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7. 已知 $ a = 2+\sqrt{3} $，$ b = 2-\sqrt{3} $，求：（1）$ \dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{a} $；（2）$ a^2 - ab + b^2 $.
答案
解：
先计算相关值：
$a+b=(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4$，
$ab=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$，
$a-b=(2+\sqrt{3})-(2-\sqrt{3})=2\sqrt{3}$。
（1）$\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{a}=\dfrac{a^2 - b^2}{ab}=\dfrac{(a-b)(a+b)}{ab}$
代入得：$\dfrac{2\sqrt{3}×4}{1}=8\sqrt{3}$
（2）$a^2 - ab + b^2=(a+b)^2 - 3ab$
代入得：$4^2 - 3×1=16-3=13$
先计算相关值：
$a+b=(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4$，
$ab=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$，
$a-b=(2+\sqrt{3})-(2-\sqrt{3})=2\sqrt{3}$。
（1）$\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{a}=\dfrac{a^2 - b^2}{ab}=\dfrac{(a-b)(a+b)}{ab}$
代入得：$\dfrac{2\sqrt{3}×4}{1}=8\sqrt{3}$
（2）$a^2 - ab + b^2=(a+b)^2 - 3ab$
代入得：$4^2 - 3×1=16-3=13$
8. 已知 $ x = 2-\sqrt{3} $，则代数式 $ (7 + 4\sqrt{3})x^2 + (2+\sqrt{3})x + \sqrt{3} $ 的值是().
A.0
B.$ \sqrt{3} $
C.$ 2+\sqrt{3} $
D.$ 2-\sqrt{3} $
A.0
B.$ \sqrt{3} $
C.$ 2+\sqrt{3} $
D.$ 2-\sqrt{3} $
答案
C
解析
1. 计算$(2+\sqrt{3})x$：
已知$x=2-\sqrt{3}$，则$(2+\sqrt{3})x=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1$；
2. 化简$7+4\sqrt{3}$：
$7+4\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^2$，因此$(7+4\sqrt{3})x^2=[(2+\sqrt{3})x]^2=1^2=1$；
3. 代入代数式求值：
原式$=1 + 1 + \sqrt{3}=2+\sqrt{3}$。
已知$x=2-\sqrt{3}$，则$(2+\sqrt{3})x=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1$；
2. 化简$7+4\sqrt{3}$：
$7+4\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^2$，因此$(7+4\sqrt{3})x^2=[(2+\sqrt{3})x]^2=1^2=1$；
3. 代入代数式求值：
原式$=1 + 1 + \sqrt{3}=2+\sqrt{3}$。
9. 已知 $ x + y = -5 $，$ xy = 3 $，则 $ x\sqrt{\dfrac{y}{x}} + y\sqrt{\dfrac{x}{y}} $ 的结果是().
A.$ 2\sqrt{3} $
B.$ -2\sqrt{3} $
C.$ 3\sqrt{2} $
D.$ -3\sqrt{2} $
A.$ 2\sqrt{3} $
B.$ -2\sqrt{3} $
C.$ 3\sqrt{2} $
D.$ -3\sqrt{2} $
答案
B
解析
1. 判断x、y的符号：由$x+y=-5＜0$，$xy=3＞0$，可知$x＜0$，$y＜0$。
2. 化简原式：
$x\sqrt{\dfrac{y}{x}} + y\sqrt{\dfrac{x}{y}} = x·\dfrac{\sqrt{xy}}{|x|} + y·\dfrac{\sqrt{xy}}{|y|}$
因为$x＜0$，$|x|=-x$；$y＜0$，$|y|=-y$，代入得：
$x·\dfrac{\sqrt{xy}}{-x} + y·\dfrac{\sqrt{xy}}{-y} = -\sqrt{xy} - \sqrt{xy} = -2\sqrt{xy}$
3. 代入$xy=3$，得：$-2\sqrt{3}$。
2. 化简原式：
$x\sqrt{\dfrac{y}{x}} + y\sqrt{\dfrac{x}{y}} = x·\dfrac{\sqrt{xy}}{|x|} + y·\dfrac{\sqrt{xy}}{|y|}$
因为$x＜0$，$|x|=-x$；$y＜0$，$|y|=-y$，代入得：
$x·\dfrac{\sqrt{xy}}{-x} + y·\dfrac{\sqrt{xy}}{-y} = -\sqrt{xy} - \sqrt{xy} = -2\sqrt{xy}$
3. 代入$xy=3$，得：$-2\sqrt{3}$。
10. 已知 $ a = \dfrac{1}{\sqrt{10}+3} $，$ b = \dfrac{1}{\sqrt{10}-3} $，计算 $ a^2 + 2ab + b^2 $ 的值.
答案
解：
先对$a$、$b$进行分母有理化：
$a = \dfrac{1}{\sqrt{10}+3} = \dfrac{\sqrt{10}-3}{(\sqrt{10}+3)(\sqrt{10}-3)} = \dfrac{\sqrt{10}-3}{10-9} = \sqrt{10}-3$
$b = \dfrac{1}{\sqrt{10}-3} = \dfrac{\sqrt{10}+3}{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3)} = \dfrac{\sqrt{10}+3}{10-9} = \sqrt{10}+3$
由完全平方公式得：
$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
计算$a+b$：
$a+b = (\sqrt{10}-3)+(\sqrt{10}+3) = 2\sqrt{10}$
则$(a+b)^2 = (2\sqrt{10})^2 = 4×10 = 40$
所以$a^2 + 2ab + b^2$的值为$40$。
先对$a$、$b$进行分母有理化：
$a = \dfrac{1}{\sqrt{10}+3} = \dfrac{\sqrt{10}-3}{(\sqrt{10}+3)(\sqrt{10}-3)} = \dfrac{\sqrt{10}-3}{10-9} = \sqrt{10}-3$
$b = \dfrac{1}{\sqrt{10}-3} = \dfrac{\sqrt{10}+3}{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3)} = \dfrac{\sqrt{10}+3}{10-9} = \sqrt{10}+3$
由完全平方公式得：
$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
计算$a+b$：
$a+b = (\sqrt{10}-3)+(\sqrt{10}+3) = 2\sqrt{10}$
则$(a+b)^2 = (2\sqrt{10})^2 = 4×10 = 40$
所以$a^2 + 2ab + b^2$的值为$40$。
11. 已知 $ x = \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} $，$ y = \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} $，求 $ 3x^2 - 5xy + 3y^2 $ 的值.
答案
解：
$x = \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \dfrac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \dfrac{3 - 2\sqrt{6} + 2}{3 - 2} = 5 - 2\sqrt{6}$
$y = \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \dfrac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \dfrac{3 + 2\sqrt{6} + 2}{3 - 2} = 5 + 2\sqrt{6}$
$x + y = (5 - 2\sqrt{6}) + (5 + 2\sqrt{6}) = 10$
$xy = (5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6}) = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - 24 = 1$
$3x^2 - 5xy + 3y^2 = 3(x^2 + y^2) - 5xy = 3[(x + y)^2 - 2xy] - 5xy$
$= 3×(10^2 - 2×1) - 5×1 = 3×(100 - 2) - 5 = 294 - 5 = 289$
$x = \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \dfrac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \dfrac{3 - 2\sqrt{6} + 2}{3 - 2} = 5 - 2\sqrt{6}$
$y = \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \dfrac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \dfrac{3 + 2\sqrt{6} + 2}{3 - 2} = 5 + 2\sqrt{6}$
$x + y = (5 - 2\sqrt{6}) + (5 + 2\sqrt{6}) = 10$
$xy = (5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6}) = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - 24 = 1$
$3x^2 - 5xy + 3y^2 = 3(x^2 + y^2) - 5xy = 3[(x + y)^2 - 2xy] - 5xy$
$= 3×(10^2 - 2×1) - 5×1 = 3×(100 - 2) - 5 = 294 - 5 = 289$
