17. 阅读下列内容:
为了求$tan15^{\circ }$的值,可构造如图所示的直角三角形:作$Rt△ABC$,使$∠C=90^{\circ },∠ABC=30^{\circ }$,延长 CB 到点 D,使$BD=AB$,得$∠D=15^{\circ }$.设$AC=k$,则$AB=BD=2k,BC=\sqrt {3}k$,所以$tan15^{\circ }=tanD=\frac {AC}{CD}=\frac {k}{(2+\sqrt {3})k}=\frac {1}{2+\sqrt {3}}=2-\sqrt {3}$.试求$tan22.5^{\circ }$的值(保留根号).
(第17题)
为了求$tan15^{\circ }$的值,可构造如图所示的直角三角形:作$Rt△ABC$,使$∠C=90^{\circ },∠ABC=30^{\circ }$,延长 CB 到点 D,使$BD=AB$,得$∠D=15^{\circ }$.设$AC=k$,则$AB=BD=2k,BC=\sqrt {3}k$,所以$tan15^{\circ }=tanD=\frac {AC}{CD}=\frac {k}{(2+\sqrt {3})k}=\frac {1}{2+\sqrt {3}}=2-\sqrt {3}$.试求$tan22.5^{\circ }$的值(保留根号).
(第17题)
答案
解：作 Rt△ABC，使∠C=90°，∠ABC=45°
延长CB到点D，使得BD=AB，得∠D=22.5°
设AC=x，则$AB=BD=\sqrt 2x，$BC=AC=x
∴$tan 22.5°=tanD=\frac {AC}{CD}=\frac x{(1+\sqrt 2)x}=\sqrt 2-1$
延长CB到点D，使得BD=AB，得∠D=22.5°
设AC=x，则$AB=BD=\sqrt 2x，$BC=AC=x
∴$tan 22.5°=tanD=\frac {AC}{CD}=\frac x{(1+\sqrt 2)x}=\sqrt 2-1$
18. 如图,$∠MON=60^{\circ }$,点 P 在$∠MON$内,点 P 到边 OM 的距离$PA=3cm$,点 P 到边 ON 的距离$PB=12cm$.求 OP 的长(保留根号).
(第18题)
(第18题)
答案
解：延长BP交OM于点C
在Rt△PAC中，∵PA=3，∠C=30°
∴PC=2PA=6，$AC=\sqrt 3PA=3\sqrt 3$
∵PB=12
∴BC=18
在Rt△BCO中，∵∠PBO=90°，∠C=30°，BC=18
∴$OC=\frac {BC}{cos 30°}=12\sqrt 3$
∴$OA=OC-AC=9\sqrt 3$
∴$OP=\sqrt {OA^2+PA^2}=6\sqrt 7\ \mathrm {cm}$
