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一、填一填。
1. 有一个两位数 $ 4□ $，如果它是 $ 5 $ 的倍数，$ □ $ 里可以填()；如果它是 $ 3 $ 的倍数，$ □ $ 里可以填()；如果它同时是 $ 2 $ 和 $ 5 $ 的倍数，$ □ $ 里可以填()。
1. 有一个两位数 $ 4□ $，如果它是 $ 5 $ 的倍数，$ □ $ 里可以填()；如果它是 $ 3 $ 的倍数，$ □ $ 里可以填()；如果它同时是 $ 2 $ 和 $ 5 $ 的倍数，$ □ $ 里可以填()。
答案
1. $0$或$5$；$2$、$5$、$8$；$0$
解析
1.
若这个两位数$4□$是$5$的倍数，根据$5$的倍数的特征：个位上是$0$或$5$的数是$5$的倍数，所以$□$里可以填$0$或$5$。
若这个两位数$4□$是$3$的倍数，根据$3$的倍数的特征：一个数各位上的数字之和是$3$的倍数，这个数就是$3$的倍数。$4 + □$要是$3$的倍数，当$□ = 2$时，$4+2 = 6$是$3$的倍数；当$□ = 5$时，$4 + 5=9$是$3$的倍数；当$□ = 8$时，$4+8 = 12$是$3$的倍数，所以$□$里可以填$2$、$5$、$8$。
若这个两位数$4□$同时是$2$和$5$的倍数，根据$2$和$5$的倍数的特征：个位上是$0$的数同时是$2$和$5$的倍数，所以$□$里只能填$0$。
若这个两位数$4□$是$5$的倍数，根据$5$的倍数的特征：个位上是$0$或$5$的数是$5$的倍数，所以$□$里可以填$0$或$5$。
若这个两位数$4□$是$3$的倍数，根据$3$的倍数的特征：一个数各位上的数字之和是$3$的倍数，这个数就是$3$的倍数。$4 + □$要是$3$的倍数，当$□ = 2$时，$4+2 = 6$是$3$的倍数；当$□ = 5$时，$4 + 5=9$是$3$的倍数；当$□ = 8$时，$4+8 = 12$是$3$的倍数，所以$□$里可以填$2$、$5$、$8$。
若这个两位数$4□$同时是$2$和$5$的倍数，根据$2$和$5$的倍数的特征：个位上是$0$的数同时是$2$和$5$的倍数，所以$□$里只能填$0$。
2. 一个密码，从左起，第一位数字是最小的质数，第二位数字是最小的自然数，第三位数字是最小的合数，第四位数字既不是质数也不是合数，这个密码是（）。
答案
2041
解析
最小的质数是2，第一位数字是2；最小的自然数是0，第二位数字是0；最小的合数是4，第三位数字是4；既不是质数也不是合数的是1，第四位数字是1，所以这个密码是2041。
3. $ 108 $ 的最大因数是（），最小因数是（），最小倍数是（）。
答案
108,1,108
解析
一个数的最大因数是它本身，最小因数是1，最小倍数是它本身。所以108的最大因数是108，最小因数是1，最小倍数是108。
二、判一判(对的画“√”，错的画“×”)。
1. 因为 $ 9×7 = 63 $，所以 $ 63 $ 是倍数，$ 9 $ 是因数。()
2. 偶数的因数一定比奇数的因数多。()
3. 质数的因数都是质数。()
4. 除了 $ 2 $，所有的质数都是奇数。()
1. 因为 $ 9×7 = 63 $，所以 $ 63 $ 是倍数，$ 9 $ 是因数。()
2. 偶数的因数一定比奇数的因数多。()
3. 质数的因数都是质数。()
4. 除了 $ 2 $，所有的质数都是奇数。()
答案
1. ×
2. ×
3. ×
4. √
2. ×
3. ×
4. √
三、选一选(把正确答案前的字母填在括号里)。
1. 如果 $ a $ 为非 $ 0 $ 自然数，那么下列各式一定为偶数的是()。
A.$ a + 1 $
B.$ 2a $
C.$ a + 2 $
1. 如果 $ a $ 为非 $ 0 $ 自然数，那么下列各式一定为偶数的是()。
A.$ a + 1 $
B.$ 2a $
C.$ a + 2 $
答案
B
解析
根据偶数的定义，能被2整除的数是偶数。因为a是非0自然数，2a表示2乘以a，所以2a一定能被2整除，一定是偶数。A选项当a为偶数时a+1是奇数，C选项当a为奇数时a+2是奇数，所以只有B选项一定为偶数。
2. 已知 $ x = 2×3×4 $，$ y = 2×3×5 $，那么 $ x $ 和 $ y $ 的最大公因数是()。
A.$ 2 $
B.$ 6 $
C.$ 24 $
A.$ 2 $
B.$ 6 $
C.$ 24 $
答案
B
解析
$x=2×3×4$，$y = 2×3×5$，根据最大公因数的求解方法，两个数的最大公因数是这两个数公有的质因数的乘积，$x$和$y$公有的质因数是$2$和$3$，所以它们的最大公因数为$2×3 = 6$。
3. 一个边长是质数的正方形，它的面积一定是()。
A.质数
B.奇数
C.合数
A.质数
B.奇数
C.合数
答案
C
解析
质数指除了1和它本身之外没有其他因数的数。设正方形的边长为质数$p$，则面积为$p^2$。$p^2$的因数有1、$p$和$p^2$，因数个数超过两个，因此$p^2$一定是合数。
4. 如果 $ a = b×6 $($ a $ 和 $ b $ 均是整数且不为 $ 0 $)，那么 $ a $ 和 $ b $ 的最大公因数是()，最小公倍数是()。
A.$ a $
B.$ 6 $
C.$ b $
A.$ a $
B.$ 6 $
C.$ b $
答案
C A
解析
已知$a=b×6$，即$a$是$b$的6倍，当两个数为倍数关系时，最大公因数为较小的数，最小公倍数为较大的数。在这里$b$较小，$a$较大，所以$a$和$b$的最大公因数是$b$，最小公倍数是$a$。
四、问题解决。
某车站有三条线路的公交车从这里发出。第一条线路每隔 $ 4 $ 分钟发车一次，第二条线路每隔 $ 6 $ 分钟发车一次，第三条线路每隔 $ 8 $ 分钟发车一次。三条线路的公交车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？
某车站有三条线路的公交车从这里发出。第一条线路每隔 $ 4 $ 分钟发车一次，第二条线路每隔 $ 6 $ 分钟发车一次，第三条线路每隔 $ 8 $ 分钟发车一次。三条线路的公交车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？
答案
要求三条线路的公交车在同一时间发车后的最少时间再同时发车，即求 $4$、$6$ 和 $8$ 的最小公倍数。
$4$ 的质因数分解为 $2 × 2$，
$6$ 的质因数分解为 $2 × 3$，
$ 8$ 的质因数分解为 $2 × 2 × 2$，
取每个质因数的最大幂次：
$2^3 = 8$，
$ 3^1 = 3$，
将这些结果相乘：
$3 × 8 = 24$，
因此，三条线路的公交车在同一时间发车后，最少过 $24$ 分钟再同时发车。
$4$ 的质因数分解为 $2 × 2$，
$6$ 的质因数分解为 $2 × 3$，
$ 8$ 的质因数分解为 $2 × 2 × 2$，
取每个质因数的最大幂次：
$2^3 = 8$，
$ 3^1 = 3$，
将这些结果相乘：
$3 × 8 = 24$，
因此，三条线路的公交车在同一时间发车后，最少过 $24$ 分钟再同时发车。
