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三、解答题
19. 如图，直线 $ y = 2x + 3 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A $，与 $ y $ 轴交于点 $ B $.
(1) 求 $ A $，$ B $ 两点的坐标；
(2) 过点 $ B $ 作直线 $ BP $ 与 $ x $ 轴交于点 $ P $，且 $ OP = 2OA $，求 $ △ ABP $ 的面积.
19. 如图，直线 $ y = 2x + 3 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A $，与 $ y $ 轴交于点 $ B $.
(1) 求 $ A $，$ B $ 两点的坐标；
(2) 过点 $ B $ 作直线 $ BP $ 与 $ x $ 轴交于点 $ P $，且 $ OP = 2OA $，求 $ △ ABP $ 的面积.
答案
19. 解：(1)把$ y = 0 $代入$ y = 2x + 3 $，得$ 2x + 3 = 0 $，
解得$ x = -\frac{3}{2} $，
∴点$ A $的坐标为$ (-\frac{3}{2}, 0) $。
把$ x = 0 $代入$ y = 2x + 3 $，得$ y = 3 $，
∴点$ B $的坐标为$ (0, 3) $。
(2)$ \because OP = 2OA $，$ \therefore OP = 2 × \frac{3}{2} = 3 $，
$ \therefore AP = \frac{3}{2} + 3 = \frac{9}{2} $，或$ AP = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} $，
$ \therefore S_{△ ABP} = \frac{1}{2} · AP · BO = \frac{1}{2} × \frac{9}{2} × 3 = \frac{27}{4} $
或$ S_{△ ABP} = \frac{1}{2} × \frac{3}{2} × 3 = \frac{9}{4} $。
解得$ x = -\frac{3}{2} $，
∴点$ A $的坐标为$ (-\frac{3}{2}, 0) $。
把$ x = 0 $代入$ y = 2x + 3 $，得$ y = 3 $，
∴点$ B $的坐标为$ (0, 3) $。
(2)$ \because OP = 2OA $，$ \therefore OP = 2 × \frac{3}{2} = 3 $，
$ \therefore AP = \frac{3}{2} + 3 = \frac{9}{2} $，或$ AP = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} $，
$ \therefore S_{△ ABP} = \frac{1}{2} · AP · BO = \frac{1}{2} × \frac{9}{2} × 3 = \frac{27}{4} $
或$ S_{△ ABP} = \frac{1}{2} × \frac{3}{2} × 3 = \frac{9}{4} $。
20. 如图，已知过点 $ B(1,0) $ 的直线 $ l_{1} $ 与直线 $ l_{2} $：$ y = 2x + 4 $ 相交于点 $ P(-1,a) $.
(1) 求直线 $ l_{1} $ 的函数表达式；
(2) 求四边形 $ PAOC $ 的面积.
(1) 求直线 $ l_{1} $ 的函数表达式；
(2) 求四边形 $ PAOC $ 的面积.
答案
20. 解：(1)设直线$ l_1 $的函数表达式为$ y = kx + b $（$ k ≠ 0 $），把点$ P(-1, a) $代入$ y = 2x + 4 $，得$ a = -2 + 4 $，解得$ a = 2 $，
$ \therefore $点$ P $的坐标为$ (-1, 2) $。把点$ P(-1, 2) $和点$ B(1, 0) $分别代入$ y = kx + b $，得$ \begin{cases} 2 = -k + b, \\ 0 = k + b, \end{cases} $解得$ \begin{cases} k = -1, \\ b = 1. \end{cases} $
$ \therefore $直线$ l_1 $的函数表达式为$ y = -x + 1 $。
(2)由$ y = 2x + 4 $可得点$ A $的坐标为$ (-2, 0) $，由$ y = -x + 1 $
可得点$ C $的坐标为$ (0, 1) $，连接$ PO $。则$ S_{\mathrm{四边形}PAOC} = S_{△ APO} + S_{△ CPO} = \frac{1}{2} × 2 × 2 + \frac{1}{2} × 1 × 1 = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} $。
$ \therefore $点$ P $的坐标为$ (-1, 2) $。把点$ P(-1, 2) $和点$ B(1, 0) $分别代入$ y = kx + b $，得$ \begin{cases} 2 = -k + b, \\ 0 = k + b, \end{cases} $解得$ \begin{cases} k = -1, \\ b = 1. \end{cases} $
$ \therefore $直线$ l_1 $的函数表达式为$ y = -x + 1 $。
(2)由$ y = 2x + 4 $可得点$ A $的坐标为$ (-2, 0) $，由$ y = -x + 1 $
可得点$ C $的坐标为$ (0, 1) $，连接$ PO $。则$ S_{\mathrm{四边形}PAOC} = S_{△ APO} + S_{△ CPO} = \frac{1}{2} × 2 × 2 + \frac{1}{2} × 1 × 1 = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} $。
21. 某游泳馆推出了两种收费方式.
方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡 $ 200 $ 元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费 $ 30 $ 元.
方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费 $ 40 $ 元.
设小亮在一年内来此游泳馆游泳 $ x $ 次，选择方式一的总费用为 $ y_{1} $ 元，选择方式二的总费用为 $ y_{2} $ 元.
(1) 请分别写出 $ y_{1} $，$ y_{2} $ 与 $ x $ 之间的函数表达式.
(2) 小亮一年内来此游泳馆游泳的次数 $ x $ 在什么范围时，选择方式一比方式二省钱？
方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡 $ 200 $ 元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费 $ 30 $ 元.
方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费 $ 40 $ 元.
设小亮在一年内来此游泳馆游泳 $ x $ 次，选择方式一的总费用为 $ y_{1} $ 元，选择方式二的总费用为 $ y_{2} $ 元.
(1) 请分别写出 $ y_{1} $，$ y_{2} $ 与 $ x $ 之间的函数表达式.
(2) 小亮一年内来此游泳馆游泳的次数 $ x $ 在什么范围时，选择方式一比方式二省钱？
答案
21. 解：(1)$ y_1 = 30x + 200 $，$ y_2 = 40x $。
(2)由$ y_1 ＜ y_2 $，得$ 30x + 200 ＜ 40x $，解得$ x ＞ 20 $。
$ \therefore $当$ x ＞ 20 $时，选择方式一比方式二省钱。
(2)由$ y_1 ＜ y_2 $，得$ 30x + 200 ＜ 40x $，解得$ x ＞ 20 $。
$ \therefore $当$ x ＞ 20 $时，选择方式一比方式二省钱。
22. 如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，$ 28\ \mathrm{s} $ 时注满水槽. 水槽内水面的高度 $ y $($ \mathrm{cm} $)与注水时间 $ x $($ \mathrm{s} $)之间的函数图象如图②.
(1) 正方体的棱长为
(2) 求线段 $ AB $ 的函数表达式，并写出自变量 $ x $ 的取值范围；
(3) 如果将正方体铁块取出，又经过 $ t\ \mathrm{s} $ 恰好将此水槽注满，那么 $ t $ 的值是多少？
(1) 正方体的棱长为
10
$ \mathrm{cm} $；(2) 求线段 $ AB $ 的函数表达式，并写出自变量 $ x $ 的取值范围；
(3) 如果将正方体铁块取出，又经过 $ t\ \mathrm{s} $ 恰好将此水槽注满，那么 $ t $ 的值是多少？
答案
22. 解：(1)由题意，可得$ 12 \, \mathrm{s} $时，水槽内水面的高度为$ 10 \, \mathrm{cm} $，$ 12 \, \mathrm{s} $后水槽内水面的高度变化趋势改变，
故正方体的棱长为$ 10 \, \mathrm{cm} $。故答案为$ 10 $。
(2)设线段$ AB $的函数表达式为$ y = kx + b $，
$ \because $函数图象过点$ A(12, 10) $，$ B(28, 20) $，
$ \therefore \begin{cases} 12k + b = 10, \\ 28k + b = 20, \end{cases} $解得$ \begin{cases} k = \frac{5}{8}, \\ b = \frac{5}{2}. \end{cases} $
$ \therefore y = \frac{5}{8}x + \frac{5}{2} (12 ≤ x ≤ 28) $。
(3)$ \because 28 - 12 = 16 (\mathrm{s}) $，$ \therefore 12 \, \mathrm{s} $后，水面上升$ 10 \, \mathrm{cm} $所用时间为$ 16 \, \mathrm{s} $，$ 16 - 12 = 4 (\mathrm{s}) $，
$ \therefore $将正方体铁块取出，经过$ 4 \, \mathrm{s} $恰好将此水槽注满，即$ t = 4 $。
故正方体的棱长为$ 10 \, \mathrm{cm} $。故答案为$ 10 $。
(2)设线段$ AB $的函数表达式为$ y = kx + b $，
$ \because $函数图象过点$ A(12, 10) $，$ B(28, 20) $，
$ \therefore \begin{cases} 12k + b = 10, \\ 28k + b = 20, \end{cases} $解得$ \begin{cases} k = \frac{5}{8}, \\ b = \frac{5}{2}. \end{cases} $
$ \therefore y = \frac{5}{8}x + \frac{5}{2} (12 ≤ x ≤ 28) $。
(3)$ \because 28 - 12 = 16 (\mathrm{s}) $，$ \therefore 12 \, \mathrm{s} $后，水面上升$ 10 \, \mathrm{cm} $所用时间为$ 16 \, \mathrm{s} $，$ 16 - 12 = 4 (\mathrm{s}) $，
$ \therefore $将正方体铁块取出，经过$ 4 \, \mathrm{s} $恰好将此水槽注满，即$ t = 4 $。
