考查不同类型数的最小公倍数求解方法，需要准确判断两个数的关系，选择合适的方法计算，题目基础，有助于巩固公倍数相关知识点。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，关键是掌握不同关系的两个数的最小公倍数求法：
1. 若两个数是互质数（只有公因数1），它们的最小公倍数就是两数的乘积；
2. 若两个数是倍数关系，较大数就是它们的最小公倍数；
3. 若两个数是一般关系，可通过分解质因数法，把两个数分解成质因数相乘的形式，最小公倍数是它们公有的质因数和各自独有的质因数的乘积。
接下来我们针对每组分数的分母，判断它们的关系，再用对应方法求解。
【解析】
1. 对于$\frac{7}{10}$和$\frac{8}{15}$，分母是10和15：
分解质因数：$10=2×5$，$15=3×5$
公有的质因数是5，15独有的质因数是3，10独有的质因数是2，所以最小公倍数为$2×3×5=30$。
2. 对于$\frac{3}{7}$和$\frac{7}{9}$，分母是7和9：
7和9只有公因数1，是互质数，所以最小公倍数为$7×9=63$。
3. 对于$\frac{3}{20}$和$\frac{7}{60}$，分母是20和60：
60是20的3倍，属于倍数关系，所以最小公倍数是较大数60。
【答案】
30；63；60
【知识点】
1. 最小公倍数求法
2. 互质数的性质
3. 倍数关系数的特征
【点评】
本题主要考查不同类型数的最小公倍数求解方法，需要准确判断两个数的关系，选择合适的方法计算，题目基础，有助于巩固公倍数相关知识点。
【难度系数】
0.8
7. 某参赛方队，可以排成6人一排的方阵，也可以排成8人一排的方阵。如果该方队学生的总数在50以内，最多是多少人？
答案
7.6和8的最小公倍数是24。
24×2=48（人）
24×2=48（人）
解析
【分析】
首先，题目中“可以排成6人一排的方阵，也可以排成8人一排的方阵”说明该方队的总人数是6和8的公倍数。我们的目标是找到50以内6和8的最大公倍数，步骤如下：第一步先求出6和8的最小公倍数，第二步再找出50以内这个最小公倍数的最大倍数，即为所求的最多人数。
【解析】
1. 求6和8的最小公倍数：
分解质因数，6=2×3，8=2×2×2，
所以6和8的最小公倍数为2×2×2×3=24。
2. 找出50以内24的最大倍数：
24×1=24，24×2=48，24×3=72（72＞50，不符合要求），
因此50以内6和8的最大公倍数是48。
【答案】
48人
【知识点】
公倍数与最小公倍数
【点评】
本题考查公倍数的实际应用，核心是理解“能排成两种不同人数的方阵”意味着总人数是两个数的公倍数，解题关键是掌握求最小公倍数的方法，并结合给定范围找出符合条件的最大数，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.8
首先，题目中“可以排成6人一排的方阵，也可以排成8人一排的方阵”说明该方队的总人数是6和8的公倍数。我们的目标是找到50以内6和8的最大公倍数，步骤如下：第一步先求出6和8的最小公倍数，第二步再找出50以内这个最小公倍数的最大倍数，即为所求的最多人数。
【解析】
1. 求6和8的最小公倍数：
分解质因数，6=2×3，8=2×2×2，
所以6和8的最小公倍数为2×2×2×3=24。
2. 找出50以内24的最大倍数：
24×1=24，24×2=48，24×3=72（72＞50，不符合要求），
因此50以内6和8的最大公倍数是48。
【答案】
48人
【知识点】
公倍数与最小公倍数
【点评】
本题考查公倍数的实际应用，核心是理解“能排成两种不同人数的方阵”意味着总人数是两个数的公倍数，解题关键是掌握求最小公倍数的方法，并结合给定范围找出符合条件的最大数，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.8
1. 选择。(把正确答案的序号填在括号里)
(1) 两个数(
① 公因数 ② 公倍数 ③ 最小公倍数
(1) 两个数(
②
)的个数是无限的。① 公因数 ② 公倍数 ③ 最小公倍数
答案
1.（1）②
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要先明确公因数、公倍数、最小公倍数的概念及它们的个数特点：
1. 回忆各概念：公因数是两个数共有的因数，公倍数是两个数共有的倍数，最小公倍数是两个数公倍数中最小的那个数。
2. 分析个数：因数的个数是有限的，所以两个数的公因数个数有限；一个数的倍数可以无限扩大，所以两个数的公倍数有无限个；最小公倍数是唯一的，只有1个。
3. 对比选项，符合“个数无限”的是公倍数，因此选②。
【解析】
逐个分析选项：
① 公因数：两个数的公因数是它们共有的因数，因数的个数是有限的，所以公因数的个数有限，不符合题意；
② 公倍数：两个数的公倍数是它们共有的倍数，一个数的倍数有无限多个，因此两个数的公倍数个数是无限的，符合题意；
③ 最小公倍数：是两个数的公倍数中最小的那个数，只有1个，不符合题意。
综上，答案选②。
【答案】
②
【知识点】
公倍数的概念、公因数的概念
【点评】
本题主要考查对公因数、公倍数、最小公倍数核心概念的理解，重点在于区分三者的个数特点，属于基础概念题，需要准确把握概念细节，避免混淆。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要先明确公因数、公倍数、最小公倍数的概念及它们的个数特点：
1. 回忆各概念：公因数是两个数共有的因数，公倍数是两个数共有的倍数，最小公倍数是两个数公倍数中最小的那个数。
2. 分析个数：因数的个数是有限的，所以两个数的公因数个数有限；一个数的倍数可以无限扩大，所以两个数的公倍数有无限个；最小公倍数是唯一的，只有1个。
3. 对比选项，符合“个数无限”的是公倍数，因此选②。
【解析】
逐个分析选项：
① 公因数：两个数的公因数是它们共有的因数，因数的个数是有限的，所以公因数的个数有限，不符合题意；
② 公倍数：两个数的公倍数是它们共有的倍数，一个数的倍数有无限多个，因此两个数的公倍数个数是无限的，符合题意；
③ 最小公倍数：是两个数的公倍数中最小的那个数，只有1个，不符合题意。
综上，答案选②。
【答案】
②
【知识点】
公倍数的概念、公因数的概念
【点评】
本题主要考查对公因数、公倍数、最小公倍数核心概念的理解，重点在于区分三者的个数特点，属于基础概念题，需要准确把握概念细节，避免混淆。
【难度系数】
0.8
(2) $a÷b = 20$，那么$a$和$b$的最小公倍数是(
① $a$ ② $b$ ③ $ab$
①
)。① $a$ ② $b$ ③ $ab$
答案
(2) ①
解析
【分析】
首先我们需要判断a和b的数量关系，由$a÷b = 20$可知，a是b的20倍，即a和b成倍数关系。接下来回忆最小公倍数的相关规律：当两个数为倍数关系时，较大的那个数就是这两个数的最小公倍数。这里a大于b，所以a就是a和b的最小公倍数，因此应该选①。
【解析】
已知$a÷b = 20$，可得$a = 20b$，这说明$a$是$b$的倍数。根据“当两个数成倍数关系时，较大数就是它们的最小公倍数”这一规则，因为$a ＞ b$，所以$a$和$b$的最小公倍数是$a$，故选①。
【答案】
①
【知识点】
倍数关系求最小公倍数
【点评】
本题主要考查对最小公倍数相关规律的掌握，解题关键是先判断出a和b的倍数关系，再运用对应的规律求解，属于基础题型，容易掌握。
【难度系数】
0.8
首先我们需要判断a和b的数量关系，由$a÷b = 20$可知，a是b的20倍，即a和b成倍数关系。接下来回忆最小公倍数的相关规律：当两个数为倍数关系时，较大的那个数就是这两个数的最小公倍数。这里a大于b，所以a就是a和b的最小公倍数，因此应该选①。
【解析】
已知$a÷b = 20$，可得$a = 20b$，这说明$a$是$b$的倍数。根据“当两个数成倍数关系时，较大数就是它们的最小公倍数”这一规则，因为$a ＞ b$，所以$a$和$b$的最小公倍数是$a$，故选①。
【答案】
①
【知识点】
倍数关系求最小公倍数
【点评】
本题主要考查对最小公倍数相关规律的掌握，解题关键是先判断出a和b的倍数关系，再运用对应的规律求解，属于基础题型，容易掌握。
【难度系数】
0.8
(3) 月季花每4天浇一次水，君子兰每6天浇一次水。李阿姨今天同时给两种花浇了水，至少(
① 4 ② 6 ③ 12
③
)天后再次给这两种花同时浇水。① 4 ② 6 ③ 12
答案
(3) ③
解析
【分析】
这道题属于实际生活中的公倍数应用问题，我们需要找到一个天数，这个天数既要满足月季花每4天浇一次水的周期，也要满足君子兰每6天浇一次水的周期，而且是满足条件的最小天数，本质就是求4和6的最小公倍数。我们可以通过列举法分别列出两个数的倍数，再从中找出最小的共同倍数来得到答案。
【解析】
1. 明确解题方向：要找到再次同时给两种花浇水的最少天数，就是求4和6的最小公倍数。
2. 列举4的倍数：4、8、12、16、20……
3. 列举6的倍数：6、12、18、24……
4. 对比两个数列，发现4和6的最小共同倍数是12，因此至少12天后会再次同时给两种花浇水。
【答案】
③
【知识点】
最小公倍数的应用
【点评】
本题考查最小公倍数在实际场景中的应用，解题核心是理解“同时浇水”的含义对应两个数的公倍数，而“至少”则对应最小公倍数，掌握列举法求最小公倍数的方法就能快速解决此类问题。
【难度系数】
0.8
这道题属于实际生活中的公倍数应用问题，我们需要找到一个天数，这个天数既要满足月季花每4天浇一次水的周期，也要满足君子兰每6天浇一次水的周期，而且是满足条件的最小天数，本质就是求4和6的最小公倍数。我们可以通过列举法分别列出两个数的倍数，再从中找出最小的共同倍数来得到答案。
【解析】
1. 明确解题方向：要找到再次同时给两种花浇水的最少天数，就是求4和6的最小公倍数。
2. 列举4的倍数：4、8、12、16、20……
3. 列举6的倍数：6、12、18、24……
4. 对比两个数列，发现4和6的最小共同倍数是12，因此至少12天后会再次同时给两种花浇水。
【答案】
③
【知识点】
最小公倍数的应用
【点评】
本题考查最小公倍数在实际场景中的应用，解题核心是理解“同时浇水”的含义对应两个数的公倍数，而“至少”则对应最小公倍数，掌握列举法求最小公倍数的方法就能快速解决此类问题。
【难度系数】
0.8
(4) $x$和$y$是互质数，那么$x$和$y$的最小公倍数是(
① $x$ ② $y$ ③ $xy$
③
)。① $x$ ② $y$ ③ $xy$
答案
(4) ③
解析
【分析】
首先回忆互质数的定义：公因数只有1的两个数叫做互质数。接着思考最小公倍数的求法，对于一般的两个数，最小公倍数可通过分解质因数等方法求得，但当两个数互质时，它们没有除1以外的公因数，所以它们的最小公倍数就是这两个数的乘积。据此即可判断x和y的最小公倍数。
【解析】
已知x和y是互质数，即它们的公因数只有1。根据最小公倍数的计算规则，当两个数互质时，它们的最小公倍数为这两个数的乘积，也就是$x× y=xy$，所以x和y的最小公倍数是xy，对应选项③。
【答案】
③
【知识点】
互质数定义、最小公倍数求法
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点检验对互质数和最小公倍数核心概念的理解，需牢记互质关系下最小公倍数的计算规律，避免与倍数关系等其他情况的最小公倍数求法混淆。
【难度系数】
0.8
首先回忆互质数的定义：公因数只有1的两个数叫做互质数。接着思考最小公倍数的求法，对于一般的两个数，最小公倍数可通过分解质因数等方法求得，但当两个数互质时，它们没有除1以外的公因数，所以它们的最小公倍数就是这两个数的乘积。据此即可判断x和y的最小公倍数。
【解析】
已知x和y是互质数，即它们的公因数只有1。根据最小公倍数的计算规则，当两个数互质时，它们的最小公倍数为这两个数的乘积，也就是$x× y=xy$，所以x和y的最小公倍数是xy，对应选项③。
【答案】
③
【知识点】
互质数定义、最小公倍数求法
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点检验对互质数和最小公倍数核心概念的理解，需牢记互质关系下最小公倍数的计算规律，避免与倍数关系等其他情况的最小公倍数求法混淆。
【难度系数】
0.8
(5) 甲是乙的15倍，甲、乙两数的最小公倍数是(
① 15 ② 甲 ③ 乙
②
)。① 15 ② 甲 ③ 乙
答案
(5) ②
解析
【分析】
首先我们需要回忆两个数存在倍数关系时，它们的最小公倍数的规律。当两个数是倍数关系时，较大的数就是这两个数的最小公倍数。题目中明确甲是乙的15倍，说明甲和乙是倍数关系，且甲是较大数，所以我们只需要判断出较大数是甲，就能得出最小公倍数是甲。
【解析】
当两个数为倍数关系时，它们的最小公倍数是其中较大的数。已知甲是乙的15倍，即甲＞乙，且甲是乙的倍数，所以甲、乙两数的最小公倍数是甲。
【答案】
②
【知识点】
倍数关系求最小公倍数
【点评】
本题考查特殊情况下两个数最小公倍数的判断，核心是掌握“倍数关系的两个数，最小公倍数为较大数”这一规律，题目较为基础，只要牢记规律就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
首先我们需要回忆两个数存在倍数关系时，它们的最小公倍数的规律。当两个数是倍数关系时，较大的数就是这两个数的最小公倍数。题目中明确甲是乙的15倍，说明甲和乙是倍数关系，且甲是较大数，所以我们只需要判断出较大数是甲，就能得出最小公倍数是甲。
【解析】
当两个数为倍数关系时，它们的最小公倍数是其中较大的数。已知甲是乙的15倍，即甲＞乙，且甲是乙的倍数，所以甲、乙两数的最小公倍数是甲。
【答案】
②
【知识点】
倍数关系求最小公倍数
【点评】
本题考查特殊情况下两个数最小公倍数的判断，核心是掌握“倍数关系的两个数，最小公倍数为较大数”这一规律，题目较为基础，只要牢记规律就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
2. 判断。(对的画“√”，错的画“×”)
(1) 两个数的公倍数一定比这两个数大。(
(2) 自然数$a$是自然数$b$的倍数，那么$b$就是$a$与$b$的最小公倍数。(
(3) 1与任意一个非0自然数的最小公倍数就是这个自然数。(
(4) 几个数的公倍数的个数是无限的，最小公倍数只有1个。(
(1) 两个数的公倍数一定比这两个数大。(
×
)(2) 自然数$a$是自然数$b$的倍数，那么$b$就是$a$与$b$的最小公倍数。(
×
)(3) 1与任意一个非0自然数的最小公倍数就是这个自然数。(
√
)(4) 几个数的公倍数的个数是无限的，最小公倍数只有1个。(
√
)答案
2.（1）× （2）× （3）√ （4）√
解析
【分析】
我们逐个分析每个判断：
1. 对于第(1)题，要考虑两个数存在倍数关系的情况，比如当一个数是另一个数的倍数时，它们的公倍数中会有等于较大数的情况，并非一定比两个数都大。
2. 第(2)题，若自然数a是b的倍数，根据最小公倍数的定义，两个数中较大的数就是它们的最小公倍数，所以应该是a，而不是b。
3. 第(3)题，1和任意非0自然数的公因数只有1，属于互质关系，互质的两个数的最小公倍数是它们的乘积，也就是这个非0自然数本身。
4. 第(4)题，公倍数是指能同时被几个数整除的数，最小公倍数乘任意正整数都是这几个数的公倍数，所以个数无限；而最小公倍数是所有公倍数中最小的那个，只有1个。
【解析】
(1) 举例：2和4的公倍数有4、8、12……其中4等于其中一个数，并非比两个数都大，所以该说法错误，画“×”。
(2) 举例：若a=4，b=2，a是b的倍数，a与b的最小公倍数是4（即a），不是b，所以该说法错误，画“×”。
(3) 因为1和任意非0自然数互质，互质的两个数最小公倍数是它们的乘积，即1×这个自然数=这个自然数，所以该说法正确，画“√”。
(4) 几个数的公倍数可以用它们的最小公倍数依次乘1、2、3……得到，所以个数是无限的；而最小公倍数是唯一的，只有1个，该说法正确，画“√”。
【答案】
(1) ×；(2) ×；(3) √；(4) √
【知识点】
1. 公倍数与最小公倍数
2. 互质关系的最小公倍数
3. 倍数关系的最小公倍数
【点评】
本题主要考查公倍数和最小公倍数的核心概念及特殊数之间的最小公倍数规律，需要准确掌握倍数关系、互质关系的两个数的最小公倍数特点，同时明确公倍数的无限性和最小公倍数的唯一性。
【难度系数】
0.6
我们逐个分析每个判断：
1. 对于第(1)题，要考虑两个数存在倍数关系的情况，比如当一个数是另一个数的倍数时，它们的公倍数中会有等于较大数的情况，并非一定比两个数都大。
2. 第(2)题，若自然数a是b的倍数，根据最小公倍数的定义，两个数中较大的数就是它们的最小公倍数，所以应该是a，而不是b。
3. 第(3)题，1和任意非0自然数的公因数只有1，属于互质关系，互质的两个数的最小公倍数是它们的乘积，也就是这个非0自然数本身。
4. 第(4)题，公倍数是指能同时被几个数整除的数，最小公倍数乘任意正整数都是这几个数的公倍数，所以个数无限；而最小公倍数是所有公倍数中最小的那个，只有1个。
【解析】
(1) 举例：2和4的公倍数有4、8、12……其中4等于其中一个数，并非比两个数都大，所以该说法错误，画“×”。
(2) 举例：若a=4，b=2，a是b的倍数，a与b的最小公倍数是4（即a），不是b，所以该说法错误，画“×”。
(3) 因为1和任意非0自然数互质，互质的两个数最小公倍数是它们的乘积，即1×这个自然数=这个自然数，所以该说法正确，画“√”。
(4) 几个数的公倍数可以用它们的最小公倍数依次乘1、2、3……得到，所以个数是无限的；而最小公倍数是唯一的，只有1个，该说法正确，画“√”。
【答案】
(1) ×；(2) ×；(3) √；(4) √
【知识点】
1. 公倍数与最小公倍数
2. 互质关系的最小公倍数
3. 倍数关系的最小公倍数
【点评】
本题主要考查公倍数和最小公倍数的核心概念及特殊数之间的最小公倍数规律，需要准确掌握倍数关系、互质关系的两个数的最小公倍数特点，同时明确公倍数的无限性和最小公倍数的唯一性。
【难度系数】
0.6
