一、填空。
一杯纯葡萄汁，小乐喝了半杯，他觉得太甜了，就兑满了水，这时水是$\frac{1}{2}$杯，纯葡萄汁是$\frac{1}{2}$杯，然后他又喝了半杯，也就是又喝了$\frac{(\ \ \ \ \ \ )}{(\ \ \ \ \ \ )}$杯纯葡萄汁和$\frac{(\ \ \ \ \ \ )}{(\ \ \ \ \ \ )}$杯的水，他一共喝了$\frac{(\ \ \ \ \ \ )}{(\ \ \ \ \ \ )}$杯纯葡萄汁和$\frac{(\ \ \ \ \ \ )}{(\ \ \ \ \ \ )}$杯水。

$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$

小乐最初喝了$\frac{1}{2}$杯纯葡萄汁，剩下$\frac{1}{2}$杯纯葡萄汁，兑满水后，溶液为半杯纯葡萄汁和半杯水。
第二次喝半杯时，溶液均匀，纯葡萄汁占$\frac{1}{2}$，水占$\frac{1}{2}$，因此喝下$\frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$杯纯葡萄汁和$\frac{1}{4}$杯水。
一共喝纯葡萄汁：$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$杯；
一共喝水：$\frac{1}{4}$杯。

二、解决问题。
1. 一张长方形纸，明明第一次剪去了长方形纸的一半，第二次又剪去了剩下的$\frac{1}{2}$，第三次再剪去剩下的$\frac{1}{2}$。请你在下面画出明明每次剪的情况，并算出明明一共剪去了这张纸的几分之几。

$\frac{7}{8}$

第一次剪去后剩下：$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$；第二次剪去剩下的$\frac{1}{2}$，即剪去$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，此时剩下$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$；第三次剪去剩下的$\frac{1}{2}$，即剪去$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$，此时剩下$\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$。一共剪去：$1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$。

2. 某小学“六一”儿童节才艺表演设有一、二、三等奖，其中一、二等奖获奖人数共占获奖总人数的$\frac{1}{2}$，一、三等奖获奖人数共占获奖总人数的$\frac{2}{3}$。获得一等奖的人数占获奖总人数的几分之几？

设获奖总人数为单位“1”。
一等奖人数 + 二等奖人数 = $\frac{1}{2}$，
一等奖人数 + 三等奖人数 = $\frac{2}{3}$，
将两式相加：一等奖人数 + 二等奖人数 + 一等奖人数 + 三等奖人数 = $\frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{7}{6}$，
因为二等奖人数 + 三等奖人数 + 一等奖人数 = 1，
所以一等奖人数 = $\frac{7}{6} - 1 = \frac{1}{6}$。
答：获得一等奖的人数占获奖总人数的$\frac{1}{6}$。